U 05.2 – Gasthermometer II

Bei den meisten Gasthermometern wird die Temperaturmessung durch die Messung des Gasdrucks bei konstantem Volumen realisiert. Eine sehr genaue Methode dazu ist die kapazitive Druckmessung. Dabei wird die Änderung der Kapazität eines Plattenkondensators aufgrund der Änderung des Plattenabstandes d bedingt durch einen äußeren Druck p gemessen. Die Änderung der Kapazität kann wiederum in einer integrierenden Verstärkerschaltung (siehe Blatt 2) gemessen werden, da hier die Kapazität die Verstärkung bestimmt.
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Abbildung: Prinzip zur kapazitiven Druckmessung

Mit welcher Genauigkeit können Sie in einer integrierenden Verstärkerschaltung die Kapazität bestimmen? (ADC? Eingangsstrom? Messzeit?)
Welche Änderung der Kondensatordicke können Sie damit bestimmen?
Welche “Federkonstante” muss der verwendete Kondensator haben, um die Temperatur bei $T = 300K$ auf ein Promille genau messen zu können? (Annahme: Ideales Gas, Gasmenge im Thermometer beträgt $n = 0,01mol$ )

Lösung

a) Genauigkeit

Die Spannung ist der Quotient aus Ladung und Kapazität:

$\boxed{U = \frac{Q}{C}}$

Die Kapazität berechnet man mit der Formel:

$\boxed{C = {\varepsilon _r}{\varepsilon _0}\frac{A}{d}}$

Hier wollen wir nun einige typische Größen einsetzen. Wir nehmen eine Plattengröße von $A = 1\:c{m^2}$ , einen Plattenabstand von $d = 100\mu m$ und eine dielektrische Leitfähigkeit von ${\varepsilon _r} = 3$ für Silizium an. Die elektrische Feldkonstante hat einen Wert von ${\varepsilon _0} = 8,85 \cdot {10^{-12}}\frac{C}{{Vm}}$ . Damit erhalten wir für die Kapazität:

$C = \frac{{3 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{-12}}\frac{C}{{Vm}} \cdot {{10}^{-4}}{m^2}}}{{{{10}^{-4}}m}} = \underline{\underline {27 \cdot {{10}^{-12}}F}}$

Nun bestimmen wir die Ladung. Es gilt:

$Q = {I_{mess}} \cdot {t_{mess}}$

Wir nehmen an, dass der gemessene Strom in der Größenordnung ${I_{mess}} \approx 1\mu A$ und die Messzeit im Bereich ${t_{mess}} \approx 1ms$ liegt. Damit haben wir eine Ladung in der Größenordnung

$Q = 1\mu A \cdot 1ms = 1nC$

Damit erhalten wir für die Spannung:

$U = \frac{{{{10}^{-9}}C}}{{27 \cdot {{10}^{-12}}F}} = \underline{\underline {35\:V}}$

Nun nehmen wir an, dass wir einen handelsüblichen ADC benutzen. Diese Konverter liegen meistens im Genauigkeitsbereich von 14 bit, also ${2^{14}} = 16384$ Kanäle.

Damit ergibt sich für die Auflösung von U:

$\Delta U = \frac{{35\;V}}{{16384}} \approx \underline{\underline {2\;mV}}$

Da die Kapazität im Endeffekt in eine Spannung umgewandelt wird und somit die gleiche Genauigkeit erreicht wie die Spannungsmessung, gilt:

$\frac{{\Delta C}}{C} = \frac{{\Delta U}}{U} = \frac{1}{{16384}}\quad \Rightarrow \quad \Delta C = \frac{C}{{16384}} = \frac{{27 \cdot {{10}^{-12}}F}}{{16384}} = \underline{\underline {1,6 \cdot {{10}^{-15}}F}}$

b) Änderung der Kondensatordicke

Die Kondensatordicke kann ebenfalls nur die gleiche Genauigkeit aufweisen wie die Kapazitäts- und Spannungsmessung. Somit folgt für d = 100 µm:

$\frac{{\Delta d}}{d} = \frac{{\Delta C}}{C}\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {\Delta d = 6\;nm}}$

Man bedenke dabei, dass Atome schon einen Durchmesser von etwa 0,1 nm haben.

c) Federkonstante

Da das Volumen im Gasthermometer konstant bleibt, folgt aus der Gasgleichung:

$\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{\Delta p}}{p}$

Der Druck ist definiert als:

$p = \frac{F}{A}$

Daraus folgt:

$\frac{{\Delta F}}{F} = \frac{{\Delta T}}{T}$

Wir nehmen für den Umgebungsdruck an:

$p = 1000\;hPa = {10^5}\frac{N}{{{m^2}}} = 10\frac{N}{{c{m^2}}}$

Da die Kondensatorplatte als einen Quadratzentimeter groß angenommen wurde, folgt:

$F = 10N$

Da wir auf ein Promille genau messen wollen, gilt:

$\Delta F = {10^{-2}}N$

Für eine Feder gilt:

$\Delta F = k\Delta d\quad \Rightarrow \quad k = \frac{{\Delta F}}{{\Delta d}} = \frac{{{{10}^{-2}}N}}{{6 \cdot {{10}^{-9}}m}} = 1,6 \cdot {10^6}\frac{N}{m} = \underline{\underline {1,6 \cdot {{10}^3}\frac{N}{{mm}}}}$