U 02.2 – Rauschen am RC-Tiefpass

mt2-u02-rc-tiefpass-mit-rauschendem-widerstand

Abbildung: RC-Tiefpass mit rauschendem Widerstand

Stellen Sie die Übertragungsgleichung für den Tiefpass aus der Abbildung auf.
Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert des Schwankungsquadrates am Ausgang $\overline {\Delta U_a^2}$ in Abhängigkeit der Frequenz der Eingangsspannung (Nyquist-Beziehung!)
Berechnen Sie durch Integration über den gesamten Frequenzbereich das totale mittlere Spannungsquadrat des Rauschens am Ausgang $\overline {\Delta U_{a,tot}^2}$ .

Lösung 2.2

Ein Tiefpass dient im Allgemeinen der Ausbremsung von hochfrequenten Fluktuationen, die z.B. am Eingang von Messgeräten vermieden werden sollten.

a) Übertragungsgleichung

Der komplexe Frequenzgang / die Übertragungsfunktion berechnet sich wie in Messtechnik I zu:

$\boxed{G\left( {i\omega } \right) = \frac{{{U_a}\left( \omega \right)}}{{{U_e}\left( \omega \right)}}}$

Mithilfe der komplexen Widerstände gilt somit:

$G\left( {i\omega } \right) = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{{X_C}}}{{{X_R}+{X_C}}} = \frac{{\frac{1}{{i\omega C}}}}{{\frac{1}{{i\omega C}}+R}} = \frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}},\quad \quad {\omega _G} = \frac{1}{{RC}}$

Unter Einbeziehung des Rauschens bekommen wir für die Ausgangsspannung:

${U_a}+\Delta {U_a}$

Dabei gilt:

${U_a} = G\left( {i\omega } \right) \cdot {U_e}$

$\Delta {U_a} = G\left( {i\omega } \right) \cdot {U_R}$

Daraus folgt schließlich:

$\underline{\underline {{U_a}+\Delta {U_a} = G\left( {i\omega } \right)\left( {{U_e}+{U_R}} \right)}}$

b) Zeitlicher Mittelwert des Schwankungsquadrats am Ausgang

Es gilt aus der letzten Teilaufgabe für das Rauschen:

$\Delta {U_a} = G\left( {i\omega } \right) \cdot {U_R}\quad \Rightarrow \quad \overline {\Delta U_a^2} = {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} \cdot U_R^2$

$\overline {\Delta U_a^2} = {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2}U_R^2$

Wir müssen also das Betragsquadrat ausrechnen:

${\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = {\left| {\frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}} \right|^2} = {\left| {\frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}\frac{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}} \right|^2} = {\left| {\frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}\frac{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}} \right|^2}$

$\Rightarrow \quad {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = {\left| {\frac{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}} \right|^2} = {\left( {\frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}} \right)^2}+{\left( {\frac{{\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}} \right)^2}$

$\Rightarrow \quad {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = \frac{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}} \right)}^2}}}$

$\Rightarrow \quad {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = \frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}$

Des Weiteren benötigen wir hier die Nyquist-Formel aus Kapitel 1.7 der Vorlesung:

$\boxed{U_R^2 = 4 \cdot k \cdot T \cdot R \cdot \Delta f}$

Dies ist eine Niederfrequenznäherung, für den Tiefpass also anwendbar.

Wir setzen ein und erhalten das Ergebnis:

$\underline{\underline {\overline {\Delta U_a^2} = \frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}} \cdot 4 \cdot k \cdot T \cdot R \cdot \Delta f}}$

c) Totales mittleres Spannungsquadrat

Wir integrieren nun, wie gefordert, über den gesamten Frequenzbereich:

$\overline {U_{a,tot}^2} = \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}4kTR\:df}$

Nun drücken wir die Kreisfrequenz wieder durch die Frequenz aus:

$\omega = 2\pi f$

Da das thermische Rauschen ab einer bestimmten Grenzfrequenz gegen 0 geht, können wir wie folgt vereinfachen und das Integral auflösen:

$\overline {U_{a,tot}^2} = \int\limits_0^\infty {\frac{{f_G^2}}{{f_G^2+{f^2}}}4kTR\:df}$

$\left[ {\frac{1}{{{a^2}+{x^2}}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{a^2}}}{{{a^2}+{x^2}}} = a\arctan \frac{x}{a}} \right]$

$\Rightarrow \quad \overline {U_{a,tot}^2} = 4kTR{f_G}\left[ {\arctan \left( {\frac{f}{{{f_G}}}} \right)} \right]_0^\infty = 4kTR{f_G} \cdot \left[ {\frac{\pi }{2}-0} \right]$