U 01.2 – I/U-Verstärker

 

mt2-u01-i-u-verstaerker-dreipolig-vierpolig

Abbildung: Gegengekoppelter I/U-Verstärker mit a) vierpolig und b) dreipolig dargestelltem Grundverstärker.

In der Abbildung ist ein invertierender Stromverstärker gezeigt. Der p-Eingang ist dabei auf Masse gelegt um Gleichtaktspannungen zu vermeiden. Das Eingangssignal des hier betrachteten Systems ist nun der Strom {I_e}, das Ausgangssignal die Spannung {U_a}.

Berechnen Sie mit Hilfe der auftretenden Knoten- und Maschengleichungen die Empfindlichkeit {k_R} = \frac{{{U_a}}}{{{I_e}}} des Systems. Betrachten Sie auch hier den Grenzfall eines idealen Operationsverstärkers.

Berechnen Sie analog zu Aufgabe 1 den Eingangswiderstand {R_e} und den Ausgangswiderstand {R_i} des rückgekoppelten Systems.

Lösung 1.2

a) Empfindlichkeit

Für einen I/U-Verstärker muss gelten:

R_e^\prime \gg {R_g},\quad {R_g} \gg R_i^\prime

Siehe auch Skript, Kap. 1.4

Wir suchen nun die Knoten- und Maschengleichungen. Zuerst betrachten wir den Knoten am Eingang:

{I_e}+{I_g}-I_e^\prime = 0\quad ,\quad I_e^\prime = -\frac{{U_e^\prime }}{{R_e^\prime }}

\Rightarrow \quad {I_g} = -{I_e}-\frac{{U_e^\prime }}{{R_e^\prime }}

Nun betrachten wir die erste Masche:

U_e^\prime -{R_g}{I_g}+{U_a} = 0

Durch Einsetzen von {I_g} erhalten wir:

U_e^\prime +{R_g}{I_e}+\frac{{{R_g}}}{{R_e^\prime }}U_e^\prime +{U_a} = 0

Wegen R_e^\prime \gg {R_g} gilt:

U_e^\prime +{R_g}{I_e}+{U_a} = 0

Wir betrachten nun die zweite Masche:

{k^\prime }U_e^\prime +U_e^\prime -U\left( {{R_g}} \right)-U\left( {R_i^\prime } \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {k^\prime }U_e^\prime +U_e^\prime -{R_g}{I_g}-R_i^\prime \left( {{I_a}+{I_g}} \right) = 0

Wir setzen nun {I_g} ein und setzen {I_a} = \frac{{{U_a}}}{{{R_b}}}:

{k^\prime }U_e^\prime +U_e^\prime +{R_g}{I_e}+\frac{{{R_g}}}{{R_e^\prime }}U_e^\prime -\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}{U_a}+R_i^\prime {I_e}+\frac{{R_i^\prime }}{{R_e^\prime }}U_e^\prime = 0

Da der intrinsische Verstärkungsfaktor groß ist \left( {{k^\prime }U_e^\prime \gg U_e^\prime } \right), können wir den zweiten Summanden streichen. Da R_e^\prime sehr groß ist, können wir außerdem die beiden Terme streichen, bei denen R_e^\prime im Nenner steht. Zusätzlich gilt {R_g}{I_e} \gg R_i^\prime {I_e}, weshalb auch noch der vorletzte Term gestrichen wird:

\Rightarrow \quad {k^\prime }U_e^\prime +{R_g}{I_e}-\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}{U_a} = 0

Wir setzen nun die Spannung U_e^\prime ein:

\Rightarrow \quad -{k^\prime }{R_g}{I_e}-{k^\prime }{U_a}+{R_g}{I_e}-\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}{U_a} = 0

Vor dem ersten Term steht nun wieder der Verstärkungsfaktor, daher können wir den dritten streichen:

\Rightarrow \quad -{k^\prime }{R_g}{I_e}-{k^\prime }{U_a}-\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}{U_a} = 0

\Rightarrow \quad {U_a} = -\frac{{{k^\prime }{R_g}{I_e}}}{{{k^\prime }+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}}}

Dies können wir nun zur Berechnung der Empfindlichkeit nutzen:

{k_R} = \frac{{{U_a}}}{{{I_e}}} = -\frac{{{k^\prime }{R_g}}}{{{k^\prime }+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}}} = \underline{\underline {-\frac{{{R_g}}}{{1+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}}}}}

Für den idealen Verstärker folgt nun wieder:

{k^\prime } \to \infty \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {{k_R} \to -{R_g}}}

b) Eingangswiderstand

Wir berechnen nun den Eingangswiderstand.

{R_e} = \frac{{{U_e}}}{{{I_e}}} = -\frac{{U_e^\prime }}{{{I_e}}}

Wir setzen die erste Maschengleichung aus Teil a) ein. Sie lautete:

U_e^\prime +{R_g}{I_e}+{U_a} = 0\quad \Rightarrow \quad -U_e^\prime = {R_g}{I_e}+{U_a}

Damit folgt:

{R_e} = \frac{{{R_g}{I_e}}}{{{I_e}}}+\frac{{{U_a}}}{{{I_e}}} = {R_g}+{k_R}

Für den idealen Verstärker galt in Teilaufgabe a):

{k^\prime } \to \infty \quad \Rightarrow \quad {k_R} = -{R_g}

\Rightarrow \quad {R_e} = 0

Für den Ausgangswiderstand gilt analog zu Aufgabe 1:

{R_i} = \left( {\frac{{{U_{aL}}}}{{{U_a}}}-1} \right){R_b} = \left( {\frac{{{k^\prime }{R_g}{I_e}}}{{{k^\prime }+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_{bL}}}}}} \cdot \frac{{{k^\prime }+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}}}{{{k^\prime }{R_g}{I_e}}}-1} \right){R_b}

\Rightarrow \quad {R_i} = \left( {\frac{{{k^\prime }+\frac{{R_i^\prime }}{{{R_b}}}}}{{{k^\prime }}}-1} \right){R_b} = \left( {1+\frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }{R_b}}}-1} \right){R_b}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{R_i} = \frac{{R_i^\prime }}{{{k^\prime }}}}}

Weiter gilt nun wieder für den idealen Verstärker:

{k^\prime } \to \infty \quad \Rightarrow \quad {R_i} \to 0

Anmerkung:

Unterschied zwischen invertiertem und nicht invertiertem Eingang:

Es gibt Schwankungen, wenn der Verstärker gleich gepolt ist. Dies vermeidet man mit der invertierten Polung.

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}