U 08.1 – Balkenwaage – Vorstufe zum ADC

 

mess-u08-prinzipskizze-balkenwaage

Betrachten Sie die Balkenwaage (Abbildung 1)

  1. Funktionsweise

    1. Bestimmen Sie die messbare Massendifferenz \Delta m aus dem Winkelausschlag \alpha , der Balkenlänge l, der Masse am Pendel M und er Länge des Pendels x.
    2. Wie groß ist diese Masse für den konkreten Fall, mit M = 1\:kg\quad l = 0,5\:m\quad x = 0,1\:m\quad \alpha = 10^\circ.
    3. Mit welcher Genauigkeit können Sie diese Masse bestimmen, wenn Sie den Winkel auf 1° genau messen können?
    4. Wie können Sie die Messunsicherheit reduzieren?

  2. Messtechniken
    Sie haben für Ihre Waage eine Geometrie gefunden, mit der Sie aufgrund der Winkelmessung eine Genauigkeit von 0.1° erzielen (Winkelbereich und -auflösung wie oben). Sie wollen mit ihrer Waage Gewichte bis zu einer Masse von 25kg messen, brauchen dazu also einen Satz von Gegengewichten.

    1. Sie wählen einen Satz von Gegengewichten, die alle eine Masse von 1g besitzen. Wie viele Gewichte benötigen Sie, um den angestrebten Massebereich abwiegen zu können? Wie viele Messschritte brauchen Sie, um eine Masse von 5kg zu wiegen?
    2. Sie wählen nun einen Satz von Gegengewichten, bei dem sich die Massen von Stück zu Stück verdoppeln, also 1g auf 2g, 4g, usw. Beantworten Sie die beiden Fragen aus der letzten Teilaufgabe auf für diesen Fall.
    3. Was ist der Vorteil dieses Waagetyps gegenüber einer herkömmlichen Waage ohne Schwerpunktmasse am Pendel?
  3. Zusatzaufgaben zum Knobeln

    1. Welche Stückelung muss Ihr Satz von Gegengewichten haben, um den Massebereich mit der Geringsten Anzahl von Gewichten messen zu können?
    2. Sie haben 12 Kugeln, die an ihrem Aussehen nicht zu unterscheiden sind. Bis auf eine Kugel sind alle Kugeln gleich schwer. Sie haben eine Balkenwaage. Können Sie mit drei Mal wiegen feststellen, welche Kugel sich von anderen unterscheidet und ob sie schwerer oder leichter ist als die anderen?

Lösung

a)

i)

Wir lösen diese Aufgabe über das Momentgleichgewicht:

mess-u08-balkenwaage-kraefte

Es gilt hier:

\left( {F+\Delta F} \right) \cdot a = {F^\prime } \cdot {a^\prime }+F \cdot a

mit:

F = m \cdot g

a = l \cdot \cos \left( \alpha \right)

{a^\prime } = x \cdot \sin \left( \alpha \right)

\left( {m+\Delta m} \right) \cdot g \cdot l \cdot \cos \left( \alpha \right) = M \cdot g \cdot x \cdot \sin \left( \alpha \right)+m \cdot g \cdot l \cdot \cos \left( \alpha \right) \\   \left( {m+\Delta m} \right) \cdot l \cdot \cos \left( \alpha \right) = M \cdot x \cdot \sin \left( \alpha \right)+m \cdot l \cdot \cos \left( \alpha \right) \\   \left( {m+\Delta m} \right) \cdot l-m \cdot l = M \cdot x \cdot \frac{{\sin \left( \alpha \right)}}{{\cos \left( \alpha \right)}} \\   \left( {m+\Delta m} \right) \cdot l-m \cdot l = M \cdot x \cdot \tan \left( \alpha \right) \\   \Delta m \cdot l = M \cdot x \cdot \tan \left( \alpha \right) \\   \Delta m = M \cdot \frac{x}{l} \cdot \tan \left( \alpha \right) \approx M \cdot \frac{x}{l} \cdot \alpha \\

ii)

Es folgt Lösen durch Einsetzen:

\Delta m = 1\:kg \cdot \frac{{10\:cm}}{{50\:cm}} \cdot \tan \left( {10^\circ } \right) = 35\:g

iii)

Für eine Winkelgenauigkeit von 1° mit den Werten aus ii:

\Delta m = 1\:kg \cdot \frac{{10\:cm}}{{50\:cm}} \cdot \tan \left( {1^\circ } \right) = 3,5\:g

iv)

Zur Reduktion von Messungenauigkeiten bräuchte man:

kleines M, kurzes x, langes l
generell: Winkel genau messen! D.h. mit langem Zeiger messen.

b)

Gegeben:

{m_{\max }} = 25\:kg

\alpha = 0,1^\circ

\Delta m = 1\:g

i)

Anzahl der benötigten Schritte:

N = \frac{{{m_{\max }}}}{{\Delta m}} = 25000

N\left( {5\:kg} \right) = \frac{{5\:kg}}{{\Delta m}} = 5000

ii)

