U 06.2 – Erweitertes Lagrange-Funktional

 

Es sei D: = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {0,1} \right]:y\left( 0 \right) = h = y\left( 1 \right),y > 0} \right\} mit einem festen h > 0. Es seien J:D \to \mathbb{R} und I:{C^1}\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} gegeben durch

J\left( y \right) = \int_0^1 {y\left( t \right)\sqrt {1+{{\dot y}^2}} dt}

und

I\left( y \right) = \int_0^1 {\sqrt {1+{{\dot y}^2}\left( t \right)} dt}.

Bestimmen Sie die Extremalen von J auf D, welche die Nebenbedingung I\left( y \right) = \ell erfüllen.

Anleitung:

Der Ansatz über Lagrange-Multiplikatoren liefert eine erweiterte Lagrange-Funktion vom Typ F = L+\lambda G. Zeigen Sie demnächst, dass die Euler-Gleichungen dafür unter Benutzung von Formel (11) der Vorlesung auf die Gleichung

\frac{{y+\lambda }}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }} = D,\quad D = C+\lambda \ell

hinausläuft, wobei C eine noch unbestimmte Konstante ist. Lösen Sie dann die Differentialgleichung analog zum Vorgehen bei Aufgabe 3, Blatt 3 auf. Die Lösung lautet

y\left( t \right) = D\cosh \left( {\frac{{t+A}}{D}} \right)-\lambda

mit einer weiteren Konstante A, die aus den Randbedingungen berechnet werden kann. Ergebnis: A = -\frac{1}{2}. Nebenbedingungen führen auf die Gleichung \sinh \left( {\frac{1}{{2D}}} \right) = \frac{\ell }{{2D}}.

Lösung

Als Hintergrund der Aufgabenstellung kann die folgende Frage angesehen werden:

Welche unter allen Kurven y = y\left( t \right) mit y\left( 0 \right) = y\left( t \right) = h und vorgegebener Länge \ell hat die Eigenschaft, dass bei Rotation der Kurve um die t-Achse eine Rotationsfläche mit minimalem Flächeninhalt entsteht?

vari-u06-2-funktionsverlauf

Kommen wir nun zur Aufgabenstellung.

Wir bilden wieder die erweiterte Lagrange-Funktion:

F\left( {t,y,\dot y} \right) = y\sqrt {1+{{\dot y}^2}} +\lambda \left( {\sqrt {1+{{\dot y}^2}} -\ell } \right)

Da t nicht explizit in F auftritt, ist die Euler-Gleichung eine autonome DGL und gemäß (11) bekommen wir:

F-\dot y{F_{\dot y}} = C = \operatorname{const}

{F_{\dot y}} = \frac{{y\dot y}}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }}+\lambda \frac{{\dot y}}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }} = \frac{{\left( {y+\lambda } \right)\dot y}}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }}

\quad \Rightarrow \quad \left( {y+\lambda } \right)\sqrt {1+{{\dot y}^2}} -\ell \lambda -\frac{{\left( {y+\lambda } \right){{\dot y}^2}}}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }} = C

\quad \Rightarrow \quad \frac{{\left( {y+\lambda } \right)\left( {1+{{\dot y}^2}} \right)-\left( {y+\lambda } \right){{\dot y}^2}}}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }} = C+\ell \lambda

\quad \Rightarrow \quad \frac{{y+\lambda }}{{\sqrt {1+{{\dot y}^2}} }} = \underbrace {C+\ell \lambda }_{ = :D}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{y+\lambda }}{D} = \sqrt {1+{{\dot y}^2}}

\quad \Rightarrow \quad 1+{{\dot y}^2} = {\left( {\frac{{y+\lambda }}{D}} \right)^2}

\quad \Rightarrow \quad {{\dot y}^2} = \frac{{{{\left( {y+\lambda } \right)}^2}-{D^2}}}{{{D^2}}}

\quad \Rightarrow \quad \dot y = \pm \frac{{\sqrt {{{\left( {y+\lambda } \right)}^2}-{D^2}} }}{D}

\quad \Rightarrow \quad \frac{D}{{\sqrt {{{\left( {y+\lambda } \right)}^2}-{D^2}} }}dy = \pm dt

