U 09.1 – A/D-Umsetzer mit sukzessiver Annäherung (Wägeumsetzer)

 

mess-u09-schaltung-fuer-waegeumsetzer

Abbildung 1 zeigt schematisch die Schaltung der ersten 4-Bit eines A/D Wägeumsetzers. {U_x} ist die zu messende Spannung, {U_0} die Referenzspannung des Digital/Analog-Umsetzers (DAU), {U_V} ist die vom DAU erzeugte Vergleichsspannung.

  1. Betrachten Sie im Folgenden eines 8-Bit Umsetzer. Welche Spannungswerte {U_V} repräsentieren die einzelnen Bits?
  2. Geben Sie die digitale Auflösung (LSB) des A/D-Wandlers an.
  3. Was ist der Unterschied zu einem „4+4-Bit“ Umsetzer?
  4. Beschreiben Sie den Umsetzungsvorgang für {U_x} = 9,3\:V und {U_0} = 16\:V für die ersten 5 Taktzyklen und skizzieren Sie den Spannungsverlauf für {U_V} in Abhängigkeit des Taktzyklus.
  5. Geben sie das digitale Ergebnis {F_1}{F_2} \ldots {F_8} der Umsetzung an. Was bedeutet diese Zahl?
  6. Sie wollen mit dem Wägeumsetzer eine Wechselspannung {U_x}\left( t \right) = {U_A} \cdot \sin \left( {{\omega _x}t} \right) abtasten. Wie groß darf die Frequenz {f_x} , der zu messenden Wechselspannung {U_x}\left( t \right) bei einer Auflösung von 8 Bit maximal sein, wenn die Abweichung zwischen {U_x}\left( t \right) und dem abgetasteten Wert maximal dem Spannungswert des niederwertigsten Bits betragen soll? Es gilt: {f_0} = 1\:MHz,\quad {U_A} = 10\:V,\quad {U_0} = 16\:V.

Lösung

Wir schauen uns nun an, wie ein ADC tatsächlich arbeitet.

(In der Prüfung wird übrigens kein Schaltplan für den ADC verlangt. Nur Prinzip von Bitsetzen / Wägestück auflegen sollte verstanden worden sein.)

a) Spannungswerte der einzelnen Bits

Die Bits entsprechen hier bestimmten Teilspannungen, so wie die Wägestücke einer Waage verschiedenen Gewichten entsprechen:

\begin{array}{*{20}{c}}{Bit-Code} &\vline & {Bit\:} &\vline & {{U_V}} \\ \hline{10000000} &\vline & 1 &\vline & {\frac{{{U_0}}}{2}} \\{01000000} &\vline & 2 &\vline & {\frac{{{U_0}}}{4}} \\  \ddots &\vline & 3 &\vline & {\frac{{{U_0}}}{8}} \\{} &\vline & \vdots &\vline & \vdots \\{00000001} &\vline & 8 &\vline & {\frac{{{U_0}}}{{256}}} \\   \end{array}

{U_V} kann dadurch jede Summenkombination der einzelnen Teilspannungen annehmen. (Das wären 256 verschiedene Werte).

b) Digitale Auflösung des A/D-Wandlers

Die „digitale Auflösung“ wird durch das LSB angegeben. LSB steht für „Least Signifikant Bit“, also das niederwertigste Bit. Im Falle von 8 Bit bedeutet dies also:

\Delta U = \frac{{{U_0}}}{{{2^N}}} = \frac{{{U_0}}}{{{2^8}}} = \underline{\underline {\frac{{{U_0}}}{{256}}}} \quad \approx 3,9 \cdot {10^{-3}} \cdot {U_0}

Der Gesamte messbare Bereich wird also in 256 Teile eingeteilt.

c) Unterschied zu einem 4+4-Bit-Umsetzer

Bei einem 8-Bit-Umsetzer erhält man eine optimale Auflösung.

Bei einem 4+4-Bit-Umsetzer dagegen eine möglichst schnelle Codierung.

