u02.2 – Unterräume des Raumes beschränkter Folgen (L-Inf)

 

Wir definieren

{c_{00}} := \left\{ {x = \left( {{x_k}} \right)} \right\}

mit {{x_k} \ne 0} für höchstens endlich viele k

{c_0} := \left\{ {x = \left( {{x_k}} \right):\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = 0} \right\}

c := \left\{ {x = \left( {{x_k}} \right)} \right\} mit konvergentem x_k

{l^\infty }: = {\text{ }}\left\{ {x = \left( {{x_k}} \right):{{\left\| x \right\|}_{{l^\infty }}} = \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| {{x_k}} \right| < \infty {\text{ }}} \right\} also alle beschränkten Folgen,

jeweils versehen mit der Supremumsnorm {\left\| x \right\|_{{l^\infty }}}: = \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| {{x_k}} \right|.

Zeigen Sie:

  1. Es gilt {c_{00}} \subset {c_0} \subset c \subset {l^\infty }
    1. l^\infty ist ein Banach-Raum
    2. c_0 ist ein Banach-Raum
    3. c ist ein Banach-Raum
  2. c_{00} ist bezüglich {\left\|  \cdot  \right\|_{{l^\infty }}} nicht vollständig

Lösung

a )

Es gilt: {c_{00}} \subset {c_0} \subset c \subset {l^\infty }

Für ein x \in {c_{00}} folgt

\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = 0

daraus folgt dann, dass {\left( {{x_k}} \right)} konvergent ist und somit beschränkt.

\Rightarrow x \in {l^\infty }

b )

{l^\infty } ist ein Banachraum, {\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} = \sup \left| {{x_k}} \right|,k \in \mathbb{N}

\left( {{x_n}} \right) ist eine Cauchy-Folge in {l^\infty }. Es gilt: {x_n} = {\left( {x_k^{\left( n \right)}} \right)_{k \in \mathbb{N}}}

Zu zeigen ist: \exists x \in {l^\infty } mit {\left\| {{x_k}-x} \right\|_{{l^\infty }}} \to 0

für jedes k

\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| \leq {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| = {\left\| {{x_n}-{x_m}} \right\|_{{l^\infty }}} < \varepsilon ,\quad \forall n,m \geq {N_0}\left( \varepsilon  \right)

für jedes k

{\left( {x_k^{\left( n \right)}} \right)_{n \in \mathbb{N}}} in \mathbb{R}\left( c \right)

\mathbb{R} ist vollständig \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } k_k^{\left( n \right)} = {x_k} \Leftrightarrow \forall \varepsilon  > 0\exists {N_1}\left( {\varepsilon ,k} \right):\left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}} \right| < \varepsilon ,\quad \forall n \geq {N_1}\left( {\varepsilon ,k} \right)

\left| {x_k^{{N_0}}-{x_k}} \right| \leq \underbrace {\left| {x_k^{{N_0}}-x_k^{{N_1}}} \right|}_{ < \varepsilon }+\underbrace {\left| {x_k^{{N_1}}-{x_k}} \right|}_{ < \varepsilon } < 2\varepsilon

\Rightarrow {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{{N_0}}-{x_k}} \right| < 2\varepsilon

x = \left( {{x_k}} \right)

a )

{\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}}

b )

x \in {l^\infty }

n \geq {N_0}\left( \varepsilon  \right)

{\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} = {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}} \right| = {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}+x_k^{{N_0}}-x_k^{{N_0}}} \right|

\leq {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{{N_0}}} \right|+{\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{{N_0}}-{x_k}} \right| = \underbrace {{{\left\| {{x_n}-{x_{{N_0}}}} \right\|}_{{l^\infty }}}}_{ < \varepsilon }+2\varepsilon

< 3\varepsilon  > {\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}}

Zu zeigen:

x \in {l^\infty },{\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} < \infty

{\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} = {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {{x_n}} \right| = \sup \left| {{x_k}+x_k^{{N_0}}-x_k^{{N_0}}} \right| \leq \underbrace {\sup \left| {{x_k}-x_k^{{N_0}}} \right|}_{ < 2\varepsilon }+\underbrace {\sup \left| {x_k^{{N_0}}} \right|}_{endlich}

< 2\varepsilon +{\left\| {{x_{{N_0}}}} \right\|_{{l^\infty }}} < \infty

c ist abgeschlossen bezüglich der Supremumsnorm

\left( {{x_n}} \right) \in c:{\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} \to 0 für ein x \in {l^\infty }

Zu zeigen ist, dass x \in c.

\left( {{x_n}} \right) \in c,\quad {x_n} = {\left( {x_k^{\left( n \right)}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} für jedes n:x_k^{\left( n \right)} \to x_\infty ^{\left( n \right)} wenn k \to \infty

1)

Ist {\left( {x_\infty ^{\left( n \right)}} \right)_{n \in \mathbb{N}}} eine Cauchyfolge?