Die Massen der Gewichte würden wie folgt aussehen:

\begin{array}{*{20}{c}}  i \hfill &\vline & {\Delta m\left( i \right)/\left[ g \right]} \hfill \\ \hline  1 \hfill &\vline & 1 \hfill \\  2 \hfill &\vline & 2 \hfill \\  3 \hfill &\vline & 4 \hfill \\  4 \hfill &\vline & 8 \hfill \\  5 \hfill &\vline & {16} \hfill \\  6 \hfill &\vline & {32} \hfill \\  7 \hfill &\vline & {64} \hfill \\  8 \hfill &\vline & {128} \hfill \\  9 \hfill &\vline & {256} \hfill \\{10} \hfill &\vline & {512} \hfill \\{11} \hfill &\vline & {1024} \hfill \\{12} \hfill &\vline & {2048} \hfill \\{13} \hfill &\vline & {4096} \hfill \\{14} \hfill &\vline & {8192} \hfill \\{15} \hfill &\vline & {16384} \hfill \\   \end{array}

Wir können nun über die Summe feststellen, wie viele Gewichte wir brauchen:

\sum\limits_{i = 1}^{14} {\Delta m\left( i \right)} = \sum\limits_{n = 0}^{13} {{2^n}} = 16383

\sum\limits_{i = 1}^{15} {\Delta m\left( i \right)} = \sum\limits_{n = 0}^{14} {{2^n}} = 32767

Wir brauchen also 15 Gewichte („15-bit“), um den Bereich bis 25 kg abdecken zu können.

Allgemein gilt:

Maximal abgedeckter Messbereich: {2^N}-1
Wert des maximalen (höchsten) Bit: {2^{N-1}}

Wir viele Messschritte muss benötigt man nun, um ein Gewicht von genau 5 kg zu messen? Wir wählen im Normalfall immer zuerst das höchste Gewicht und verfahren dann wie folgt.

\begin{array}{*{20}{c}}  M \hfill & {{M_i}/\:\left[ g \right]} \hfill & {} \hfill & {} \hfill & {Bitregister} \hfill & \Sigma \hfill \\ \hline{{M_0}} \hfill & {+16384} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{2}} \hfill & {+8192} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{4}} \hfill & {+4096} \hfill & { < m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 1 \hfill & {4096} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{8}} \hfill & {+2048} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {4096} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{16}}} \hfill & {+1024} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {4096} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{32}}} \hfill & {+512} \hfill & { < m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 1 \hfill & {4608} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{64}}} \hfill & {+256} \hfill & { < m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 1 \hfill & {4864} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{128}}} \hfill & {+128} \hfill & { < m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 1 \hfill & {4992} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{256}}} \hfill & {+64} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {4992} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{512}}} \hfill & {+32} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {4992} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{1024}}} \hfill & {+16} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {4992} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{2048}}} \hfill & {+8} \hfill & { = m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 1 \hfill & {\underline{\underline {5000}} } \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{4096}}} \hfill & {+4} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {5000} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{8192}}} \hfill & {+2} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {5000} \hfill \\{\frac{{{M_0}}}{{16384}}} \hfill & {+1} \hfill & { > m} \hfill & \Rightarrow \hfill & 0 \hfill & {5000} \hfill \\   \end{array}

In der folgenden Grafik ist dieses Prinzip noch einmal grafisch dargestellt. Im ersten Schritt wird das größte Gewicht aufgelegt. Man stellt fest, dass dieses zu groß ist und nimmt es im nächsten Schritt daher wieder herunter. Dann nimmt man das nächstkleinere Gewicht. Wenn nun ein Gewicht hat, dass unter den zu messenden 5 kg ist, so lässt man dieses im nächsten Schritt auf der Waage. So fährt man fort, bis die 5 kg erreicht sind:

mess-u08-bitregister-veranschaulichung

So in etwa kann man sich auch die Arbeitsweise eines Analog-Digital-Wandlers (ADC) vorstellen.

iii)

Dadurch, dass sich eine zusätzliche Masse an der Waage befindet, die sich immer in Richtung des leichteren Gewichts bewegt, können größere Massendifferenzen der beiden Enden der Waage bestimmt werden.

c)

i)

Siehe auch „Bachet Gewichtsproblem (17. Jh.)“:

Wenn beide Schalen belegt werden dürfen, reicht ein Faktor 3 als Unterschied zwischen den Gewichten:

{m_n} = 3 \cdot {m_{m-1}}

z.B. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, …

Denn:

1 = 1

2 = 3-1

3 = 3

4 = 3+1

5 = 9-\left( {3+1} \right)

6 = 9-3

7 = 9-\left( {3-1} \right)

8 = 9-1

etc.

Mit diesem so genannten Ternäre System braucht nun zwar weniger Gewichte (Ternärer Wägesatz), aber dafür mehr Wiegeschritte.

(Für Aufgabe 1b bräuchte man nur noch n = 10 Gewichte)

Wenn nur eine Schale belegt werden darf entspricht dies dem „Binären System“ (1, 2, 4, 8, 16, …).

Zusatz: Max. wiegbares Gewicht beim ternären System:

\sum\limits_{k = 0}^n {{a_0} \cdot {q^k}} = {a_0} \cdot \frac{{{q^{n+1}}-1}}{{q-1}} = \frac{{{3^{n+1}}-1}}{2} = 0,5 \cdot \left( {{3^{n+1}}-1} \right)

Wir haben n+1 Gewichte. Daraus folgt für z.B. 4 Gewichte:
\Sigma = 40 bei größtem Gewicht {3^3} = 27

ii)

Wer sich den Spaß des Probierens entgehen lassen will, der kann sich hier die Lösung anschauen:

mess-u08-12-kugeln-waage-loesung

Eine weitere interessante Lösungsmöglichkeit findet man auch hier.

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}