U01 – Statischer Auftrieb

Aufgabe 1

Untergliedern Sie Fluggeräte nach der Art der Auftriebserzeugung!

Lösung

Es gibt prinzipiell zwei Formen des Auftriebs:

Statischer Auftrieb
Dynamischer Auftrieb

Statischer Auftrieb:

Der Statische Auftrieb wird verwendet bei:

Luftschiff
Heißluftballon
Gasballon

Dieser funktioniert aufgrund des archimedischen Prinzips, nach dem die Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium genauso groß ist, wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums. In der „Luftfahrt“ wird dies auch häufig als „leichter als Luft“ (kurz: LAL) bezeichnet.

Dynamischer Auftrieb:

Der dynamische Auftrieb wird verwendet bei:

Jeglicher Art von Flugzeug (Segelflieger, Motorsegler, Motorflugzeug, …)
Hubschrauber

Aufgabe 2

Unterteilen Sie ein Luftfahrzeug in seine Massenteile!

Lösung

LFS-U01-Unterteilung-Massenteile

Aufgabe 3

Bestimmen Sie allgemein die Tragkraft eines Fluggerätes „leichter als Luft“ (LAL)!

Auf welche Weise wird die Auftriebserzeugung bei verschiedenen Aerostaten jeweils erreicht?

Lösung

Nach dem archimedischen Prinzips gilt bei LAL-Flugkörpern für die „Schwimmkraft“ (engl.: buoyancy):

${F_B} = {\rho _L}\cdot V\cdot g$

Mit Luft als realem Gas ${\rho _L} = \frac{{{p_L}}}{{{R_{S,L}}\cdot {T_L}}}$ und $V = \frac{{{m_G}}}{{{\rho _G}}}$ ergibt sich:

${F_B} = {m_G}\cdot g\cdot \left( {\frac{{{p_L}}}{{{p_G}}}\cdot \frac{{{T_G}}}{{{T_L}}}\cdot \frac{{{R_{S,G}}}}{{{R_{S,L}}}}} \right)$

Es gilt für die Auftriebskraft: ${F_A} = {F_B}-{F_G}$

Mit ${F_G} = {m_G}\cdot g$ ergibt sich die Auftriebskraft zu:

${F_A} = {m_G}\cdot g\cdot \left( {\frac{{{p_L}}}{{{p_G}}}\cdot \frac{{{T_G}}}{{{T_L}}}\cdot \frac{{{R_{S,G}}}}{{{R_{S,L}}}}-1} \right)$

Die Auftriebserzeugung wird also durch einen Dichteunterschied erreicht. Bei Gasballon und Luftschiff geschieht dies mit Hilfe von Traggasen wie Wasserstoff oder Helium. Bei Heißluftballons wird dies mit Hilfe des Temperaturunterschiedes realisiert.

Aufgabe 4

Vergleichen Sie die spezifische Tragkraft von Wasserstoff, Helium und Heißluft (100°C) in Bodennähe.

Wie groß ist das benötigte Traggasvolumen von Helium und Heißluft im Vergleich zu Wasserstoff?

Lösung

Für LAL gilt allgemein:

${F_A} = {\rho _L}\cdot V\cdot g-{m_G}\cdot g$

Da das Volumen, welches in der Umgebung verdrängt wird, das des Ballons ist, gilt für die spezifische Tragfähigkeit:

${F_A} = {\rho _L}\cdot V\cdot g-{\rho _g}\cdot V\cdot g\quad \Rightarrow \quad \frac{{{F_A}}}{V} = \left( {{\rho _L}-{\rho _G}} \right)\cdot g$

Wir verwenden die ISA (Internationale Standardatmosphäre):

$p\left( {H = 0} \right) = 101325Pa$

$T\left( {H = 0} \right) = 288,15K = 15^\circ C$

${\rho _L}\left( {H = 0} \right) = \frac{{{p_0}}}{{{R_S}\cdot {T_0}}} = \frac{{101325Pa}}{{287\frac{J}{{kg\cdot K}}\cdot 288,15K}} = 1,225\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

Die spezifische Gaskonstante von Luft beträgt dabei: ${R_S} = 287\frac{J}{{kg\cdot K}}$

Bei idealen Gasen gilt: $\frac{{{\rho _2}}}{{{\rho _1}}} = \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\quad \Rightarrow \quad {\rho _2} = {\rho _1}\cdot \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}$

Nun sind die Werte der Dichten von Helium und Wasserstoff bei 0°C bekannt:

