U 02.2 – Inverse berechnen mit dem Satz von Cayley-Hamilton

 

Mit Hilfe der Gleichung von Cayley-Hamilton berechne man die zu A inverse Matrix A-1.

\left[ A \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3 & 1 & 1 \\  1 & 0 & 2 \\  1 & 2 & 0 \\   \end{array} } \right]

Lösung

Es gilt nach dem Satz von Cayley-Hamilton, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist. Daraus lässt sich ableiten:

{A^3}-\underbrace {{I_A}}_{1.Inv.} \cdot {A^2}+I{I_A} \cdot A-II{I_A} \cdot \underbrace I_{Einheitsmatrix} = 0\quad | \cdot {A^{-1}}

Daraus folgt:

\boxed{{A^{-1}} = \frac{1}{{II{I_A}}} \cdot \left( {{A^2}-{I_A} \cdot A+I{I_A} \cdot I} \right)}

Somit erhalten wir:

{A^{-1}} = -\frac{1}{8} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & 2 & 2 \\  2 & {-1} & {-5} \\  2 & {-5} & {-1} \\   \end{array} } \right) = \frac{1}{8} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  4 & {-2} & {-2} \\{-2} & 1 & 5 \\{-2} & 5 & 1 \\   \end{array} } \right)

Wie aus der Linearen Algebra bekannt sein sollte, lässt sich die Inverse auch anders ausdrücken:

\boxed{{A^{-1}} = \frac{1}{{\det \left( A \right)}} \cdot adj\left( A \right)}

Die Adjunkte von A berechnet sich dabei wie folgt mit dem Matrizen-Entwicklungsschema durch Minore, Transponierte und Schachbrett (ME-MTS):

A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3 & 1 & 1 \\  1 & 0 & 2 \\  1 & 2 & 0 \\   \end{array} } \right]\mathop \to \limits^{Minoren} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & {-2} & 2 \\{-2} & {-1} & 5 \\  2 & 5 & {-1} \\   \end{array} } \right]\mathop \to \limits^{Transponieren} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & {-2} & 2 \\{-2} & {-1} & 5 \\  2 & 5 & {-1} \\  \end{array} } \right]

\mathop \to \limits^{Schachbrett} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & 2 & 2 \\  2 & {-1} & {-5} \\  2 & {-5} & {-1} \\   \end{array} } \right] = adj\left( A \right)

Das “Schachbrett” sieht dabei wie folgt aus:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  + & - & + \\  - & + & - \\  + & - & + \\   \end{array} } \right]

Die Minore (i,j) berechnet man, indem man aus der Matrix die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht und vom Rest die Determinante bildet.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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2 Kommentare zu “U 02.2 – Inverse berechnen mit dem Satz von Cayley-Hamilton”

Update: Habe noch ergänzt, wie man die Minoren berechnet :)

Ausgezeichnet ;-) .
Man könnte auch sagen, es werden die Subdeterminanten berechnet :-) .

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