\left| {x_\infty ^{\left( n \right)}-x_\infty ^{\left( m \right)}} \right| < \varepsilon

{x_n} eine Cauchyfolge

\Rightarrow \left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| \leq {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| = \left\| {{x_n}-{x_m}} \right\| < \varepsilon

für alle m,n > N\left( \varepsilon  \right) und alle k

\left| {x_\infty ^{\left( n \right)}-x_\infty ^{\left( m \right)}} \right| < \varepsilon \quad \forall n,m \geq N\left( \varepsilon  \right) \Rightarrow \left| {x_\infty ^{\left( n \right)}} \right| ist eine Cauchyfolge

x_\infty ^{\left( n \right)} ist eine Cauchyfolge in \mathbb R

\mathbb R ist vollständig \Rightarrow x_\infty ^{\left( n \right)} \to {x_\infty }, wenn n \to \infty. ({x_\infty } existiert)

Konvergiert x = \left( {{x_k}} \right) ?

Wir müssen zeigen, dass

{x_k} \to {x_\infty }

\varepsilon  > 0,\quad \left| {{x_k}-{x_\infty }} \right| < \eta mit unbekanntem \eta

x_\infty ^{\left( n \right)} \to {x_\infty } \Rightarrow \left| {x_\infty ^{\left( n \right)}-{x_\infty }} \right| < \varepsilon ,\quad \forall n \geq {N_1}\left( \varepsilon  \right)

{\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} \to 0 \Rightarrow \sup \left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}} \right| = {\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} < \varepsilon ,\quad \forall n \geq {N_2}\left( \varepsilon  \right)

{N_0} \geq \max \left\{ {{N_1}\left( \varepsilon  \right),{N_2}\left( \varepsilon  \right)} \right\}

Wir wählen für das \epsilon ein N_0

x_k^{\left( {{N_0}} \right)} \to x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)} wenn k \to \infty

daraus folgt: \left| {x_k^{\left( {{N_0}} \right)}-x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}} \right| < \varepsilon ,\quad \forall k \geq {K_0}\left( \varepsilon  \right)

\left| {{x_k}-{x_\infty }} \right| = \left| {{x_k}-{x_\infty }+x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}-x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}+x_k^{\left( {{N_0}} \right)}-x_k^{\left( {{N_0}} \right)}} \right|

\leq \underbrace {\left| {{x_k}-x_k^{\left( {{N_0}} \right)}} \right|}_{ < \varepsilon }+\underbrace {\left| {x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}-{x_\infty }} \right|}_{ < \varepsilon }+\underbrace {\left| {x_k^{\left( {{N_0}} \right)}-x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}} \right|}_{ < \varepsilon } < 3\varepsilon ,\quad \forall k \geq {K_0}\left( \varepsilon  \right)

Wir haben gezeigt: c ist abgeschlossen bezüglich der Supremumsnorm.

\left( {{x_n}} \right) \in {c_0},\quad {\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} \to 0,\quad x \in {l^\infty }

Zu zeigen: x \in {c_0}

\left( {{x_n}} \right) \in {c_0} \subset c \subset {l^\infty } \Rightarrow x \in c

x = \left( {{x_k}} \right) \in c \Rightarrow {x_k} \to {x_\infty }

Zu zeigen: {x_\infty } = 0

{x_n} = \left( {x_k^{\left( n \right)}} \right) \to x_\infty ^{\left( n \right)}\forall n wenn k \to \infty

Es gilt: x_\infty ^{\left( n \right)} = 0, weil {x_n} \in {c_0}

c )

{c_{00}} ist nicht abgeschlossen!

Die Folge {x_n} = \left( {1,\frac{1} {2}, \ldots ,\frac{1} {n},0,0, \ldots } \right) wir nun betrachten!

Ihre ersten Elemente sind:

{x_1} = \left( {1,0,0, \ldots } \right)

{x_2} = \left( {1,\frac{1} {2},0,0, \ldots } \right)

{x_3} = \left( {1,\frac{1} {2},\frac{1} {3},0, \ldots } \right)

Es ist

x = \left( {1,\frac{1} {2}, \ldots ,\frac{1} {n},\frac{1} {{n+1}},\frac{1} {{n+2}}, \ldots } \right)

Und somit gilt

{\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} = {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {\frac{{-1}} {{n+k}}} \right| = \frac{1} {{n+1}}

\frac{1} {{n+k}} \leq \frac{1} {{n+1}},\quad \forall k \geq 1

Wir sehen:

{c_{00}} ist zwar Unterraum eines Banachraumes, aber selbst nicht abgeschlossen. Daher ist {c_{00}} selbst kein Banachraum.