U01 – Strahltriebwerk

 

Ein zweistrahliges Verkehrsflugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit c1 = 250 m/s in großer Höhe. Der Druck und die Temperatur der Außenluft betragen dort p1 = 0,3 bar und T1 =-50°C.

  1. Wie viel kg Luft strömen pro Sekunde in eines der beiden Strahltriebwerke, wenn dessen Ansaugöffnung einen Querschnitt A1 = 2,5 m² hat?
  2. Wie groß muss der Austrittsquerschnitt des Diffusors A2 sein, in dem die angesaugte Luft relativ zum Triebwerk auf eine Geschwindigkeit c2 = 150 m/s reversibel adiabatisch verzögert werden soll?

Die Luft soll als perfektes Gas betrachtet werden mit
cp,L = 1,0 kJ/(kgK) und RL = 0,287 kJ/(kgK).

Schema eines Strahltriebwerks:
schema-strahltriebwerk

Lösung

a)

geg.: {p_1} = 0,3bar,\quad {T_1} = -50^\circ C,\quad {c_1} = 250\frac{m} {s},\quad {A_1} = 2,5{m^2}p

ges.: {\dot m_L}

Da es sich um ein perfektes Gas handeln soll, gilt die ideale Zustandsgleichung:

{\rho _1} = \frac{{{p_1}}} {{R{T_1}}}

mit dieser folgt nun:

{\dot m_L} = {\rho _1} \cdot {c_1} \cdot {A_1} = \frac{{{p_1}}} {{R{T_1}}} \cdot {c_1} \cdot {A_1} = \underline{\underline {293,8\frac{{kg}} {s}}}

b)

geg.: {c_2} = 150\frac{m} {s},\quad {\dot m_2} = {\dot m_1} = const

ges.: {A_2}

diffusor-triebwerk

Zur Lösung setzen wir mit der Kontinuitätsgleichung an, welche bereits aus der Strömungsmechanik bekannt ist:

\rho \cdot c \cdot A = const.\quad \Rightarrow \quad {A_2} = \frac{{{\rho _1} \cdot {c_1}}} {{{\rho _2} \cdot {c_2}}} \cdot {A_1}

Da es sich um einen reversiblen adiabaten Prozess handeln soll, können wir zur Bestimmung von {\rho _2} die Isentropengleichung anwenden:

\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right) = {\left( {\frac{{{\rho _2}}} {{{\rho _1}}}} \right)^\kappa } = {\left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

\Rightarrow \quad {\rho _2} = {\rho _1} \cdot {\left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right)^{\frac{1} {{\kappa -1}}}}

Als nächstes muss die Temperaturänderung bestimmt werden.
Da es sich um eine stationäre Strömung handelt, verwenden wir nun den

1.HS für stationäre Fließprozesse:

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{12}}z

In unserem Fall gilt:

\underbrace {{q_{12}}}_{0,\:adiabat}+\underbrace {w_{12}^t}_{0,\:keine\:Vorr.} = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}+\underbrace {g{\Delta _{12}}z}_0

\Rightarrow \quad {\Delta _{12}}h = -{\Delta _{12}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right)

für ein perfektes Gas gilt:

dh = {c_p}\:dT\quad \Rightarrow \quad {\Delta _{12}}h = {c_p}{\Delta _{12}}T

\Rightarrow \quad {T_2} = \frac{1} {{2{c_p}}} \cdot \left( {c_1^2-c_2^2} \right)+{T_1} = 243,15K = -30^\circ C

Da κ nicht gegeben ist, muss dieses nun auch noch berechnet werden!
Es gilt:

Isentropenexponent:

\kappa = \frac{{{c_p}}} {{{c_v}}} = \frac{{{c_p}}} {R}\left( {\kappa -1} \right)

\Rightarrow \quad \kappa = \frac{{-\frac{{{c_p}}} {R}}} {{1-\frac{{{c_p}}} {R}}} = 1,4

Eingesetzt in die Isentropengleichung erhalten wir:

{\rho _2} = {\rho _1} \cdot {\left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right)^{\frac{1} {{\kappa -1}}}} = 0,58\frac{{kg}} {{{m^3}}}

Durch Einsetzen in die Kontinuitätsgleichung folgt nun:

{A_2} = \frac{{{\rho _1}}} {{{\rho _2}}} \cdot \frac{{{c_1}}} {{{c_2}}} \cdot {A_1} = \underline{\underline {3,36{m^2}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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