${\rho _{He,0}} = 0,179\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

${\rho _{{H_2},0}} = 0,09\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

Damit ergeben sich die Dichten bei Normbedingungen (15°C):

${\rho _{He}} = 0,179\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot \frac{{273,15K}}{{288,15K}} = 0,17\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

${\rho _{{H_2}}} = 0,09\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot \frac{{273,15K}}{{288,15K}} = 0,085\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

Hieraus ergeben sich nun die spezifischen Tragfähigkeiten für Helium und Wasserstoff:

${\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{He}} = \left( {{\rho _L}-{\rho _{He}}} \right)\cdot g = 1,055\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 9,81\frac{N}{{kg}} = 10,35\frac{N}{{{m^3}}}$

${\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{{H_2}}} = \left( {{\rho _L}-{\rho _{{H_2}}}} \right)\cdot g = 1,14\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 9,81\frac{N}{{kg}} = 11,18\frac{N}{{{m^3}}}$

Nun zum Heißluftballon.

Mit dem idealen Gasgesetz ergibt sich eine Dichte für den Heißluftballon von:

${\rho _{HL}} = {\rho _{L,0}}\cdot \frac{{{T_0}}}{{373,15K}} = 0,946$

Damit ist die spezifische Tragfähigkeit für den Heißluftballon:

${\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{HL}} = \left( {{\rho _{L,0}}-{\rho _{HL}}} \right)\cdot g = 0,279\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 9,81\frac{N}{{kg}} = 2,74\frac{N}{{{m^3}}}$

Damit nun die Volumina verglichen werden können werden die Auftriebskräfte ${F_A}$ als konstant angenommen und gleichgesetzt:

${\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{He}}\cdot {V_{He}} = {F_A} = {\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{{H_2}}}\cdot {V_{{H_2}}}$

$\Rightarrow \quad \frac{{{V_{He}}}}{{{V_{{H_2}}}}} = \frac{{11,18}}{{10,35}} = 1,08\quad \overset{\wedge}{=}\quad 108\%$

$\Rightarrow \quad \frac{{{V_{HL}}}}{{{V_{{H_2}}}}} = \frac{{11,18}}{{2,74}} = 4,08\quad \overset{\wedge}{=}\quad 408\%$

Es zeigt sich, dass Helium und Wasserstoff sehr ähnliche spezifische Tragfähigkeiten besitzen. Die von Heißluft ist um einiges geringer! Dadurch sind auch die Volumina von Helium und Wasserstoff sehr ähnlich. Ein Flugkörper, der mit Heißluft betrieben wird, ist hingegen um ein Vielfaches größer!

Aufgabe 5

Ein Heliumballon mit nicht dehnbarer Hülle habe eine Gesamtmasse (Gondel + Nutzlast + Ausrüstung + Hülle + Traggas) von 500 kg und ein Gesamtvolumen von 700 m³.

Wie hoch steigt der Ballon bei ISA-Normbedingungen?
Wie hoch wäre die Druckdifferenz, welche dann auf die Hülle wirkt?
Wie wird diesem Problem bei Luftschiffen und Gasballons technisch entgegengewirkt?

Lösung

a)

Allgemein gilt: $\rho = \frac{m}{V}$

Damit ergibt sich die durchschnittliche Dichte des Ballons zu ${\rho _G} = \frac{{500kg}}{{700{m^3}}} = 0,714\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

Wichtig zu beachten ist nun, dass sich die Beziehungen für die ISA bei 11km Höhe sehr stark verändern. Deswegen muss darauf geachtet werden, ob das Ergebnis im Definitionsbereich der Formeln ist.

Wir nehmen an, dass der Ballon nicht über 11km Höhe hinaus geht und berechnen mit der Formel (siehe Skript Kapitel 2 Seite 4)

$\rho \left( {H < 11km} \right) = {\rho _0}\cdot {\left( {1+\frac{{{\gamma _H}}}{{{T_0}}}\cdot H} \right)^{4,256}}$

die Höhe zu

$H = \frac{{{{\left( {\frac{\rho }{{{\rho _0}}}} \right)}^{\frac{1}{{4,256}}}}-1}}{{\frac{{{\gamma _H}}}{{{T_0}}}}} = 5,28km$

Hierbei gelten die allgemeinen Werte für ${\gamma _H} = -6,5\frac{K}{{km}}$ und für ${\rho _0} = 1,225\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

b)

Mit den Annahmen ${m_G} = konst$ und $V = konst$ ergibt sich der Druck im Ballon zu

