U 05.3 – Nachweis der Konvexität von Funktionen

 

Welche der folgenden Funktionen sind konvex? Begründen Sie Ihre Antwort.

  1. {L_1}\left( {t,p,q} \right) = \left| p \right|+{q^2}-4t,\quad \left( {t,p,q} \right) \in {\mathbb{R}^3}

  2. {L_2}\left( {t,p,q} \right) = \sqrt {\frac{{1+{q^2}}}{p}} ,\quad \left( {t,p,q} \right) \in \mathbb{R} \times {\mathbb{R}_+} \times \mathbb{R}.

Lösung

a)

{L_1}\left( {t,p,q} \right) = \underbrace {\left| p \right|}_{konvex}+\underbrace {{q^2}}_{konvex}+\underbrace {\left( {-4t} \right)}_{konvex}

Eine Summe von konvexen Funktionen ist wieder konvex.

b)

{L_2}\left( {t,p,q} \right) = \sqrt {\frac{{1+{q^2}}}{p}}

Aus der Vorlesung wissen wir schon, dass diese Funktion nicht konvex ist. Wir führen einen Beweis durch Gegenbeispiel.

Eine Funktion ist konvex, wenn die Funktionswerte zwischen zwei Punkten der Kurve unter der Verbindungsgeraden dieser Punkte liegen. Folgende Funktion ist beispielsweise konvex:

vari-u05-3-konvexe-funktion

Wir wählen

a = \left( {p,q} \right) = \left( {1,0} \right)

b = a+\left( {1,\alpha } \right) = \left( {2,\alpha } \right)

c = \frac{1}{2}\left( {a+b} \right) = \left( {\frac{3}{2},\frac{\alpha }{2}} \right)

Nun müssen wir \alpha so bestimmen, dass der Punkt c über der Gerade durch a und b liegt.

{L_2}\left( {0,\frac{3}{2},\frac{\alpha }{2}} \right) = \sqrt {\frac{{1+\frac{{{\alpha ^2}}}{4}}}{{\frac{3}{2}}}} > \frac{1}{2}\left( {{L_2}\left( {0,1,0} \right)+{L_2}\left( {0,2,\alpha } \right)} \right)

\quad \Rightarrow \quad \sqrt {\frac{{1+\frac{{{\alpha ^2}}}{4}}}{{\frac{3}{2}}}} > \frac{1}{2}\left( {1+\sqrt {\frac{{1+{\alpha ^2}}}{2}} } \right)

Wir setzten nun einen Wert für \alpha ein:

\alpha = 10\quad \Rightarrow \quad 4.1633 > 4.0532

Damit haben wir ein Gegenbeispiel gefunden.

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen