U 01.1 – U/U-Verstärker

 

mt2-u01-u-u-verstaerker-dreipolig-vierpolig

Abbildung: Gegengekoppelter U/U-Verstärker mit a) vierpolig und b) dreipolig dargestelltem Grundverstärker.

In der Abbildung ist der schon in der Vorlesung behandelte gegengekoppelte U/U-Verstärker dargestellt. In der vierpoligen Darstellung sind dabei auch Eingangs- und Innenwiderstand R_e^\prime und R_i^\prime des offenen Verstärkers eingezeichnet.

  1. Berechnen Sie die Empfindlichkeit {k_u} = \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} des Verstärkers unter Einbeziehung aller auftretenden Teilspannungen. Geben Sie auch den Grenzfall für {k_u} für einen idealen Verstärker mit {k^\prime } \to \infty an.
  2. Berechnen Sie den Eingangswiderstand {R_e} = \frac{{{u_e}}}{{{i_e}}} des gegengekoppelten Verstärkers. Setzen Sie ihn mit dem des offenen Verstärkers R_e^\prime in Verbindung.
  3. Geben Sie analog zu Teilaufgabe b) den Ausgangs- oder Innenwiderstand {R_i} des Systems an.
  4. Beispiel für einen realen Verstärker: Um die Spannung {u_e} = 1mV auf {u_a} = 1V zu verstärken, ist die Empfindlichkeit {k_u} = 1000 erforderlich. Mit einem idealen Operationsverstärker kann dies z.B. mit {R_1} = 999k\Omega und {R_2} = 1k\Omega realisiert werden. Mit diesem Spannungsteiler wird nun ein realer Operationsverstärker mit {k^\prime } = {10^5},\:R_e^\prime = {10^{10}}\Omega ,\:\:R_i^\prime = 100\Omega mit einem Lastwiderstand {R_b} = 1k\Omega beschaltet. Berechnen Sie hierfür die Größen {k_u},\:g,\:{R_e},\:{R_i}.

Lösung

Allgemeine Hinweise zum U/U-Verstärker:

Der Eingangswiderstand sollte möglichst groß sein, damit wenig Strom durch ihn fließt und die Quelle nicht belastet wird. Auch die Kombination aus den beiden Widerständen {R_1},{R_2} sollte möglichst groß sein, damit am Ausgang die maximale Spannung abfällt. Der Innenwiderstand (Ausgangswiderstand) dagegen sollte möglichst klein sein, damit keine Spannung im Operationsverstärker “verloren” geht und das Ergebnis nicht verfälscht wird.

a) Empfindlichkeit

Es wird die Empfindlichkeit des Verstärkers gesucht:

k\left( {{k^\prime },{R_1},{R_2},R_i^\prime ,R_E^\prime } \right) = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}}

Ziel soll es zunächst sein, k ausschließlich durch die Widerstände und die intrinsische Verstärkung k’ auszudrücken. Dazu werden als erstes die Maschengleichungen aufgestellt.

Für die Masche am Eingang gilt:

{U_e}-{U_g}-U_e^\prime = 0

{U_G} wird dabei aus dem Spannungsteiler abgeleitet:

{U_a} = {R_1} \cdot I+{R_2} \cdot I\quad \Rightarrow \quad I = \frac{{{U_a}}}{{{R_1}+{R_2}}}

{R_2} \cdot I = {U_g}\quad \Rightarrow \quad {U_a} = {R_1} \cdot I+{U_g} = \frac{{{R_1}}}{{{R_1}+{R_2}}}{U_a}+{U_g}

\Rightarrow \quad {U_g} = {U_a}-\frac{{{R_1}}}{{{R_1}+{R_2}}}{U_a} = {U_a} \cdot \left( {1-\frac{{{R_1}}}{{{R_1}+{R_2}}}} \right) = {U_a} \cdot \left( {\frac{{{R_1}+{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}-\frac{{{R_1}}}{{{R_1}+{R_2}}}} \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{U_g} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}{U_a}}}

Damit gilt:

{U_e}-{U_g}-U_e^\prime = 0

\Rightarrow \quad {U_e}-\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}{U_a}-U_e^\prime = 0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {U_e^\prime = {U_e}-\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}{U_a}}}

Für die Masche am Ausgang gilt:

{k^\prime }U_e^\prime -{U_a}-{I_a}R_i^\prime = 0

\Rightarrow \quad {k^\prime }U_e^\prime -{U_a}-R_i^\prime \frac{{{U_a}}}{{{R_b}}} = 0

Wir setzen nun U_e^\prime aus der Gleichung für den Eingang ein:

\Rightarrow \quad {k^\prime }{U_e}-{k^\prime }\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}{U_a}-{U_a}-\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}{U_a} = 0

Anschließend lösen wir nach Ua auf:

{k^\prime }{U_e} = \left( {{k^\prime }\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+1+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}} \right) \cdot {U_a}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{U_a} = \frac{{{U_e}}}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}}}}}

Daraus erhalten wir real:

\boxed{k = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}}}}

Wir betrachten nun den Idealfall {k^\prime } \to \infty:

\Rightarrow \quad \boxed{k = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{{R_1}+{R_2}}}{{{R_2}}} = 1+\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}}

Operationsverstärker bestehen aus Transistoren. Diese können mit einer kleinen Spannung einen Spannungsfluss schalten. Kombiniert man viele Transistoren (in OPs über 100.000), können sehr große Verstärkungen erreicht werden. Allerdings wird das Ergebnis durch die große Anzahl an Bauelementen, die nicht alle genau vermessen werden können, ziemlich ungenau. Außerdem sind Operationsverstärker wärmeabhängig. Im Fall des hier betrachteten Verstärkers hängt die Empfindlichkeit nur von zwei Widerständen ab, die man beliebig genau messen kann. Durch die Rückkopplung ist somit die eigentliche Verstärkung nicht mehr von der intrinsischen Verstärkung abhängig.

b) Eingangswiderstand

Eingangswiderstand:

{R_e} = \frac{{{U_e}}}{{{I_e}}} = \frac{{{U_e}}}{{I_e^\prime }}

R_e^\prime = \frac{{U_e^\prime }}{{I_e^\prime }}\quad \Rightarrow \quad {R_e} = \frac{{{U_e}}}{{U_e^\prime }}R_e^\prime

Wir ersetzen die Eingangsspannung durch den Quotienten aus Ausgangsspannung und Empfindlichkeit. Außerdem ersetzen wir die intrinsische Eingangsspannung unter Benutzung der Maschengleichung des Ausgangs aus a):

{U_e} = \frac{{{U_a}}}{{{k^\prime }}}

{k^\prime }U_e^\prime -{U_a}-R_i^\prime \frac{{{U_a}}}{{{R_b}}} = 0

\Rightarrow \quad U_e^\prime = \frac{{{U_a}}}{{{k^\prime }}} \cdot \left( {1+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}} \right)

\Rightarrow \quad {R_e} = \frac{{{U_e}}}{{U_e^\prime }}R_e^\prime = \frac{{\frac{{{U_a}}}{k}}}{{\frac{{{U_a}}}{{{k^\prime }}}\left( {1+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}} \right)}}R_e^\prime = \frac{{{k^\prime }}}{k}\frac{1}{{1+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}}}R_e^\prime

Wie bereits gesagt sollte der Innenwiderstand sehr klein sein. Der Quotient \frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}} geht daher gegen 0:

\Rightarrow \quad {R_e} = \frac{{{k^\prime }}}{k}R_e^\prime

Wenn nun noch der intrinsische Verstärkungsfaktor des Operationsverstärkers gegen unendlich geht, erhalten wir:

\boxed{{k^\prime } \to \infty \quad \Rightarrow \quad {R_e} \to \infty }

c) Berechnung des Innenwiderstandes

Für den Leerlauf (unter der Annahme, dass {R_1},\:{R_2},\:{R_b} \to \infty) gilt:

