U 05.3 – Fourier-Spektrum und Faltung eines Rechteck-Pulses

 
  1. Berechnen und skizzieren Sie das kontinuierliche Fourier-Spektrum des Rechteck-Pulses der Dauer {T_0} (Hinweis: Eulersche Formel!)

    f\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 & {f\ddot ur} & {t \in \left[ {-\frac{{{T_0}}}{2},\frac{{{T_0}}}{2}} \right]} \\  0 & {sonst} & {} \\   \end{array} } \right.

  2. Zeigen Sie durch abschnittsweise Auswertung des Faltungsintegrals, dass sich aus der Faltung des Rechteck-Pulses mit sich selbst eine Dreieckfunktion der Form

    y\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \cdot \left( {1+\frac{t}{{{T_0}}}} \right)} & {f\ddot ur} & {t \in \left[ {-{T_0},0} \right]} \\{2 \cdot \left( {1-\frac{t}{{{T_0}}}} \right)} & {f\ddot ur} & {t \in \left[ {0,{T_0}} \right]} \\   \end{array} } \right.

    ergibt (siehe Abbildung).

  3. Leiten Sie aus vorigen Teilaufgaben mit Hilfe des Faltungssatzes das Fourier-Spektrum eines Dreieck-Impulses der angegeben Form ab.

mess-u05-faltung-zweier-rechteck-pulse

Lösung

a) Fourier-Spektrum des Rechteck-Pulses

mess-u05-rechteckfunktion

F\left( \omega \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty {f\left( t \right){e^{-i\omega t}}dt} = \int\limits_{-\frac{{{T_0}}}{2}}^{\frac{{{T_0}}}{2}} {{e^{-i\omega t}}dt}

= \left. {-\frac{1}{{i\omega }}{e^{-i\omega t}}} \right|_{-\frac{{{T_0}}}{2}}^{\frac{{{T_0}}}{2}}

= -\frac{1}{{i\omega }}\left( {{e^{-i\omega \frac{{{T_0}}}{2}}}-{e^{i\omega \frac{{{T_0}}}{2}}}} \right)

= \frac{{2i}}{{i\omega }}\left( {\sin \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)} \right)

= 2 \cdot \frac{{\sin \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)}}{\omega } = \underline{\underline {{T_0} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right)}}{{\frac{{\omega {T_0}}}{2}}} = F\left( \omega \right)}}

Alternativ:

F\left( \omega \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty {f\left( t \right) \cdot {e^{-i\omega t}}dt} = \int\limits_{-\frac{{{T_0}}}{2}}^{\frac{{{T_0}}}{2}} {1 \cdot {e^{-i\omega t}}dt}

= \int\limits_{-\frac{{{T_0}}}{2}}^{\frac{{{T_0}}}{2}} {\cos \left( {-\omega t} \right)+i\sin \left( {-\omega t} \right)dt}

= \int\limits_{-\frac{{{T_0}}}{2}}^{\frac{{{T_0}}}{2}} {\cos \left( {\omega t} \right)-i\sin \left( {\omega t} \right)dt}

= \left[ {\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)+\frac{i}{\omega }\cos \left( {\omega t} \right)} \right]_{-\frac{{{T_0}}}{2}}^{\frac{{{T_0}}}{2}}

= \frac{1}{\omega }\left( {\sin \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)-\sin \left( {-\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)+\underbrace {i\cos \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)-i\cos \left( {-\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)}_0} \right)

= 2 \cdot \frac{{\sin \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)}}{\omega } = \underline{\underline {{T_0} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right)}}{{\frac{{\omega {T_0}}}{2}}} = F\left( \omega \right)}}

Der Verlauf ist somit rein reell.

