U 02.1 – Invarianten, Eigenwerte, Eigenvektoren und Transformationsmatrix

 

Gegeben ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe:

\left[ A \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3 & 1 & 1 \\  1 & 0 & 2 \\  1 & 2 & 0 \\   \end{array} } \right]

Berechnen Sie

  1. die Invarianten des Tensors
  2. die Eigenwerte und Eigenvektoren des zugeordneten Eigenwertproblems
  3. Die Transformationsmatrix \left| Q \right|, die den Tensor in die Hauptachsenform transformiert.

Lösung

a) Invarianten

Unter einer Invarianten versteht man in der Mathematik eine zu einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert.

Als erste Invariante bezeichnet man die Spur einer Matrix. Sie entspricht der Summe aller Diagonalelemente:

I = spur\left( A \right) = 3+0+0 = \underline{\underline 3}

Die zweite Invariante lautet:

II = \frac{1}{2}\left( {spur{{\left( A \right)}^2}-spur\left( {{A^2}} \right)} \right)

Da die in der Aufgabenstellung gegebene Matrix symmetrisch ist, gilt: {A^2} = A \cdot {A^T}

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}} & {{A_{12}}} & {{A_{13}}} \\{{A_{21}}} & {{A_{22}}} & {{A_{23}}} \\{{A_{31}}} & {{A_{32}}} & {{A_{33}}} \\   \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}} & {{A_{12}}} & {{A_{13}}} \\{{A_{21}}} & {{A_{22}}} & {{A_{23}}} \\{{A_{31}}} & {{A_{32}}} & {{A_{33}}} \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{1j}}{A_{j1}}} & {{A_{1j}}{A_{j2}}} & {{A_{1j}}{A_{j3}}} \\{{A_{2j}}{A_{j1}}} & {{A_{2j}}{A_{j2}}} & {{A_{2j}}{A_{j3}}} \\{{A_{3j}}{A_{j1}}} & {{A_{3j}}{A_{j2}}} & {{A_{3j}}{A_{j3}}} \\   \end{array} } \right)

Damit gilt in Schreibweise der Einstein’schen Summationskonvention:

spur\left( {{A^2}} \right) = {A_{1j}}{A_{j1}}+{A_{2j}}{A_{j2}}+{A_{3j}}{A_{j3}} = 11+5+5 = 21

Somit folgt für die zweite Invariante:

II = \frac{1}{2}\left( {{3^2}-21} \right) = \underline{\underline {-6}}

Als dritte Invariante bezeichnet man die Determinante. Nach der Regel von Sarrus berechnet sie sich bei einer 3×3-Matrix zu:

III = \det \left( A \right) = 3 \cdot 0 \cdot 0+1 \cdot 2 \cdot 1+1 \cdot 2 \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot 1-2 \cdot 2 \cdot 3-1 \cdot 0 \cdot 0 = \underline{\underline {-8}}

b) Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte:

Die Eigenwertberechnung erfolgt wie in der Linearen Algebra:

\det \left( {A-\lambda I} \right)\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad \det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3-\lambda } & 1 & 1 \\  1 & {0-\lambda } & 2 \\  1 & 2 & {0-\lambda } \\   \end{array} } \right) = -{\lambda ^3}+3{\lambda ^2}+6\lambda -8\mathop = \limits^! 0

Durch Ausprobieren finden wir:

\underline{\underline {{\lambda _1} = 1}}

Durch Polynomdivision erhalten wir dann:

Alternativ und einfacher lassen sich die Eigenwerte mit dem Horner-Schema bestimmen:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {-1} &\vline & 3 &\vline & 6 &\vline & {-8} \\ \hline  1 &\vline & 0 &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} \\ \hline{} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} \\   \end{array} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {-1} &\vline & 3 &\vline & 6 &\vline & {-8} \\ \hline  1 &\vline & 0 &\vline & {-1} &\vline & 2 &\vline & 8 \\ \hline{} &\vline & {-1} &\vline & 2 &\vline & 8 &\vline & 0 \\   \end{array}

Daraus folgt:

\left( {-{\lambda ^3}+3{\lambda ^2}+6\lambda -8} \right):\left( {\lambda -1} \right) = -1{\lambda ^2}+2\lambda +8

Mithilfe der p-q-Formel folgt daraus:

{\lambda _{1,2}} = -\frac{{-2}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{-2}}{2}} \right)}^2}-\left( {-8} \right)} = 1 \pm \sqrt 9

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\lambda _2} = 4,\quad {\lambda _3} = -2}}

Damit gilt für die Eigenwerte:

\left( {\lambda -1} \right) \cdot \left( {\lambda -4} \right) \cdot \left( {\lambda +2} \right) = 0

Es folgt die Matrix im Hauptachsensystem:

{A_{HS}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  1 & 0 & 0 \\  0 & 4 & 0 \\  0 & 0 & {-2} \\   \end{array} } \right)

Noch einmal werden nun die Invarianten berechnet:

{I_{{A_{HS}}}} = Sp\left( A \right) = 1+4+\left( {-2} \right) = 3

I{I_{{A_{HS}}}} = \frac{1}{2}\left( {9-21} \right) = -6

II{I_{{A_{HS}}}} = \det \left( A \right) = 1 \cdot 4 \cdot \left( {-2} \right) = -8

Wie wir erkennen können, haben die Invarianten die gleichen Werte wie bei der Ursprungsmatrix.

