U 06.1 – Dampfdruckthermometer

 

mt2-u06-dampfdruckkurve-von-wasser

Abbildung: Dampfdruckkurve von Wasser

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass sich der Dampfdruck als {p_D} = const \cdot {e^{-\frac{{\Delta E}}{{kT}}}} bzw. in logarithmischer Form als \ln {p_D} = A-\frac{B}{T} darstellen lässt.

  1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung die Materialkonstanten A, B, und \Delta E für Wasser.
  2. Bestimmen Sie die Empfindlichkeit bei Temperaturen von 20°C und 200°C.
  3. Das Wasser-Dampfdruckthermometer besteht aus einem Gefäß mit einem Volumen von 1 l und einer Druckfestigkeit von 50 bar. Aus Sicherheitsgründen wird beim Bau des Thermometers nur soviel Flüssigkeit eingefüllt, dass bei einer Temperatur von 250°C die ganze Flüssigkeit verdampft ist. Welche Flüssigkeitsmenge wird demnach eingebracht?
  4. Können Sie mit diesem Thermometer auch noch eine Temperatur von 300°C messen?
    Wenn ja, wie und mit welcher Empfindlichkeit?

Lösung

Unterschied zwischen Dampf- und Gasthermometer ist, dass man beim Dampfthermometer eine deutlich höhere Druckänderung durch die Temperatur hat, als bei einem Gasthermometer.

a) Bestimmung der Materialkonstanten

Grafische Lösung:

Wir suchen uns zunächst aus dem Diagramm 2 beliebige Stützpunkte:

{T_1} = 50^\circ C = 323,15\;K

\Rightarrow \quad \frac{1}{T} = 0,0031\frac{1}{K}\quad ,\quad {p_1} = 0,12\;bar\quad ,\quad \ln \left( {\frac{{{p_1}}}{{bar}}} \right) = -2,12

{T_2} = 250^\circ C = 523,15\;K

\Rightarrow \quad \frac{1}{T} = 0,0019\frac{1}{K}\quad ,\quad {p_2} = 40\;bar\quad ,\quad \ln \left( {\frac{{{p_2}}}{{bar}}} \right) = 3,69

Diese Werte können wir nun in einem neuen Diagramm auftragen:

mt2-u06-dampf_t_p-b
Die Stützstelle A wird bei \frac{1}{T} = 0 abgelesen. -B ist die Steigung der Geraden.

Durch Schätzung erhalten wir:

\underline{\underline {A = 13}} \quad ,\quad -B = -\frac{{\Delta \ln p}}{{\Delta \frac{1}{T}}} = \underline{\underline {-4880\;K}}

Alternativ ist dies auch über ein Gleichungssystem lösbar.

Analytische Lösung:

Gleichungssystem:

\ln {p_D} = A-\frac{B}{T}\quad \Rightarrow \quad \ln {p_D}-A+\frac{B}{T} = 0

\Rightarrow \quad \ln {p_{{D_1}}}-A+\frac{B}{{{T_1}}} = \ln {p_{{D_2}}}-A+\frac{B}{{{T_2}}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {B = \ln \left\{ {\frac{{{p_{{D_1}}}}}{{{p_{{D_2}}}}}} \right\} \cdot \frac{{{T_1}{T_2}}}{{{T_1}-{T_2}}}}}

Mit den beliebigen Stützstellen folgt:

{T_1} = 50^\circ C = 323,15\;K\quad ,\quad {p_1} = 0,12\;bar

{T_2} = 250^\circ C = 523,15\;K\quad ,\quad {p_2} = 40\;bar

\underline{\underline {B = 4880,32\;K}}

A = \ln {p_{{D_1}}}+\frac{B}{{{T_1}}} = \underline{\underline {13}}

Die Verdampfungsenergie erhalten wir wie folgt:

{p_D} = c \cdot {e^{-\frac{{\Delta E}}{{kT}}}}\quad \Rightarrow \quad \ln {p_D} = \ln c-\frac{{\Delta E}}{{kT}}

\ln {p_D} = A-\frac{B}{T} = \ln c-\frac{{\Delta E}}{{kT}}

\Rightarrow \quad A = \ln c\quad \Leftrightarrow \quad c = {e^A}

\Rightarrow \quad B = \frac{{\Delta E}}{k}\quad \Leftrightarrow \quad \Delta E = Bk

Damit gilt:

\Delta E = Bk = 4880\;K \cdot 1,38 \times {10^{-23}}\frac{J}{K}

\Rightarrow \quad \Delta E = 6,74 \times {10^{-20}}J = 0,42\;eV

bzw.

