U 06.2 – Rechteck-Fenster und Dreieck-Fenster

 

Vergleichen Sie im Folgenden quantitativ die Intensitätsverteilung F{\left( \omega \right)^2} bzw. die Amplitude F\left( \omega \right) der Fouriertransformierten von Rechteck-Fensterfunktion {f_{\boxed{}}}\left( t \right) und Dreieck-Fensterfunktion {f_\Delta }\left( t \right) der Länge T mit.

{F_{\boxed{}}}\left( \omega \right) = T\left( {\frac{{\sin \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right)}}{{\frac{{\omega T}}{2}}}} \right)\quad {F_\Delta }\left( \omega \right) = \frac{{{T^2}}}{4}{\left( {\frac{{\sin \left( {\frac{{\omega T}}{4}} \right)}}{{\frac{{\omega T}}{4}}}} \right)^2}

  1. Wo liegen die Nebenmaxima („Sideslopes“) und Nullstellen?
  2. Wir groß ist jeweils das Verhältnis der Höhe des 1. Sideslopes zum zentralen Peak? (Transzendente Gleichungen können graphisch oder durch iterative Näherungen mit dem Taschenrechner gelöst werden!)
  3. Berechnen Sie die 3dB-Bandbreite für die beiden Fensterfunktionen.
  4. Was ist der Sinn bestimmter Fensterfunktionen und welche Kriterien werden zu Auswahl einer geeigneten Fensterfunktion angewendet?

Lösung

a) Nebenmaxima und Nullstellen

Sinusfunktion im Rechteckfenster:

mess-u06-sinus-rechteck

Sinusfunktion im Dreieckfenster:

mess-u06-sinus-dreieck

{F_{\boxed{}}}\left( \omega \right) = T\left( {\frac{{\sin \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right)}}{{\frac{{\omega T}}{2}}}} \right)\quad {F_\Delta }\left( \omega \right) = \frac{{{T^2}}}{4}{\left( {\frac{{\sin \left( {\frac{{\omega T}}{4}} \right)}}{{\frac{{\omega T}}{4}}}} \right)^2}

(Diese Formeln wurden in Blatt 5, Aufgabe 3 hergeleitet)

Nullstellen:

Rechteckfunktion: \underline{\underline {\omega = \frac{{2\pi \cdot n}}{T}}}

Dreieckfunktion: \underline{\underline {\omega = \frac{{4\pi \cdot n}}{T}}} \quad n \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ 0 \right\}

Nebenmaxima:

Rechteck:

0\mathop = \limits^! \frac{d}{{d\omega }}\frac{{\sin \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right)}}{{\frac{{\omega T}}{2}}} = \frac{{\frac{T}{2}\cos \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right) \cdot \frac{{\omega T}}{2}-\sin \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right) \cdot \frac{T}{2}}}{{{{\left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right)}^2}}}

\Rightarrow \quad \sin \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right)\mathop = \limits^! \cos \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right) \cdot \frac{{\omega T}}{2}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\tan \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right) = \frac{{\omega T}}{2}}}

Dreieck:

\underline{\underline {\tan \left( {\frac{{\omega T}}{4}} \right) = \frac{{\omega T}}{4}}}

ω erreicht dort seine Maxima, wo \frac{{\omega T}}{2} = {x_i} bzw. \frac{{\omega T}}{4} = {x_i} gilt. Diese {x_i} gilt es nun zu bestimmen f, wobei es sich allerdings um transzendente Gleichungen handelt \left( {\tan x = x} \right):

mess-u06-tranzendente-gleichung-tan

Durch numerische Berechnung folgt:

{x_1} = 4,4934

{x_2} = 7,7251

{x_3} = 10,9035

{x_4} = \ldots

Damit gilt dann:

\underline{\underline {{\omega _{max\boxed{}}} = \frac{{2 \cdot {x_i}}}{T}}}

\underline{\underline {{\omega _{max\Delta }} = \frac{{4 \cdot {x_i}}}{T}}}

b) Verhältnis von Höhe des 1. Sideslopes zu Hauptpeak.