Eigenvektoren:

\boxed{\lambda = 1}

Der Eigenvektor {\vec n_1} wird durch Folgende Formel bestimmt:

\left( {A-{\lambda _1}I} \right) \cdot {\vec n_1} = \vec 0

\Rightarrow \quad \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  3 & 1 & 1 \\  1 & 0 & 2 \\  1 & 2 & 0 \\   \end{array} } \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\   \end{array} } \right)} \right] \cdot {\vec n_1} = \vec 0

Mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren erhält man daraus:

2n_1^1+n_2^1+n_3^1 = 0\quad \left( I \right)

n_1^1-n_2^1+2n_3^1 = 0\quad \left( {II} \right)

n_1^1+2n_2^1-n_3^1 = 0\quad \left( {III} \right)

\Downarrow

I+II:\quad 3n_1^1+3n_3^1 = 0\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {n_1^1 = -n_3^1}} \quad \left( {IV} \right)

IV\:in\:III:\quad -n_3^1+2n_2^1-n_3^1 = 0\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {n_2^1 = n_3^1}}

\Downarrow

{{\vec n}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1n_3^1} \\{1n_3^1} \\{1n_3^1} \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1} \\  1 \\  1 \\   \end{array} } \right) \cdot n_3^1

Da {\vec n_1} ein Basisvektor sein soll, muss gelten:

\left| {{{\vec n}_1}} \right|\mathop = \limits^! 1 = \sqrt {{{\left( {-1} \right)}^2}+{1^2}+{1^2}} \cdot n_3^1\quad \Rightarrow \quad n_3^1 = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

Damit ergibt sich der erste Eigenvektor zu:

\underline {\underline {{{\vec n}_1} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  {-1} \\   1 \\   1  \end{array}} \right)} }

Die beide verbleibenden Eigenvektoren werden analog berechnet.

\boxed{\lambda = 4}

\Rightarrow \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1} & 1 & 1 \\  1 & {-4} & 2 \\  1 & 2 & {-4} \\   \end{array} } \right) \cdot {\vec n_2} = 0

Gauß:

-n_1^2+n_2^2+n_3^2 = 0\quad \left( I \right)

n_1^2-4n_2^2+2n_3^2 = 0\quad \left( {II} \right)

n_1^2+2n_2^2-4n_3^2 = 0\quad \left( {III} \right)

I+II:\quad -3n_2^2+3n_3^2 = 0\quad \Rightarrow \quad n_2^2 = n_3^2\quad \left( {IV} \right)

IV\:in\:III:\quad n_1^2+2n_3^2-4n_3^2 = 0\quad \Rightarrow \quad n_1^2 = 2n_3^2

\Rightarrow \quad {\vec n_2} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2n_3^2} \\{n_3^2} \\{n_3^2} \\   \end{array} } \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2n_3^2} \\{n_3^2} \\{n_3^2} \\   \end{array} } \right)} \right|}} = \underline{\underline {\frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  2 \\  1 \\  1 \\   \end{array} } \right)}}

\boxed{\lambda = -2}

\Rightarrow \quad \underline {\underline {{{\vec n}_3} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  0 \\   {-1} \\   1  \end{array}} \right)} }

c) Transformationsmatrix

Die Transformationsmatrix, mit der man vom e-System ins n-System transformieren kann ergibt sich wie folgt:

\left[ Q \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\vec n}_1} \cdot {{\vec e}_1}} & {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec e}_2}} & {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec e}_3}} \\{{{\vec n}_2} \cdot {{\vec e}_1}} & {{{\vec n}_2} \cdot {{\vec e}_2}} & {{{\vec n}_2} \cdot {{\vec e}_3}} \\{{{\vec n}_3} \cdot {{\vec e}_1}} & {{{\vec n}_3} \cdot {{\vec e}_2}} & {{{\vec n}_3} \cdot {{\vec e}_3}} \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{n_1^1} & {n_2^1} & {n_3^1} \\{n_1^2} & {n_2^2} & {n_3^2} \\{n_1^3} & {n_2^3} & {n_3^3} \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{-1}}{{\sqrt 3 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \\{\frac{2}{{\sqrt 6 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \\  0 & {\frac{{-1}}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\   \end{array} } \right)    \Rightarrow \quad \underline{\underline {\left[ Q \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-\sqrt 2 } & {\sqrt 2 } & {\sqrt 2 } \\  2 & 1 & 1 \\  0 & {-\sqrt 3 } & {\sqrt 3 } \\   \end{array} } \right)}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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2 Kommentare zu “U 02.1 – Invarianten, Eigenwerte, Eigenvektoren und Transformationsmatrix”

Bei der Berechnung der zweiten Invarianten ist ein Fehler.

Spur(A^2) = b_1j*b_j1 + b_2j*b_j2 + b_3j*b_j3

Tatsache, hab’s korrigiert. Danke für den Hinweis!

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