${p_G}\left( {5,28km} \right) = {\rho _G}\cdot {R_{S,G}}\cdot {T_{5,28km}}$

Die Beziehungen für ${\rho _G}$ und ${T_{5,28km}}$ sind uns bekannt mit

${\rho _G} = 0,179\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot \frac{{273,15K}}{{288,15K}} = 0,17\frac{{kg}}{{{m^3}}}$

(Dies gilt da m und V konst. sind! Siehe Aufgabe 4))

${T_{5,28km}} = {T_0}+{\gamma _H}\cdot H = 288,15K-6,5\frac{K}{{km}}\cdot 5,28km = 253,8K$

${R_{S,G}} = 2083\frac{J}{{kg \cdot K}}$

Daraus ergibt sich (mit ${\rho _{He}} = const\quad \Leftarrow \quad V = const,\quad m = const$ ):

${p_G} = 0,17\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 2083\frac{J}{{kg\cdot K}}\cdot 253,8K = 89873Pa$

Der Außendruck kann direkt über die ISA-Beziehung (Internationale Standardatmosphäre) bestimmt werden:

${p_{ISA}}\left( {5,28km} \right) = {p_0} \cdot {\left( {\frac{{{T_{5,28\:km}}}}{{{T_G}}}} \right)^{5,256}}$

$= 101325Pa\cdot {\left( {1-\frac{{6,5\frac{K}{{km}}}}{{288,15K}}\cdot 5,28km} \right)^{5,256}} = 52028Pa$

Die Druckdifferenz zwischen Innenseite und Außenseite beträgt also

$\Delta p = {p_G}-{p_{ISA}} = 89873Pa-52028Pa = 37845Pa = 0,378bar$

c)

Es ist vorgesehen, bei weiterem Steigen des Luftschiffs Gas entweichen zu lassen, um das Platzen der Hülle durch den ansteigenden Hüllenüberdruck zu vermeiden. Zu diesem Zweck sind an den Luftschiffen Sicherheitsventile angebracht, die sich bei zu hohem Überdruck automatisch öffnen und das Gas ausströmen lassen.

Der Gasballon hat kein Sicherheitsventil, sondern einen offenen Füllansatz am tiefsten Punkt des Ballons. Man kann diesen offenen Füllansatz auch als Sicherheitsventil mit dem Ansprechdruck „Null“ betrachten.

Aufgabe 6

Bestimmen Sie allgemein die Prallhöhe abhängig vom Traggasanteil beim Start!

Lösung

Die Prallhöhe eines Aerostaten, wie eines Luftschiffs oder Gasballons ist die Höhe, bei der der maximal zulässige Hüllenüberdruck erreicht wird. (Wir nehmen hier an, dass kein Überdruck erlaubt ist.)

Für das ideale Gas (mit $\kappa = 1,41$ für Luft) gilt:

$p \cdot {V^\kappa } = const.$

$\Rightarrow \quad \frac{p}{{{p_0}}} = {\left( {\frac{{T\left( H \right)}}{{{T_0}}}} \right)^{5,256}} = {\left( {\frac{{{T_0}+{\gamma _H} \cdot H}}{{{T_0}}}} \right)^{5,256}}$

$\Rightarrow \quad {\left( {\frac{{{V_0}}}{V}} \right)^\kappa } = \frac{p}{{{p_0}}} = {\left( {1+\frac{{{\gamma _H} \cdot H}}{{{T_0}}}} \right)^{5,256}}$

$\Rightarrow \quad H = \left( {{{\left( {\frac{{{V_0}}}{V}} \right)}^{\frac{\kappa }{{5,256}}}}-1} \right) \cdot \frac{{{T_0}}}{{{\gamma _H}}}$

$\Leftrightarrow$ Innendruck = Außendruck

$\mathcal{R}\mathcal{S}\& \mathcal{J}\mathcal{K}$

6 Kommentare zu “U01 – Statischer Auftrieb”

Tobias Heckele

07. 05. 10 at 11:38 pm

Fehler in der Formel bei 5b). pisa wird bestimmt, indem mit dem Term p0=p(H=0)=101325Pa multipliziert wird. Dieser ist aber ungleich pg, wie hier behauptet wird, da pg den Druck im Ballon beschreibt.

17. 05. 10 at 8:34 am

Stimmt, muss p_0 sein. Habs korrigiert, danke!

Duff

17. 05. 10 at 10:30 am

Seit wann sind 288,15 Kelvin = 25 °C ???

17. 05. 10 at 12:15 pm

Seitdem sich da jemand vertippt hat . Ist korrigiert, danke!