U 05.2 – Doppelpendel

 

vari-u05-2-doppelpendel

Die beiden Kugeln werden als Massepunkte behandelt, deren Koordinaten gegeben sind durch die zeitabhängigen Funktionen \left( {{x_1}\left( t \right),{y_1}\left( t \right)} \right) und \left( {{x_2}\left( t \right),{y_2}\left( t \right)} \right). Es gelte (1):

{x_1} = -{l_1}\cos {\varphi _1}

{x_2} = -{l_1}\cos {\varphi _1}-{l_2}\cos {\varphi _2}

{y_1} = {l_1}\sin {\varphi _1}

{y_2} = {l_1}\sin {\varphi _1}-{l_2}\sin {\varphi _2}

mit ebenfalls zeitabhängigen Winkeln {\varphi _1} und {\varphi _2}. Das Quadrat v_i^2 der Geschwindigkeit des i-ten Massepunkts ist gegeben durch v_i^2 = \dot x_i^2+\dot y_i^2

  1. Bestätigen Sie die Formeln

    \begin{array}{*{20}{c}}{v_1^2 = l_1^2\dot \varphi _1^2} \\ {v_2^2 = l_1^2\dot \varphi _1^2+l_2^2\dot \varphi _2^2-2{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)}  \end{array}\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right)

  2. Die gesamte potentielle Energie U des Systems ist gegeben durch

    -\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g{l_1}\cos {\varphi _1}-{m_2}g{l_2}\cos {\varphi _2}\quad \quad \quad \quad \left( 3 \right)

    und die gesamte kinetische Energie ist gegeben durch

    T = \frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2.

    Leiten Sie mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzips die Bewegungsgleichungen des Doppelpendels ab.

  3. Vereinfachen Sie die in b) gewonnenen Bewegungsgleichungen, indem Sie für kleine Auslenkungen {\varphi _1} und {\varphi _2} die Näherungen

    \sin {\varphi _i} \approx {\varphi _i},\quad \sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right) \approx 0,\quad \cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right) \approx 1

    einsetzen. Man erhält dann ein lineares DGL-System 2. Ordnung.

Lösung

Wenn wir die Winkel der beiden Teilpendel kennen, kennen wir das gesamte System des Doppelpendels. Wir suchen also die Funktionen {\varphi _1}\left( t \right) und {\varphi _2}\left( t \right).

a)

Es gilt v_i^2 = \dot x_i^2+\dot y_i^2, also insbesondere

v_1^2 = \dot x_1^2+\dot y_1^2 = l_1^2{\left( {\sin {\varphi _1}} \right)^2}\dot \varphi _1^2+l_1^2{\left( {\cos {\varphi _1}} \right)^2}\dot \varphi _1^2 = l_1^2\dot \varphi _1^2.

Ebenso verfahren wir mit der zweiten Gleichung:

{{\dot x}_2} = {{\dot x}_1}+{{\dot \varphi }_2}{l_2}\sin {\varphi _2},\quad {{\dot y}_2} = {l_1}{{\dot \varphi }_1}\cos {\varphi _1}-{l_2}{{\dot \varphi }_2}\cos {\varphi _2}

v_2^2 = \dot x_2^2+\dot y_2^2 = {\left( {{{\dot x}_1}+{{\dot \varphi }_2}{l_2}\sin {\varphi _2}} \right)^2}+{\left( {{l_1}{{\dot \varphi }_1}\cos {\varphi _1}-{l_2}{{\dot \varphi }_2}\cos {\varphi _2}} \right)^2}

\quad = l_1^2\dot \varphi _1^2{\sin ^2}{\varphi _1}+l_2^2\dot \varphi _2^2{\sin ^2}{\varphi _2}+2{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\sin {\varphi _1}\sin {\varphi _2}+l_1^2\dot \varphi _1^2{\cos ^2}{\varphi _1}+

\quad +l_2^2\dot \varphi _2^2{\cos ^2}{\varphi _2}-2{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\cos {\varphi _1}\cos {\varphi _2}

\quad = l_1^2\dot \varphi _1^2+l_2^2\dot \varphi _2^2-2{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\left( {\cos {\varphi _1}\cos {\varphi _2}-\sin {\varphi _1}\sin {\varphi _2}} \right)

\quad = l_1^2\dot \varphi _1^2+l_2^2\dot \varphi _2^2-2{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)

b)

Potentielle Energie: -\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g{l_1}\cos {\varphi _1}-{m_2}g{l_2}\cos {\varphi _2}

Kinetische Energie: T = \frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2