{U_{aL}} = {U_q} = {k^\prime }U_e^\prime

(Uq bezeichnet die Quellspannung)

Unter Last fällt durch den Stromfluss am Innenwiderstand eine Spannung ab. In diesem Fall gilt:

{U_a}-{U_q}+{U_{{R_i}}} = 0

\Rightarrow \quad {U_a} = {U_q}-{U_{{R_i}}}

\Rightarrow \quad {U_{{R_i}}} = {U_q}-{U_a}

Da die Quellspannung der Leerlaufspannung entspricht, gilt:

{U_{{R_i}}} = {U_q}-{U_a} = {U_{aL}}-{U_a}

Für den Strom gilt:

{I_a} = \frac{{{U_{{R_i}}}}}{{{R_i}}} = \frac{{{U_{aL}}-{U_a}}}{{{R_i}}}

Damit folgt nun:

{I_a} = \frac{{{U_a}}}{{{R_b}}} = \frac{{{U_{aL}}-{U_a}}}{{{R_i}}} = \frac{{\Delta {U_a}}}{{{R_i}}},\quad \quad {U_{aL}} = {k^\prime }U_e^\prime

\Rightarrow \quad \boxed{{R_i} = \left( {\frac{{{U_{aL}}}}{{{U_a}}}-1} \right){R_b}}

Eingesetzt wird nun noch die bekannte Beziehung aus Teilaufgabe a:

{U_a} = \frac{{{U_e}}}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}}}

Für den Leerlauf gilt damit:

{U_{aL}} = \frac{{{U_e}}}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_{bL}}}}}}\quad ,\quad {R_{bL}} \to \infty

Durch einsetzen erhalten wir somit:

{R_i} = \left( {\underbrace {\frac{{{U_e}}}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_{bL}}}}}}}_{Leerlauf} \cdot \underbrace {\frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}}}{{{U_e}}}}_{Betrieb}-1} \right){R_b}

Bei der Leerlaufspannung mit offenem Ausgang ist der Lastwiderstand {R_{bL}} unendlich groß. Wir können die restlichen Terme daher wie folgt kürzen:

{R_i} = \left( {\frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}}}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}}}-1} \right){R_b} = \left( {\frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}-\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}-\frac{1}{{{k^\prime }}}}}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}}}} \right){R_b}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{R_i} = \frac{{\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }}}}}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}}} = \frac{{R_i^\prime }}{{1+\frac{{{k^\prime }}}{k}}}}}

Zur Erinnerung: Für den idealen Verstärker galt in Teilaufgabe a):

k = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{{R_1}+{R_2}}}{{{R_2}}} = 1+\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}

Geht die intrinsische Verstärkung gegen unendlich, dann geht der Innenwiderstand gegen 0.

d) realer Verstärker

Es folgt die Berechnung der realen Größen.

Mit den hergeleiteten Formeln gilt:

{k_u} = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}+\frac{1}{{{k^\prime }}}+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}}} = \frac{1}{{\frac{{1.000\:\Omega }}{{1.000.000\:\Omega }}+\frac{1}{{{{10}^5}}}+\frac{{100\:\Omega }}{{{{10}^5} \cdot 1.000\:\Omega }}}} = \underline{\underline {989,12}}

{R_e} = \frac{{{k^\prime }}}{k} \cdot \frac{1}{{1+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}}} \cdot R_e^\prime = \frac{{{{10}^5}}}{{989,12}} \cdot \frac{1}{{1+\frac{{100\:\Omega }}{{1.000\:\Omega }}}} \cdot {10^{10}}\Omega = \underline{\underline {9,19 \cdot {{10}^{11}}\Omega }}

{R_i} = \frac{{R_i^\prime }}{{1+\frac{{{k^\prime }}}{k}}} = \frac{{100\:\Omega }}{{1+\frac{{{{10}^5}}}{{989,12}}}} = \underline{\underline {0,979\:\Omega }}

g = \frac{{{k^\prime }}}{k} = \underline{\underline {101,1}}

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}