Wir suchen nun eine Stammfunktion zu

\frac{D}{{\sqrt {{{\left( {y+\lambda } \right)}^2}-{D^2}} }}

Dabei nutzen wir die bekannte Stammfunktion

\int {\frac{1}{{\sqrt {{u^2}-1} }}du} = {\cosh ^{-1}}u

Wir formen um und integrieren:

u: = \frac{{y+\lambda }}{D}\quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{D}dy\quad \Rightarrow \quad dy = Ddu

\int {\frac{D}{{\sqrt {{{\left( {y+\lambda } \right)}^2}-{D^2}} }}dy} = \int {\frac{D}{{D\sqrt {{{\left( {\frac{{y+\lambda }}{D}} \right)}^2}-1} }}dy} = \int {\frac{D}{{\sqrt {{u^2}-1} }}du} = D{\cosh ^{-1}}u

Also:

{\cosh ^{-1}}\left( {\frac{{y+\lambda }}{D}} \right) = \pm \frac{{t+A}}{D}

Aufgrund der Symmetrie der cosh-Funktion:

\quad \Rightarrow \quad \frac{{y+\lambda }}{D} = \cosh \left( {\frac{{t+A}}{D}} \right)

\quad \Rightarrow \quad y = D\cosh \left( {\frac{{t+A}}{D}} \right)-\lambda

Randbedingungen:

y\left( 0 \right) = h\quad \Rightarrow \quad D\cosh \left( {\frac{A}{D}} \right) = h+\lambda \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)

y\left( 1 \right) = h\quad \Rightarrow \quad D\cosh \left( {\frac{{A+1}}{D}} \right) = h+\lambda \quad \quad \quad \quad \left( 2 \right)

\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)-\left( 2 \right)} \quad D\left( {\cosh \left( {\frac{A}{D}} \right)-\cosh \left( {\frac{{A+1}}{D}} \right)} \right) = 0

\quad \Rightarrow \quad \cosh \left( {\frac{A}{D}} \right) = \cosh \left( {\frac{{A+1}}{D}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \frac{A}{D} = \pm \frac{{A+1}}{D}

\quad \Rightarrow \quad A = -A-1

\quad \Rightarrow \quad A = -\frac{1}{2}

\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = D\cosh \left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{D}} \right)-\lambda

\quad \Rightarrow \quad \dot y\left( t \right) = \sinh \left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{D}} \right)

\quad \Rightarrow \quad 1+{{\dot y}^2} = 1+{\sinh ^2}\left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{D}} \right) = {\cosh ^2}\left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{D}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \sqrt {1+{{\dot y}^2}\left( t \right)} = \cosh \left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{D}} \right)

\quad \Rightarrow \quad I\left( y \right) = \int_0^1 {\cosh \left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{D}} \right)dt} = \left[ {D\sinh \left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{D}} \right)} \right]_0^1

\quad \Rightarrow \quad I\left( y \right) = D\left( {\sinh \left( {\frac{1}{{2D}}} \right)-\sinh \left( {\frac{{-1}}{{2D}}} \right)} \right) = 2D\sinh \left( {\frac{1}{{2D}}} \right)\quad \mathop = \limits^! \quad \ell

\quad \Rightarrow \quad \sinh \left( {\frac{1}{{2D}}} \right) = \frac{\ell }{{2D}}

Für \ell > 1 hat die Gleichung zwei relevante Nullstellen {x^*} und -{x^*}, ansonsten hat sie nur die Nullösung:

vari-u06-2-sinh

{D_\ell } < 0 liefert ein Maximum für das Funktional J. Wir wollen aber ein Minimum bestimmen, daher müssen wir das positive {D_\ell } > 0 benutzen.

\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = {D_\ell }\cosh \left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{{{D_\ell }}}} \right)-\lambda

\quad \mathop = \limits^{\left( 1 \right)} {D_\ell }\cosh \left( {\frac{{t-\frac{1}{2}}}{{{D_\ell }}}} \right)-{D_\ell }\cosh \left( {\frac{1}{{2{D_\ell }}}} \right)+h