U 06.2 – Materialmodell, Materialgleichungen

 

Gegeben ist das Materialmodell für lineare Elastizität:

T = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {\underline{\underline E} +\frac{\nu }{{1-2\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right)

mit dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl ν. Außerdem sind die Materialgleichungen

T = 2\mu \underline{\underline E} +\lambda Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

und

T = 2G{\underline{\underline E} ^D}+KSp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

der linearen Elastizität bekannt. Wie groß müssen µ und λ bzw. G und K gewählt werden, damit der Elastizitätstensor Cijkl für die drei Materialgleichungen identisch ist?

Gegeben: E, ν

Lösung

Man kann für die ersten beiden Gleichungen direkt sehen:

T = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {\underline{\underline E} +\frac{\nu }{{1-2\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right) = \underbrace {\frac{E}{{1+\nu }}}_{2\mu }\underline{\underline E} +\underbrace {\frac{E}{{1+\nu }}\frac{\nu }{{1-2\nu }}}_\lambda Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I = 2\mu \underline{\underline E} +\lambda Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\mu = \frac{E}{{2\left( {1+\nu } \right)}}}} \quad ,\quad \lambda = \underline{\underline {\frac{{E\nu }}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-2\nu } \right)}}}}

Um die Lösung für die anderen beiden Variablen zu bekommen, zerlegen wir T in seinen Kugel- und Deviatoranteil:

T = {T^D}+{T^V}

{T^V} = \frac{1}{3}Sp\left( T \right)I = \frac{1}{3}\left[ {Sp\left( {\frac{E}{{1+\nu }}\left( {\underline{\underline E} +\frac{\nu }{{1-2\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right)} \right)} \right]I

Da sich die Spur nur auf Matrizen auswirkt und in die Klammer hineingezogen werden kann, gilt:

\Rightarrow \quad {T^V} = \frac{1}{3}\left[ {\frac{E}{{1+\nu }}\left( {Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)+\frac{\nu }{{1-2\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right) \cdot \underbrace 3_{Sp\left( I \right)}} \right)} \right]I

\Rightarrow \quad {T^V} = \frac{1}{3}\frac{E}{{1+\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)\left[ {\left( {1+\frac{{3\nu }}{{1-2\nu }}} \right)} \right]I

\Rightarrow \quad {T^V} = \frac{1}{3}\frac{E}{{1+\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)\left( {\frac{{1-2\nu +3\nu }}{{1-2\nu }}} \right)I

\Rightarrow \quad {T^V} = \frac{E}{{3\left( {1-2\nu } \right)}}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

Für den Deviatoranteil gilt:

{T^D} = T-{T^V}

\Rightarrow \quad {T^D} = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {\underline{\underline E} +\frac{\nu }{{1-2\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right)-\frac{E}{{3\left( {1-2\nu } \right)}}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

\Rightarrow \quad {T^D} = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {\underline{\underline E} +\frac{\nu }{{1-2\nu }}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right)-\frac{E}{{1+\nu }}\frac{{1+\nu }}{{3\left( {1-2\nu } \right)}}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

\Rightarrow \quad {T^D} = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {\underline{\underline E} +\left( {\frac{\nu }{{1-2\nu }}-\frac{{1+\nu }}{{3\left( {1-2\nu } \right)}}} \right)Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right)

\Rightarrow \quad {T^D} = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {\underline{\underline E} +\frac{{3\nu -1-\nu }}{{3\left( {1-2\nu } \right)}}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right)

\Rightarrow \quad {T^D} = \frac{E}{{1+\nu }}\underbrace {\left( {\underline{\underline E} -\frac{1}{3}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I} \right)}_{{{\underline{\underline E} }^D}}

\Rightarrow \quad {T^D} = \frac{E}{{1+\nu }}{\underline{\underline E} ^D}

Daraus erhält man nun:

T = 2G{\underline{\underline E} ^D}+KSp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

T = {T^D}+{T^V} = \frac{E}{{1+\nu }}{\underline{\underline E} ^D}+\frac{E}{{3\left( {1-2\nu } \right)}}Sp\left( {\underline{\underline E} } \right)I

\Rightarrow \quad \underline{\underline {G = \frac{E}{{2\left( {1+\nu } \right)}}}} \quad ,\quad \underline{\underline {K = \frac{E}{{3\left( {1-2\nu } \right)}}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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