Hamiltonsches Prinzip:

Die Zustandsfunktion q\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\varphi _1}\left( t \right)} \\ {{\varphi _2}\left( t \right)}  \end{array}} \right) ist eine Extremale des Wirkungsintegrals

W\left( q \right) = \int_a^b {L\left( {t,q\left( t \right),\dot q\left( t \right)} \right)dt}

wobei L = T-U. Wie in Aufgabe 1 müssen wir wieder vier Ableitungen berechnen. Es müssen die Euler-Gleichungen \frac{d}{{dt}}{L_{{{\dot \varphi }_1}}} = {L_{{\varphi _1}}} und \frac{d}{{dt}}{L_{{{\dot \varphi }_2}}} = {L_{{\varphi _2}}} erfüllt sein.

Es gilt:

L = T-U

\quad = \frac{1}{2}{m_1}l_1^2\dot \varphi _1^2+\frac{1}{2}{m_2}\left( {l_1^2\dot \varphi _1^2+l_2^2\dot \varphi _2^2-2{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)} \right)+

\quad +\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g{l_1}\cos {\varphi _1}+{m_2}g{l_2}\cos {\varphi _2}

\quad = \frac{1}{2}l_1^2\left( {{m_1}+{m_2}} \right)\dot \varphi _1^2+\frac{1}{2}{m_2}l_2^2\dot \varphi _2^2-{m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+

\quad +\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g{l_1}\cos {\varphi _1}+{m_2}g{l_2}\cos {\varphi _2}

Die benötigten Ableitungen lauten:

{L_{{\varphi _1}}} = {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)-\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g{l_1}\sin {\varphi _1}

{L_{{{\dot \varphi }_1}}} = l_1^2\left( {{m_1}+{m_2}} \right){{\dot \varphi }_1}-{m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)

{L_{{\varphi _2}}} = {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)-{m_2}g{l_2}\sin {\varphi _2}

{L_{{{\dot \varphi }_2}}} = {m_2}l_2^2{{\dot \varphi }_2}-{m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)

\frac{d}{{dt}}{L_{{{\dot \varphi }_1}}} = l_1^2\left( {{m_1}+{m_2}} \right){{\ddot \varphi }_1}-{m_2}{l_1}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+

+{m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_2}\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)\left( {{{\dot \varphi }_1}+{{\dot \varphi }_2}} \right)

\frac{d}{{dt}}{L_{{{\dot \varphi }_1}}} = {L_{{\varphi _1}}}

\Rightarrow

l_1^2\left( {{m_1}+{m_2}} \right){{\ddot \varphi }_1}-{m_2}{l_1}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+{m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_2}\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)\left( {{{\dot \varphi }_1}+{{\dot \varphi }_2}} \right)

= {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \varphi }_1}{{\dot \varphi }_2}\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)-\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g{l_1}\sin {\varphi _1}

\Rightarrow \quad {l_1}\left( {{m_1}+{m_2}} \right){{\ddot \varphi }_1}-{m_2}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+{m_2}{l_2}\dot \varphi _2^2\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+

+\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g\sin {\varphi _1}\mathop = \limits^! 0

\frac{d}{{dt}}{L_{{{\dot \varphi }_2}}} = {L_{{\varphi _2}}}

\Rightarrow \quad {m_2}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}-{m_2}{l_1}{{\ddot \varphi }_1}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+{m_2}{l_1}\dot \varphi _1^2\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+{m_2}g\sin {\varphi _2} = 0

c)

Für die erste Bewegungsgleichung ergibt sich mit der Näherung:

{l_1}\left( {{m_1}+{m_2}} \right){{\ddot \varphi }_1}-{m_2}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+{m_2}{l_2}\dot \varphi _2^2\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)

+\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g\sin {\varphi _1} = 0

\quad \Rightarrow \quad {l_1}\left( {{m_1}+{m_2}} \right){{\ddot \varphi }_1}-{m_2}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}+\left( {{m_1}+{m_2}} \right)g{\varphi _1} = 0

Für die zweite Bewegungsgleichung ergibt sich mit der Näherung:

{m_2}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}-{m_2}{l_1}{{\ddot \varphi }_1}\cos \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+{m_2}{l_1}\dot \varphi _1^2\sin \left( {{\varphi _1}+{\varphi _2}} \right)+{m_2}g\sin {\varphi _2} = 0

\quad \Rightarrow \quad {m_2}{l_2}{{\ddot \varphi }_2}-{m_2}{l_1}{{\ddot \varphi }_1}+{m_2}g{\varphi _2} = 0