Wir brauchen also die Höhe des Hauptpeaks für beide Fenster:

Hauptpeak:

\begin{array}{*{20}{c}}{Rechteck} & {Dreieck} \\{\mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} \left( {F\left( \omega \right)} \right) = T \cdot \frac{{\cos \left( {\frac{{\omega T}}{2}} \right) \cdot \frac{T}{2}}}{{\frac{T}{2}}} = T} & {\mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} \left( {F\left( \omega \right)} \right) = \frac{{{T^2}}}{4}} \\{F\left( 0 \right) = T\quad {F^2}\left( 0 \right) = {T^2}} & {F\left( 0 \right) = \frac{{{T^2}}}{4}\quad {F^2}\left( 0 \right) = \frac{{{T^4}}}{{16}}} \\   \end{array}

Nebenmaxima (Sideslopes):

Wir setzen nun für die Ausgangsgleichungen \frac{{\omega T}}{2} = {x_i} bzw. \frac{{\omega T}}{4} = {x_i} ein:

\begin{array}{*{20}{c}}{Rechteck} & {Dreieck} \\{{F_1} = F\left( {{\omega _{\max ,1}}} \right) = -0,217T} & {{F_1} = \frac{{{T^2}}}{4}{{\left( {\frac{{\sin \left( {{x_1}} \right)}}{{{x_1}}}} \right)}^2} = \frac{{{T^2}}}{4}{{\left( {-0,217} \right)}^2} = \frac{{{T^2}}}{4} \cdot 0,0472} \\{F_1^2 = 0,047{T^2}} & {F_1^2 = 0,0022\frac{{{T^4}}}{{16}}} \\{\frac{{\left| {{F_1}} \right|}}{{{F_0}}} = 21,7\% \quad \frac{{F_1^2}}{{F_0^2}} = 4,7\% } & {\frac{{\left| {{F_1}} \right|}}{{{F_0}}} = 4,7\% \quad \frac{{F_1^2}}{{F_0^2}} = 0,22\% } \\   \end{array} \quad

Die Dreieckfunktion ergibt niedrigere Ausläufer, wodurch weniger „Untergrund“ entsteht.
Die quadratischen Werte bezeichnen die Intensität.

c) Abfall auf 3db

F = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {F_0}\quad \Rightarrow \quad {F^2} = 0,5 \cdot F_0^2

\begin{array}{*{20}{c}}{Rechteck} &\vline & {Dreieck} \\ \hline{{T^2}{{\left( {\frac{{\sin \left( x \right)}}{x}} \right)}^2} = \frac{{{T^2}}}{2}} &\vline & {\frac{{{T^4}}}{{16}}{{\left( {\frac{{\sin \left( x \right)}}{x}} \right)}^4} = \frac{{{T^4}}}{{16 \cdot 2}}} \\{{{\sin }^2}x = \frac{{{x^2}}}{2}} &\vline & {{{\sin }^4}x = \frac{{{x^4}}}{2}} \\{ \Rightarrow \quad {\omega _1} = \frac{{2 \cdot 1,3916}}{T}} &\vline & { \Rightarrow \quad {\omega _2} = \frac{{4 \cdot 1,0019}}{T}} \\{ \Rightarrow \quad \Delta {\omega _{3dB}} = 2{\omega _1} = \underline{\underline {\frac{{5,566}}{T}}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \Delta {\omega _{3dB}} = 2{\omega _2} = \underline{\underline {\frac{{8,0152}}{T}}} } \\   \end{array}

d) Sinn von bestimmten Fensterfunktionen und Auswahlkriterien

Erst einmal kommt es darauf an, was man überhaupt messen will.

Will man Frequenzanteile nahe der Hauptfrequenz messen, so benötigt man:
Eine schmale Einhüllende des Fensters
z.B. Rechteckfunktion

Will man Frequenzen mit niedriger Amplitude messen, die weiter weg von der Hauptfrequenz sind so benötigt man:
„Sanfte“ Fenster mit niedrigen Sideslopes
z.B. Dreieckfunktion, Kaiser-Bessel-Fenster

Damit hat man weniger „Untergrund”, jedoch besitzt der Peak nahe der Hauptfrequenz dann eine höhere Breite.

Bei einem Dreieckfenster verlieren wir zwar Informationen, aber wir können auch die eigentliche Sinusfrequenz sehr gut herausfiltern.

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}