U 02.2 – Rauschen am RC-Tiefpass

 

mt2-u02-rc-tiefpass-mit-rauschendem-widerstand

Abbildung: RC-Tiefpass mit rauschendem Widerstand

  1. Stellen Sie die Übertragungsgleichung für den Tiefpass aus der Abbildung auf.
  2. Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert des Schwankungsquadrates am Ausgang \overline {\Delta U_a^2} in Abhängigkeit der Frequenz der Eingangsspannung (Nyquist-Beziehung!)
  3. Berechnen Sie durch Integration über den gesamten Frequenzbereich das totale mittlere Spannungsquadrat des Rauschens am Ausgang \overline {\Delta U_{a,tot}^2}.

Lösung 2.2

Ein Tiefpass dient im Allgemeinen der Ausbremsung von hochfrequenten Fluktuationen, die z.B. am Eingang von Messgeräten vermieden werden sollten.

a) Übertragungsgleichung

Der komplexe Frequenzgang / die Übertragungsfunktion berechnet sich wie in Messtechnik I zu:

\boxed{G\left( {i\omega } \right) = \frac{{{U_a}\left( \omega \right)}}{{{U_e}\left( \omega \right)}}}

Mithilfe der komplexen Widerstände gilt somit:

G\left( {i\omega } \right) = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{{X_C}}}{{{X_R}+{X_C}}} = \frac{{\frac{1}{{i\omega C}}}}{{\frac{1}{{i\omega C}}+R}} = \frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}},\quad \quad {\omega _G} = \frac{1}{{RC}}

Unter Einbeziehung des Rauschens bekommen wir für die Ausgangsspannung:

{U_a}+\Delta {U_a}

Dabei gilt:

{U_a} = G\left( {i\omega } \right) \cdot {U_e}

\Delta {U_a} = G\left( {i\omega } \right) \cdot {U_R}

Daraus folgt schließlich:

\underline{\underline {{U_a}+\Delta {U_a} = G\left( {i\omega } \right)\left( {{U_e}+{U_R}} \right)}}

b) Zeitlicher Mittelwert des Schwankungsquadrats am Ausgang

Es gilt aus der letzten Teilaufgabe für das Rauschen:

\Delta {U_a} = G\left( {i\omega } \right) \cdot {U_R}\quad \Rightarrow \quad \overline {\Delta U_a^2} = {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} \cdot U_R^2

\overline {\Delta U_a^2} = {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2}U_R^2

Wir müssen also das Betragsquadrat ausrechnen:

{\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = {\left| {\frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}} \right|^2} = {\left| {\frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}\frac{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}} \right|^2} = {\left| {\frac{1}{{1+i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}\frac{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}} \right|^2}

\Rightarrow \quad {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = {\left| {\frac{{1-i\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}} \right|^2} = {\left( {\frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}} \right)^2}+{\left( {\frac{{\frac{\omega }{{{\omega _G}}}}}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}} \right)^2}

\Rightarrow \quad {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = \frac{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}} \right)}^2}}}

\Rightarrow \quad {\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|^2} = \frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}

Des Weiteren benötigen wir hier die Nyquist-Formel aus Kapitel 1.7 der Vorlesung:

\boxed{U_R^2 = 4 \cdot k \cdot T \cdot R \cdot \Delta f}

Dies ist eine Niederfrequenznäherung, für den Tiefpass also anwendbar.

Wir setzen ein und erhalten das Ergebnis:

\underline{\underline {\overline {\Delta U_a^2} = \frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}} \cdot 4 \cdot k \cdot T \cdot R \cdot \Delta f}}

c) Totales mittleres Spannungsquadrat

Wir integrieren nun, wie gefordert, über den gesamten Frequenzbereich:

\overline {U_{a,tot}^2} = \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _G}}}} \right)}^2}}}4kTR\:df}

Nun drücken wir die Kreisfrequenz wieder durch die Frequenz aus:

\omega = 2\pi f

Da das thermische Rauschen ab einer bestimmten Grenzfrequenz gegen 0 geht, können wir wie folgt vereinfachen und das Integral auflösen:

\overline {U_{a,tot}^2} = \int\limits_0^\infty {\frac{{f_G^2}}{{f_G^2+{f^2}}}4kTR\:df}

\left[ {\frac{1}{{{a^2}+{x^2}}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{a^2}}}{{{a^2}+{x^2}}} = a\arctan \frac{x}{a}} \right]

\Rightarrow \quad \overline {U_{a,tot}^2} = 4kTR{f_G}\left[ {\arctan \left( {\frac{f}{{{f_G}}}} \right)} \right]_0^\infty = 4kTR{f_G} \cdot \left[ {\frac{\pi }{2}-0} \right]

\Rightarrow \quad \overline {U_{a,tot}^2} = 2\pi kTR \cdot {f_G}

Für einen Tiefpass lautet die Grenzfrequenz:

{\omega _G} = \frac{1}{{RC}}\quad \Rightarrow \quad {f_G} = \frac{1}{{2\pi RC}}

(vgl.: MT I, V2.2 und MT I, Ü 2.3)

Damit folgt für die vorherige Gleichung:

\underline{\underline {\overline {U_{a,tot}^2} = 2\pi kTR \cdot \frac{1}{{2\pi RC}} = \frac{{kT}}{C}}}

Dies entspricht der Energie, die durch das Rauschen erzeugt wird.

\mathcal{J}\mathcal{K}