Bei einem 4+4-Bit-Umsetzer erfolgt eine Unterteilung in:

\underbrace {\frac{1}{2},\:\frac{1}{4},\:\frac{1}{8},\:\frac{1}{{16}}}_{Ziffer\:1};\:\underbrace {\frac{1}{{20}},\:\frac{1}{{40}},\:\frac{1}{{80}},\:\frac{1}{{160}}}_{Ziffer\:2};\underbrace \ldots _{Ziffer\:3}

Für die Teilspannungen gilt also:

\underbrace {\frac{{{U_0}}}{2},\:\frac{{{U_0}}}{4},\:\frac{{{U_0}}}{8},\:\frac{{{U_0}}}{{16}}}_{Ziffer\:1};\:\underbrace {\frac{{{U_0}}}{{20}},\:\frac{{{U_0}}}{{40}},\:\frac{{{U_0}}}{{80}},\:\frac{{{U_0}}}{{160}}}_{Ziffer\:2};\underbrace \ldots _{Ziffer\:3}

Grund für die Darstellung in BCD-Schreibweise ist der Code-Umsetzer auf der Digitalanzeige.

Das niederwertigste Bit ist hier nur 1/160:

{U_{LSB}} = \Delta U = \frac{{{U_0}}}{{160}} = 6,25 \cdot {10^{-3}} \cdot {U_0}

Wir erhalten also eine schlechtere Auflösung:

d) Beschreibung des Umsetzvorganges

Spannungsverlauf mit Taktverlauf:

mess-u09-spannungsverlauf-umsetzvorgang-taktzyklus

Takt 1 (Initialisierungstakt):

Ladungssignal Q = 1 an den Eingängen von T1 und D1

Dennoch passiert beim ersten Takt nichts, weil das T1-Flip-Flop nichts an das D1-FF weitergibt.

Dieser Takt dient dem Initialisieren und Rücksetzen von F1 … F4

Takt 2:

Beim zweiten Takt schiebt das T2-FF den Takt an das T1-FF, damit liegt am T1-FF auch etwas an und für das D1-FF wird das Setzbit gesetzt.

Taktsignal an:

Q\left( {{D_1}} \right) = 1\quad \to \quad \boxed\&-Verknüpfung setzt RS1-Flipflop: Q(RS1) = 1

Komparatorschaltung mit {U_V} = \frac{{{U_0}}}{2} = \frac{{16\:V}}{2} = 8\:V

\boxed{\underline{\underline {{U_V} < {U_x}}} }\quad \Rightarrow \quad \boxed{\underline{\underline {K = 0}} }

Der Komparator liefert also 0.

Daraus folgt:

Q\left( {{R_1}} \right) = 0

Q\left( {{S_1}} \right) = 1

Taktsignal aus:

Ist der Wert zu groß (das Wägestück zu schwer), so wird das Bit wieder weggenommen. In diesem Fall ist der Wert nicht zu groß.

Das linke &-Signal gibt 0 an das Rücksetzbit R aus (vom ausgeschalteten Takt bekommt es zwar eine 1, aber von K bekommt es eine 0 am Eingang).

\Rightarrow \quad R{S_1} = 1 (RS-Flipflop bleibt)

\Rightarrow \quadZustand (10000000) wird \boxed{\underline{\underline {gehalten}} }

(Die unterstrichenen Teile in den Kästen sind wichtig für die Klausur)

Takt 3:

Beim nächsten Takt liegt am D2-FF eine 1 an und das nächste Setzbit (Wägestück) wird gesetzt.

Taktsignal an:

Q\left( {{D_2}} \right) = 1\quad \to \quad Q\left( {R{S_2}} \right) = 1\quad \left( {Zustand:\:1100\:0000} \right)

Taktsignal aus:

Ist der Wert zu groß (das Wägestück zu schwer), so wird das Bit wieder weggenommen. In diesem Fall ist der Wert zu groß.

Für den Komparator gilt:

{U_V} = \frac{{{U_0}}}{2}+\frac{{{U_0}}}{4} = 12\:V > {U_x}\quad \Rightarrow \quad \boxed{K = 1}\quad \Rightarrow \quad Q\left( {{R_2}} \right) = 1

\Rightarrow \quad R{S_2} = 0

Daraus folgt ein Rücksetzen des RS2-Flipflop

Die Teilspannung \frac{{{U_0}}}{4} wird also wieder abgeschaltet \Rightarrow Zustand: 1000 0000

Takt 4:

Q\left( {{D_3}} \right) = 1\quad \Rightarrow \quad R{S_3} = 1\quad \left( {Zus\tan d:\:1010\:0000} \right)

\Rightarrow \quad {U_V} = \frac{{{U_0}}}{2}+\frac{{{U_0}}}{8} = 10\:V > {U_x}\quad \Rightarrow \quad K = 1

\Rightarrow Rücksetzen von RS3 \Rightarrow \quad 1000\:0000 bleibt

Takt 5:

Q\left( {{D_4}} \right) = 1\quad \Rightarrow \quad R{S_4} = 1\quad \left( {Zus\tan d:\:1001\:0000} \right)

\Rightarrow \quad {U_V} = \frac{{{U_0}}}{2}+\frac{{{U_0}}}{{16}} = 9\:V < {U_x}\quad \Rightarrow \quad K = 0

\Rightarrow \quad R{S_4} = 1\quad \Rightarrow \quad 1001\:0000\quad \boxed{\underline{\underline {gehalten}} }

usw.

e) Digitales Ergebnis der Umrechnung

\begin{array}{*{20}{c}}{{U_V}} & {vgl.} & F \\ \hline{\frac{{{U_0}}}{2} = \frac{{16\:V}}{2} = 8\:V} & { < {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_1} = 1} \\{\frac{{{U_0}}}{2}+\frac{{{U_0}}}{4} = 12\:V} & { > {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_2} = 0} \\{\frac{{{U_0}}}{2}+\frac{{{U_0}}}{8} = 10\:V} & { > {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_3} = 0} \\{\frac{{{U_0}}}{2}+\frac{{{U_0}}}{{16}} = 9\:V} & { < {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_4} = 1} \\{9\:V+\frac{{{U_0}}}{{32}} = 9,5\:V} & { > {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_5} = 0} \\{9,25\:V} & { < {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_6} = 1} \\{9,375\:V} & { > {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_7} = 0} \\{9,3125\:V} & { > {U_x}\quad \Rightarrow } & {{F_8} = 0} \\   \end{array}

Das digitale Ergebnis lautet also: 1001 0100

Das Ergebnis bedeutet für die Umrechnung in eine Dezimalzahl:

{U_x} \approx \frac{{{U_0}}}{{256}} \cdot \left( {{F_8} \cdot {2^0}+{F_7} \cdot {2^1}+ \ldots +{F_1} \cdot {2^8}} \right) = \underline{\underline {9,25\:V}}

f) Maximale Frequenz der zu messenden Wechselspannung

Wir bestimmen die Maximale Steigung der Funktion.

\frac{{d{U_x}}}{{dt}}\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {{U_A} \cdot \sin {\omega _x}t} \right) = {\omega _x} \cdot {U_A} \cdot \cos {\omega _x}t

max\left( {\frac{{d{U_x}}}{{dt}}} \right) = {\omega _x}{U_A} = 2\pi {f_x} \cdot {U_A}

Die Spannungsdifferenz pro Messzyklus soll nun < {U_{LSB}} sein, so dass sie keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis haben kann und somit eine Verfälschung vermieden wird. Mit einem Messzyklus der Dauer T ergibt sich durch lineare Annäherung der Steigung:

max\left( {\frac{{d{U_x}}}{{dt}}} \right) \cdot T < {U_{LSB}}

Was ist ein Messzyklus?

Ein Messzyklus dauert bei 8 Bit 9 Takte, also n+1 Takte wegen Initialisierungstakt und Rücksetzvorgang. Die Dauer des Messzyklus wird auch als „Conversion Time“ bezeichnet.

Da sich die Spannung um maximal ULSB ändern darf ergibt sich somit:

2\pi {f_x} \cdot {U_A} \cdot \left( {n+1} \right) \cdot \frac{1}{{{f_0}}} < \frac{{{U_0}}}{{{2^n}}}

\Rightarrow \quad {f_x} < \frac{{{U_0}}}{{{U_A}}} \cdot {f_0} \cdot \frac{1}{{2\pi \cdot \left( {n+1} \right) \cdot {2^n}}} = \frac{{16\:V}}{{10\:V}} \cdot 1\:Mhz \cdot \frac{1}{{2\pi \cdot 9 \cdot {2^8}}} = \underline{\underline {110\:Hz}}

Der ADC ist also relativ langsam. Dafür brauchen aber auch nur die Vergleichsspannung und die Schrittzahl erhöht werden um mehr Bit messen zu können. Zudem ist er sehr kostengünstig und präzise.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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2 Kommentare zu “U 09.1 – A/D-Umsetzer mit sukzessiver Annäherung (Wägeumsetzer)”

Ich glaube in Teil d) Takt 4 ist ein Fehler. K müsste an dieser Stelle doch 1 sein, ansonsten wird der Reset ja nicht gesetzt, oder?
mfg

Vollkommen richtig! K muss 1 sein. Danke, hab’s korrigiert.

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