U 06.1 – Dickwandige Kugel unter Innendruck

 

htm-u06-kugelschnitt-1

Bei der skizzierten dickwandigen Kugel entstehen unter der Wirkung des Innendrucks pi die Spannungen {\sigma _{rr}}\left( r \right),\;{\sigma _{\phi \phi }}\left( r \right) und {\sigma _{\lambda \lambda }}\left( r \right). Für die Kugel gelte elastoplastisches Materialverhalten. Wie groß darf der Innendruck werden,

  1. wenn das Material an der Innenwand gerade zu fließen beginnt,

  2. wenn bis zum Radius rm Fließen auftritt und

  3. wenn bis zum Radius ra Fließen auftritt.

Skizzieren Sie die Spannungsverteilungen.

Gegeben: {r_a},\quad \frac{{{r_i}}}{{{r_a}}} = 0.8,\quad \frac{{{r_m}}}{{{r_a}}} = 0.9,\quad {\sigma _F}

Lösung

Vorbetrachtungen und Herleitungen

Kurze Einführung zum Fließen:

Wir schauen uns zunächst die Fließbedingung von Mises an, welche wir für die Aufgabe benötigen:

\frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2}-\sigma _F^2 = 0

{T^D} ist dabei der so genannte Spannungsdeviator. Man bekommt ihn durch Subtraktion des Kugelanteils vom Spannungstensor:

T = {T^D}+{T^V}\quad \Leftrightarrow \quad {T^D} = T-{T^V}

D: deviatorisch

V: volumetrisch

Der Kugelanteil vom Spannungstensor lautet:

{T^V} = K = {\sigma _M}{\vec e_i} \otimes {\vec e_i} = {\sigma _M}I = \frac{1}{3}Sp\left( T \right)I

\Rightarrow \quad T = {T^D}+{T^V} = {T^D}+\frac{1}{3}Sp\left( T \right)I\quad \Leftrightarrow \quad {T^D} = T-\frac{1}{3}Sp\left( T \right)I

Der Deviator ist also der Tensor ohne den Spuranteil.

Die Norm eines Tensors A lautet:

\left\| A \right\| = \sqrt {A \cdot A} = \sqrt {\left( {{A_{kl}}{{\vec e}_k} \otimes {{\vec e}_l}} \right) \cdot \left( {{A_{ij}}{{\vec e}_i} \otimes {{\vec e}_j}} \right)} = \sqrt {{A_{kl}}{A_{ij}}{\delta _{ki}}{\delta _{lj}}} = \sqrt {{A_{kl}}{A_{kl}}} = \sqrt {\operatorname{Sp} \left( {{A^T}A} \right)}

Nun kommen wir zum eigentlichen Teil der Aufgabe.

Zur Lösung der Aufgabe müssen die Komponenten für die Fließbedingung berechnet werden:

\frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2}-\sigma _F^2 = 0\quad \Leftrightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2}

Da die Kugel durch den Innendruck ausschließlich radial belastet wird, können die Schubspannungterme im Spannungstensor zu Null gesetzt werden:

{\sigma _{r\phi }} = {\sigma _{r\lambda }} = {\sigma _{\phi r}} = {\sigma _{\phi \lambda }} = {\sigma _{\lambda r}} = {\sigma _{\lambda \phi }} = 0

\Rightarrow \quad T = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{rr}}}&0&0 \\   0&{{\sigma _{\phi \phi }}}&0 \\   0&0&{{\sigma _{\lambda \lambda }}}  \end{array}} \right]

\Rightarrow \quad Sp\left( T \right) = {\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}

{T^D} = T-\frac{1}{3}Sp\left( T \right)I

\Rightarrow \quad {T^D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{rr}}}&0&0 \\   0&{{\sigma _{\phi \phi }}}&0 \\   0&0&{{\sigma _{\lambda \lambda }}}  \end{array}} \right]-\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}}&0&0 \\   0&{{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}}&0 \\   0&0&{{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}}  \end{array}} \right]

Nun gilt:

\sigma _F^2 = \frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2} = \frac{3}{2}Sp\left( {{{\left( {{T^D}} \right)}^T}{T^D}} \right)

{\left( {{T^D}} \right)^T}{T^D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\sigma _{rr}}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)}^2}}&0&0 \\   0&{{{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)}^2}}&0 \\   0&0&{{{\left( {{\sigma _{\lambda \lambda }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)}^2}}  \end{array}} \right]

mit: \Sigma = Sp\left( T \right) = {\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}