\Delta E = Bk = 4910,35\;K \cdot 1,38 \times {10^{-23}}\frac{J}{K}

\Rightarrow \quad \Delta E = 6,78 \times {10^{-20}}J = 0,42\;eV

Dabei gilt:

0,42eV = 40,523\frac{{kJ}}{{mol}}

Dies ist die Energie, die benötigt wird, um ein kg Wasser bei 100°C vom flüssigen Zustande in die Gasphase zu heben ohne jedoch die Temperatur weiter zu erhöhen.

b) Bestimmung der Empfindlichkeit

Die Empfindlichkeit ist die Ableitung des Druckes nach der Temperatur, also die Tangente am jeweiligen Punkt der Dampfdruckkurve:

\frac{{dp}}{{dT}} = \underbrace {{p_{\max }}}_c \cdot {e^{-\frac{{\Delta E}}{{kT}}}}\left( {-\frac{{\Delta E}}{k}} \right)\left( {-\frac{1}{{{T^2}}}} \right) = p\frac{B}{{{T^2}}}

\frac{{dp}}{{dT}} = \underbrace {c \cdot {e^{-\frac{{\Delta E}}{{kT}}}}}_p \cdot \frac{{\Delta E}}{{k{T^2}}} = p\frac{B}{{{T^2}}}

Mit B = 4880 K folgt durch einfaches Einsetzen:

20^\circ C\quad \to \quad \frac{{dp}}{{dT}} = 1,5 \times {10^{-3}}\frac{{bar}}{K}

200^\circ C\quad \to \quad \frac{{dp}}{{dT}} = 3,2 \times {10^{-1}}\frac{{bar}}{K}

Die Empfindlichkeit ist also bei 200°C um einen Faktor 200 größer, als bei 20°C.

Man muss sich allerdings überlegen, ob die reine Empfindlichkeit eine einzige ausschlaggebende Größe ist. Wenn man irgendwas optimieren möchte, dann geht es oft darum, dass man mit dem Messsystem die relative Änderung einer Größe gut sehen kann. Die absolute Größe interessiert dabei eher weniger.

Die relative Empfindlichkeit ergibt sich zu:

\frac{{dp}}{{dT\;p}} = \frac{B}{{{T^2}}}

Relativ gesehen wird das Thermometer also umso unempfindlicher, je größer die Temperatur wird.

Es folgt für:

20^\circ C\quad \to \quad \frac{{dp}}{{dT\;p}} = 0,06\frac{1}{K}

200^\circ C\quad \to \quad \frac{{dp}}{{dT\;p}} = 0,02\frac{1}{K}

c) Bestimmen der eingebrachten Flüssigkeitsmenge

Man sollte sich dessen bewusst sein, dass man mit diesem Thermometer quasi eine kleine Bombe in der Hand hält, für den Fall, dass die Temperatur und damit der Druck in dem Gefäß zu groß werden.

Als Sicherheitsvorkehrung muss deshalb darauf geachtet werden, dass auch beim Verdampfen der kompletten Flüssigkeit der ertragbare Druck des Gefäßes nicht überschritten wird.

Gehen wir nun einmal davon aus, dass die gesamte Flüssigkeit verdampft ist. In diesem Fall können wir hier die ideale Gasgleichung verwenden:

pV = NkT

Wir setzen nun ein:

V = 1\;l

T = 250^\circ C

Man könnte nun auch die 50 bar einsetzen, allerdings nutzt man normalerweise einen Wert mit Sicherheitslevel, um die Belastbarkeitsgrenze des Thermometers nicht vollständig zu strapazieren. Wir nehmen daher:

p = 40\;bar

Wir bestimmen nun die Teilchenanzahl, die nötig wäre, um diesen Druck zu im Thermometer zu erreichen:

N = \frac{{pV}}{{kT}} = \frac{{40 \cdot {{10}^5}Pa \cdot {{10}^{-3}}{m^3}}}{{1,38 \times {{10}^{-23}}\frac{J}{K} \cdot 523\;K}}

\Rightarrow \quad N = 5,54 \times {10^{23}}Molek\ddot ule\;{H_2}O \approx 1\;mol \overset{\wedge}{=}18g

\Rightarrow \quad {V_{{H_2}O}} = 18\;ml

Hätten wir nun mit p = 50 bar gerechnet, so ergäbe sich:

p = 50\;bar\quad \to \quad V \approx 21\;ml

d) Empfindlichkeit bei Verwendung als Gasthermometer

Ja, es ist möglich, auch noch Temperaturen von 300°C zu messen, denn wenn die gesamte Flüssigkeit verdampft ist, haben wir ein ganz normales Gasthermometer. Mit der idealen Gasgleichung und p = 40 bar würde sich für 300°C folgender Druck ergeben:

\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{T_2}}}\quad \Rightarrow \quad {p_2} = {p_1}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 40\;bar\frac{{573\;K}}{{523\;K}} = 43,8\;bar

Wir wären also immer noch unterhalb der Druckfestigkeit.

Für die Empfindlichkeit ergibt sich:

\frac{{dp}}{{dT}} = \frac{{Nk}}{V} = \frac{{5,54 \times {{10}^{23}} \cdot 1,38 \times {{10}^{-23}}\frac{J}{K}}}{{{{10}^{-3}}{m^3}}} = 7,6 \times {10^{-2}}\frac{{bar}}{K}

Alternativ:

\frac{{dp}}{{dT}} = \frac{{Nk}}{V} = \frac{p}{T} = \frac{{40\;bar}}{{573,15\;K}} = 7,6 \times {10^{-2}}\frac{{bar}}{K}

Für die Relative Änderung ergibt sich:

\frac{{dp}}{{dT\;p}} = 1,7 \times {10^{-3}}\frac{1}{K}

Dieser Wert ist also um eine Größenordnung schlechter als bei 200°C.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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