U 02.2 – Inverse berechnen mit dem Satz von Cayley-Hamilton

Mit Hilfe der Gleichung von Cayley-Hamilton berechne man die zu A inverse Matrix A-1.

$\left[ A \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{array} } \right]$

Lösung

Es gilt nach dem Satz von Cayley-Hamilton, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist. Daraus lässt sich ableiten:

${A^3}-\underbrace {{I_A}}_{1.Inv.} \cdot {A^2}+I{I_A} \cdot A-II{I_A} \cdot \underbrace I_{Einheitsmatrix} = 0\quad | \cdot {A^{-1}}$

Daraus folgt:

$\boxed{{A^{-1}} = \frac{1}{{II{I_A}}} \cdot \left( {{A^2}-{I_A} \cdot A+I{I_A} \cdot I} \right)}$

Somit erhalten wir:

${A^{-1}} = -\frac{1}{8} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & 2 & 2 \\ 2 & {-1} & {-5} \\ 2 & {-5} & {-1} \\ \end{array} } \right) = \frac{1}{8} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 & {-2} & {-2} \\{-2} & 1 & 5 \\{-2} & 5 & 1 \\ \end{array} } \right)$

Wie aus der Linearen Algebra bekannt sein sollte, lässt sich die Inverse auch anders ausdrücken:

$\boxed{{A^{-1}} = \frac{1}{{\det \left( A \right)}} \cdot adj\left( A \right)}$

Die Adjunkte von A berechnet sich dabei wie folgt mit dem Matrizen-Entwicklungsschema durch Minore, Transponierte und Schachbrett (ME-MTS):

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{array} } \right]\mathop \to \limits^{Minoren} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & {-2} & 2 \\{-2} & {-1} & 5 \\ 2 & 5 & {-1} \\ \end{array} } \right]\mathop \to \limits^{Transponieren} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & {-2} & 2 \\{-2} & {-1} & 5 \\ 2 & 5 & {-1} \\ \end{array} } \right]$

$\mathop \to \limits^{Schachbrett} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & 2 & 2 \\ 2 & {-1} & {-5} \\ 2 & {-5} & {-1} \\ \end{array} } \right] = adj\left( A \right)$