Sp\left( {{{\left( {{T^D}} \right)}^T}{T^D}} \right) = {\left( {{\sigma _{rr}}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)^2}+{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)^2}+{\left( {{\sigma _{\lambda \lambda }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)^2}

= \sigma _{rr}^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right){\sigma _{rr}}+\frac{1}{9}{\left( \Sigma \right)^2}+\sigma _{\phi \phi }^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right){\sigma _{\phi \phi }}+\frac{1}{9}{\left( \Sigma \right)^2}+\sigma _{\lambda \lambda }^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right){\sigma _{\lambda \lambda }}+\frac{1}{9}{\left( \Sigma \right)^2}

= \sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right)\underbrace {\left( {{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)}_{ = \left( \Sigma \right)}+\frac{1}{3}{\left( \Sigma \right)^2}

= \sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2-\frac{1}{3}{\left( \Sigma \right)^2}

\sigma _F^2 = \frac{3}{2}Sp\left( {{{\left( {{T^D}} \right)}^T}{T^D}} \right)

\Rightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{3}{2}\left( {\sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2} \right)+

\qquad -\frac{1}{2}\left( {{\sigma _{rr}}{\sigma _{rr}}+{\sigma _{rr}}{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{rr}}{\sigma _{\lambda \lambda }}+{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{\lambda \lambda }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\lambda \lambda }}{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)

\Rightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{1}{2}\left[ {2\left( {\sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2} \right)-\left( {2{\sigma _{rr}}{\sigma _{\phi \phi }}+2{\sigma _{rr}}{\sigma _{\lambda \lambda }}+2{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)} \right]

\Rightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right)}^2}+{{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)}^2}+{{\left( {{\sigma _{\lambda \lambda }}-{\sigma _{rr}}} \right)}^2}} \right]

Als nächstes wird die Impulsbilanz benötigt:

\operatorname{div} T+\rho \vec k = \rho \ddot \vec u

Da sich die Kugel in Ruhe befindet und keine Massenkräfte angreifen, gilt:

\vec k = 0,\quad \ddot \vec u = 0\quad \Rightarrow \quad \operatorname{div} T = 0

Wie in Übung 5.2 bereits hergeleitet wurde, gilt für die Divergenz in Kugelkoordinaten:

\operatorname{div} T = \left( {\frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}}+\frac{2}{r}{\sigma _{rr}}-\frac{1}{r}{\sigma _{\phi \phi }}-\frac{1}{r}{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right){\vec e_r}+\frac{{\cos \phi }}{{r\sin \phi }}\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right){\vec e_\phi }

Wenn die Divergenz Null sein soll, so muss dies auch jede ihrer Komponenten sein:

\operatorname{div} T = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{\cos \phi }}{{r\sin \phi }}\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {\sigma _{\phi \phi }} = {\sigma _{\lambda \lambda }}

Aus der Impulsbilanz erfolgt also, dass {\sigma _{\phi \phi }} = {\sigma _{\lambda \lambda }} ist.

Eingesetzt folgt für die Divergenz und die Fließspannung:

\operatorname{div} T = \frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}}+\frac{2}{r}\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right) = 0

\sigma _F^2 = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right)}^2}+{{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{rr}}} \right)}^2}} \right] = \sigma _{rr}^2-2{\sigma _{rr}}{\sigma _{\phi \phi }}+\sigma _{\phi \phi }^2 = {\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right)^2}

\Rightarrow \quad {\sigma _F} = {\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}\quad \cup \quad {\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{rr}}

Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

\operatorname{div} T = \frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}}+\frac{2}{r}\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right) = 0

\Rightarrow \quad \frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}} = \frac{2}{r}{\sigma _F}

Durch Integration ergibt sich nun:

{\sigma _{rr}} = 2{\sigma _F}\ln r+C

Zur Bestimmung von C kommt jetzt noch die Randbedingung hinzu:

{\sigma _{rr}}\left( {{r_i}} \right) = -{p_i}

\Rightarrow \quad C = -{p_i}-2{\sigma _F}\ln {r_i}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-{p_i}}}

Für den Elastischen Bereich gilt (wie bereits aus Aufgabe 5.2 bekannt):

{\sigma _{rr}} = \frac{E}{{\left( {1-2\nu } \right)}}{C_1}-\frac{{2E}}{{\left( {1+\nu } \right)}}{C_2}{r^{-3}}

{\sigma _{\lambda \lambda }} = {\sigma _{\phi \phi }} = \frac{E}{{1-2\nu }}{C_1}+\frac{E}{{1+\nu }}{C_2}{r^{-3}}

