U 07.1 – Nebenbedingungen von gleicher Struktur wie die Funktion

 

Es sei D: = \left\{ {y \in {C^2}\left[ {0,1} \right]:y\left( 0 \right) = 0 = y\left( 1 \right)} \right\}. Die Funktionale J,{I_1},{I_2}:D \to \mathbb{R} werden definiert durch

J\left( y \right) = \int\limits_0^1 {{{\dot y}^2}\left( t \right)dt}

{I_1}\left( y \right) = \int\limits_0^1 {y\left( t \right)dt}

{I_2}\left( y \right) = \int\limits_0^1 {ty\left( t \right)dt}

Finden Sie die Extremalen von J auf D, welche die Nebenbedingungen {I_1}\left( y \right) = 2a und {I_2}\left( y \right) = a mit einem festen a \in \mathbb{R} erfüllen.

Lösung

Wir bilden zunächst die erweiterte Lagrange-Funktion:

F\left( {t,y,\dot y} \right) = {\dot y^2}+{\lambda _1}\left( {y-2a} \right)+{\lambda _2}\left( {ty-a} \right)

mit den Konstanten {\lambda _{1,2}}.

Diese setzen wir in die Euler-Gleichung ein:

\frac{d}{{dt}}{F_{\dot y}} = {F_y}\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{{dt}}\left( {2\dot y} \right) = {\lambda _1}+{\lambda _2}t\quad \Rightarrow \quad 2\ddot y\left( t \right) = {\lambda _1}+{\lambda _2}t

\quad \Rightarrow \quad \ddot y\left( t \right) = \frac{{{\lambda _1}}}{2}+\frac{{{\lambda _2}}}{2}t

\quad \Rightarrow \quad \dot y\left( t \right) = \frac{{{\lambda _1}}}{2}t+\frac{{{\lambda _2}}}{4}{t^2}+{c_1}

\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = \frac{{{\lambda _1}}}{4}{t^2}+\frac{{{\lambda _2}}}{{12}}{t^3}+{c_1}t+{c_2}

Randbedingungen:

y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {c_2} = 0

y\left( 1 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{{\lambda _1}}}{4}+\frac{{{\lambda _2}}}{{12}}+{c_1} = 0\quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)

Nebenbedingung 1:

\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{\lambda _1}}}{4}{t^2}+\frac{{{\lambda _2}}}{{12}}{t^3}+{c_1}t} \right)dt} \mathop = \limits^! 2a

\quad \Rightarrow \quad \frac{{{\lambda _1}}}{{12}}+\frac{{{\lambda _2}}}{{48}}+\frac{{{c_1}}}{2}\mathop = \limits^! 2a\quad \quad \quad \quad \left( 2 \right)

Nebenbedingung 2:

\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{\lambda _1}}}{4}{t^3}+\frac{{{\lambda _2}}}{{12}}{t^4}+{c_1}{t^2}} \right)dt} \mathop = \limits^! a

\quad \Rightarrow \quad \frac{{{\lambda _1}}}{{16}}+\frac{{{\lambda _2}}}{{60}}+\frac{{{c_1}}}{3}\mathop = \limits^! a\quad \quad \quad \quad \left( 3 \right)

Aus (1) erhalten wir durch Umformen:

{c_1} = -\frac{{{\lambda _1}}}{4}-\frac{{{\lambda _2}}}{{12}}\quad \quad \quad \quad \left( 4 \right)

Dies setzen wir nun in (2) ein:

\frac{{{\lambda _1}}}{{12}}+\frac{{{\lambda _2}}}{{48}}-\frac{{{\lambda _1}}}{8}-\frac{{{\lambda _2}}}{{24}} = 2a

\quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{{24}}{\lambda _1}-\frac{1}{{48}}{\lambda _2} = 2a\quad \quad \quad \quad \left( 5 \right)

Nun setzen wir (4) in (3) ein:

\frac{{{\lambda _1}}}{{16}}+\frac{{{\lambda _2}}}{{60}}-\frac{{{\lambda _1}}}{{12}}-\frac{{{\lambda _2}}}{{36}} = a

\quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{{48}}{\lambda _1}-\frac{1}{{90}}{\lambda _2} = a\quad \quad \quad \quad \left( 6 \right)

\left( 5 \right)-2 \cdot \left( 6 \right) ergibt:

-\frac{1}{{24}}{\lambda _1}-\frac{1}{{48}}{\lambda _2}+\frac{1}{{24}}{\lambda _1}+\frac{1}{{45}}{\lambda _2} = 0

\quad \Rightarrow \quad \left( {\frac{1}{{45}}-\frac{1}{{48}}} \right){\lambda _2} = 0\quad \Rightarrow \quad {\lambda _2} = 0

Dies setzen wir in (5) ein:

\quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{{24}}{\lambda _1} = 2a\quad \Rightarrow \quad {\lambda _1} = -48a

\quad \Rightarrow \quad {c_1} = -\frac{{{\lambda _1}}}{4}-\frac{{{\lambda _2}}}{{12}} = 12a

\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {y\left( t \right) = -12a{t^2}+12at}}