U 05.2 – Faltung einer Gauss-Funktion mit sich selbst

 

Berechnen Sie nun die Antwort y\left( t \right), wenn der scharfe Puls f\left( t \right) tatsächlich eine Gauss-Form der Breite {\sigma _f}hat.

Lösung

Wir lösen diese Aufgabe über den Frequenzraum (vgl. Übung 4, Aufgabe 3b + Übung 5, Aufgabe 1):

y\left( t \right) = g\left( t \right) * g\left( t \right)

\Rightarrow \quad y\left( \omega \right) = F\left( \omega \right) \cdot G\left( \omega \right)

= {e^{-\frac{{{\omega ^2}\sigma _f^2}}{2}}} \cdot {e^{-\frac{{{\omega ^2}\sigma _g^2}}{2}}}

= {e^{-\frac{{{\omega ^2}\left( {\sigma _f^2+\sigma _g^2} \right)}}{2}}}

y\left( \omega \right) = {e^{-\frac{{{\omega ^2}\sigma _y^2}}{2}}}\quad \mathop \to \limits^{R\ddot ucktransformation} \quad \underline{\underline {y\left( t \right) = \frac{1}{{{\sigma _y}\sqrt {2\pi } }}{e^{-\frac{{{t^2}}}{{2\sigma _y^2}}}}}}

{\sigma _y} = \sqrt {\sigma _f^2+\sigma _g^2}

{\sigma ^2} = Varianz; \sigma = Standardabweichung

Für die Halbwertsbreite FWHM (Full width (at) half maximum) oder auch „Breite bei halber Höhe“ ergibt sich:

FWHM = 2\sqrt {2\:\ln \left( 2 \right)} \cdot \sigma \approx 2,35 \cdot \sigma

mess-u05-gauss-fwhm

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}