Die Konstanten werden nun wieder aus den Randbedingungen ermittelt.

htm-u06-kugelschnitt-2

Am Innenrand des elastischen Bereichs, also bei r = {r_g} gilt die Fließbedingung. Daher folgt für die Fließspannung:

{\sigma _F} = {\sigma _{\phi \phi }}\left( {{r_g}} \right)-{\sigma _{rr}}\left( {{r_g}} \right) = 3\frac{E}{{1+n}}{C_2} \cdot r_g^{-3}\quad \Rightarrow \quad {C_2} = {\sigma _F} \cdot r_g^3\frac{{1+\nu }}{{3E}}

Die Randbedingung lautet:

{\sigma _{rr}}\left( {{r_a}} \right) = -{p_a} = 0

\Rightarrow \quad \frac{E}{{1-2\nu }}{C_1}-\frac{{2E}}{{1+\nu }}{C_2}r_a^{-3} = 0

\Rightarrow \quad {C_1} = \frac{{2\left( {1-2\nu } \right)}}{{1+\nu }}{C_2}r_a^{-3} = \frac{3}{2}\frac{{1-2\nu }}{E}{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)^3}{\sigma _F}

Daraus folgt die Spannungsverteilung im elastischen Bereich:

{\sigma _{rr}} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{r}} \right)}^3}} \right]

{\sigma _{\phi \phi }} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{{r_g}}}{r}} \right)}^3}} \right]

{\sigma _{\lambda \lambda }} = {\sigma _{\phi \phi }}

Nun darf die Spannung {\sigma _{rr}}\left( r \right)beim Übergang vom plastischen in den elastischen Bereich keinen Sprung aufweisen:

htm-u06-spannung-beim-uebergang

Daher muss gelten:

{\sigma _{rr,ELAS}}\left( {{r_g}} \right) = {\sigma _{rr,PLAS}}\left( {{r_g}} \right)

Folgende Formeln haben wir bereits für die Spannung hergeleitet:

{\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-{p_i} (plastisch)

{\sigma _{rr}} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_g}}}} \right)}^3}} \right] (elastisch)

Es muss also bei r = {r_g} gelten:

2{\sigma _F}\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_g}}}} \right)}^3}} \right]\quad

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]}}

Mit diesem Zusammenhang zwischen pi und σF kann die Spannungsverteilung im plastischen Bereich angegeben werden:

{\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-{p_i}

\Rightarrow\quad {\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-\frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]

\Rightarrow\quad {\sigma _{rr}}\left( r \right) = -\frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{r}{{{r_i}}}-3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]

{\sigma _{rr}} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{r}{{{r_g}}}+{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-1} \right]

{\sigma _{\phi \phi }} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{r}{{{r_g}}}+{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+\frac{1}{2}} \right]

{\sigma _{\lambda \lambda }} = {\sigma _{\phi \phi }}

Die Berechnung des nötigen Innendrucks für die Teilaufgaben a) bis c) ist nun also mit folgender Formel möglich:

\boxed{{p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]}

a) Das Material beginnt an der Innenwand zu fließen

{r_g} = {r_i}

\Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_i}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_i}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right] = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {1-{{\left( {\frac{{{r_i}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}} \right] = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {1-{{0,8}^3}} \right]

\Rightarrow \quad {p_i} = \underline{\underline {0,325{\sigma _F}}}

htm-u06-spannungsverteilung-1

b) Das Material fließt bis zum Radius rm

{r_g} = {r_m}

\Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_m}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_m}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]

\Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{0,9}}{{0,8}}-{{\left( {0.9} \right)}^3}+1} \right] = \underline{\underline {0,416{\sigma _F}}}

\frac{{{r_i}}}{{{r_a}}} = 0,8\quad ,\quad \frac{{{r_m}}}{{{r_a}}} = 0,9\quad \Rightarrow \quad \frac{{{r_m}}}{{{r_i}}} = \frac{{{r_m}}}{{{r_a}}}\frac{{{r_a}}}{{{r_i}}} = \frac{{0,9}}{{0,8}}

htm-u06-spannungsverteilung-2

c) Das Material fließt bis zum Radius ra

{r_g} = {r_a}\quad \Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_a}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_a}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right] = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{1}{{0,8}}} \right] = \underline{\underline {0,446{\sigma _F}}}

htm-u06-spannungsverteilung-3

\mathcal{J}\mathcal{K}