u01.1 – Norm auf Räumen endlicher Folgen

 

S bezeichne im Folgenden den Skalarbereich eines Vektorraums V, wobei S = \mathbb{R} oder S = \mathbb{C}.

  1. Bestimmen Sie alle Normen über dem reellen Vektorraum V = \mathbb{R}
  2. Wir definieren die Abbildung {\left\| \cdot \right\|_1}:{S^n} \to \mathbb{R} durch

    {\left\| x \right\|_1}: = \sum\limits_{i = k}^n {\left| {{x_k}} \right|}

    und setzen

    \left(S^n, \left\| \cdot \right\| _1 \right) =: l_n^1 (Raum endlicher Folgen). Zeigen Sie, dass l_n^1 ein normierter Raum ist.

Lösung

a )

Wir suchen eine Abbildung n:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, welche die folgenden Bedingungen erfüllt:

\left( {N1} \right):\quad n\left( x \right) \geq 0\forall x \in \mathbb{R},\quad n\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 0

\left( {N2} \right):\quad n\left( {\alpha x} \right) = \left| \alpha \right|n\left( x \right)\forall \alpha \in \mathbb{R},x \in \mathbb{R}

\left( {N3} \right):\quad n\left( {x+y} \right) \leq n\left( x \right)+n\left( y \right)\forall x,y \in \mathbb{R}

Als zulässige Norm können wir die skalaren Vielfachen nutzen.

Für ein festes x \ne 0 gilt nach der ersten Forderung: n\left( x \right): = C > 0

Wähle \alpha \in \mathbb{R} beliebig und x=1, dann folgt für die zweite Forderung: n\left( \alpha \right) = n\left( 1 \right) \cdot \left| \alpha \right| = C \cdot \left| \alpha \right|

auch die dritte Forderung ist erfüllt.

n\left( x \right) = C \cdot \left| x \right|

ist somit die einzige Norm auf \mathbb{R}

b )

Zeige: {\left\| x \right\|_{l_1^n}}: = \sum\limits_{i = k}^n {\left| {{x_k}} \right|} ist eine Norm.

Wir prüfen, ob die Forderungen erfüllt sind:

\left( {N1} \right):\quad n\left( x \right) \geq 0\forall x \in \mathbb{R},\quad n\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 0

ist erfüllt, da nur positive Zahlen addiert werden. Wenn die Norm 0 sein soll, können nur Nullen aufaddiet werden.

\left( {N2} \right):\quad n\left( {\alpha x} \right) = \left| \alpha \right|n\left( x \right)\forall \alpha \in \mathbb{R},x \in \mathbb{R}

ist erfüllt, da {\left\| {\alpha x} \right\|_1}: = \sum\limits_{i = k}^n {\left| {\alpha {x_k}} \right|} = \left| \alpha \right|\sum\limits_{i = k}^n {\left| {{x_k}} \right|} = \left| \alpha \right|{\left\| x \right\|_1}

\left( {N3} \right):\quad n\left( {x+y} \right) \leq n\left( x \right)+n\left( y \right)\forall x,y \in \mathbb{R}

ist erfüllt, da n\left( {x+y} \right) = \sum\limits_{i = k}^n {\left| {{x_k}+{y_k}} \right|} \leq \sum\limits_{i = k}^n {\left| {{x_k}} \right|} +\sum\limits_{i = k}^n {\left| {{y_k}} \right|} = n\left( x \right)+n\left( y \right)

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