Für seine Grenzwerte gilt:

\mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} \left( {F\left( \omega \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} \left( {\frac{{2 \cdot \frac{{{T_0}}}{2} \cdot \cos \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)}}{1}} \right) = \underline{\underline {{T_0}}}

\mathop {\lim }\limits_{\omega \to \infty } \left( {F\left( \omega \right)} \right) = \underline{\underline 0}

Nullstellen:

\left| {F\left( \omega \right)} \right| = 0\quad f\ddot ur\quad \frac{{\omega {T_0}}}{2} = n \cdot \pi \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{{2\pi n}}{{{T_0}}}

Maxima:

\frac{{dF}}{{d\omega }} = \frac{{\frac{{{T_0}}}{2} \cdot \cos \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right) \cdot \omega -\sin \left( {\omega \frac{{{T_0}}}{2}} \right)}}{{{\omega ^2}}}\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\tan \left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right) = \omega \cdot \frac{{{T_0}}}{2}}}

Die letzte Gleichung wird auch „transzendente Gleichung genannt“. Sie lässt sich nur numerisch lösen.

mess-u05-fourier-spektrum-rechteck-puls

b) Faltung zweier Rechteck-Pulse

Faltung:

y\left( t \right) = f\left( t \right) * g\left( t \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty {g\left( {t-x} \right) \cdot f\left( x \right)dx}

Die Faltung entspricht einem „Drüberschieben“ der einen Funktion über die andere und deren Integration \Rightarrow Flächeninhalt des Produkts f \cdot g.

Siehe auch hier.

Wir unterscheiden zur Lösung mehrere Fälle:

Fall 1: \left| t \right| > {T_0}

mess-u05-faltung-zweier-rechteckpulse

g\left( {t-x} \right) \cdot f\left( x \right) = 0

y\left( t \right) = \int {0\:dx} = 0\quad ,\quad t \notin \left[ {-{T_0},{T_0}} \right]

Fall 2: \left| t \right| < {T_0}

Die Rechtecke überlappen sich. Der Überlappungsbereich hat die Breite \Delta x = 2 \cdot \frac{{{T_0}}}{2}-\left| t \right|.

Im Überlappungsbereich gilt g\left( {t-x} \right) \cdot f\left( x \right) = {1^2} = 1 = U_0^2

\Rightarrow \quad y\left( t \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty { \ldots dx} = \int\limits_{\Delta x}^{} {U_0^2} = \Delta x \cdot U_0^2 = \Delta x \cdot {1^2}

Fall 2a

t < 0\quad ,\quad \left| t \right| < {T_0}

y\left( t \right) = \Delta x \cdot U_0^2 = \left( {{T_0}+t} \right)U_0^2 = U_0^2{T_0}+U_0^2t

{U_0} = 1\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = {T_0}+t\quad ,\quad t \in \left[ {-{T_0},0} \right]

Fall 2b

t > 0\quad ,\quad \left| t \right| < {T_0}

y\left( t \right) = \Delta x \cdot U_0^2 = \left( {{T_0}-t} \right)U_0^2 = U_0^2 \cdot {T_0}-U_0^2t

{U_0} = 1\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = {T_0}-t\quad ,\quad t \in \left[ {0,{T_0}} \right[

mess-u05-faltung-zweier-rechteckpulse-2

Das Signal wird bei der Faltung also verbreitert.

c) Faltungssatz

y\left( t \right) = f\left( t \right) * g\left( t \right)

mess-u05-faltung

y\left( \omega \right) = F\left( \omega \right) \cdot G\left( \omega \right)

y\left( \omega \right) = 2 \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right)}}{\omega } \cdot 2\frac{{\sin \left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right)}}{\omega } = 4 \cdot \frac{{{{\left( {\sin \left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right)} \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}} = T_0^2\frac{{{{\left( {\sin \left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right)} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{\omega {T_0}}}{2}} \right)}^2}}}

Dies gilt für das Fourier-Spektrum einer Dreiecks-Funktion der Länge 2 \cdot {T_0}.

Für ein \Delta der Länge {T_0} gilt:

y\left( \omega \right) = \frac{{T_0^2}}{4} \cdot \frac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{\omega {T_0}}}{4}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{\omega {T_0}}}{4}} \right)}^2}}}

mess-u05-fourier-spektrum-dreieck-puls

Vergleich der Fourierspektren von Rechteckpuls und Dreieckpuls:

mess-u05-fourier-spektrum-rechteck-dreieck-puls

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}