u02.2 – Unterräume des Raumes beschränkter Folgen (L-Inf)

Wir definieren

${c_{00}} := \left\{ {x = \left( {{x_k}} \right)} \right\}$

mit ${{x_k} \ne 0}$ für höchstens endlich viele $k$

${c_0} := \left\{ {x = \left( {{x_k}} \right):\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = 0} \right\}$

$c := \left\{ {x = \left( {{x_k}} \right)} \right\}$ mit konvergentem $x_k$

${l^\infty }: = {\text{ }}\left\{ {x = \left( {{x_k}} \right):{{\left\| x \right\|}_{{l^\infty }}} = \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| {{x_k}} \right| < \infty {\text{ }}} \right\}$ also alle beschränkten Folgen,

jeweils versehen mit der Supremumsnorm ${\left\| x \right\|_{{l^\infty }}}: = \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| {{x_k}} \right|$ .

Zeigen Sie:

Es gilt ${c_{00}} \subset {c_0} \subset c \subset {l^\infty }$
1. $l^\infty$ ist ein Banach-Raum
2. $c_0$ ist ein Banach-Raum
3. $c$ ist ein Banach-Raum
$c_{00}$ ist bezüglich ${\left\| \cdot \right\|_{{l^\infty }}}$ nicht vollständig

Lösung

a )

Es gilt: ${c_{00}} \subset {c_0} \subset c \subset {l^\infty }$

Für ein $x \in {c_{00}}$ folgt

$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = 0$

daraus folgt dann, dass ${\left( {{x_k}} \right)}$ konvergent ist und somit beschränkt.

$\Rightarrow x \in {l^\infty }$

b )

${l^\infty }$ ist ein Banachraum, ${\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} = \sup \left| {{x_k}} \right|,k \in \mathbb{N}$

$\left( {{x_n}} \right)$ ist eine Cauchy-Folge in ${l^\infty }$ . Es gilt: ${x_n} = {\left( {x_k^{\left( n \right)}} \right)_{k \in \mathbb{N}}}$

Zu zeigen ist: $\exists x \in {l^\infty }$ mit ${\left\| {{x_k}-x} \right\|_{{l^\infty }}} \to 0$

für jedes $k$

$\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| \leq {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| = {\left\| {{x_n}-{x_m}} \right\|_{{l^\infty }}} < \varepsilon ,\quad \forall n,m \geq {N_0}\left( \varepsilon \right)$

für jedes $k$

${\left( {x_k^{\left( n \right)}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}$ in $\mathbb{R}\left( c \right)$

$\mathbb{R}$ ist vollständig $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } k_k^{\left( n \right)} = {x_k} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0\exists {N_1}\left( {\varepsilon ,k} \right):\left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}} \right| < \varepsilon ,\quad \forall n \geq {N_1}\left( {\varepsilon ,k} \right)$

$\left| {x_k^{{N_0}}-{x_k}} \right| \leq \underbrace {\left| {x_k^{{N_0}}-x_k^{{N_1}}} \right|}_{ < \varepsilon }+\underbrace {\left| {x_k^{{N_1}}-{x_k}} \right|}_{ < \varepsilon } < 2\varepsilon$

$\Rightarrow {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{{N_0}}-{x_k}} \right| < 2\varepsilon$

$x = \left( {{x_k}} \right)$

a )

${\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}}$

b )

$x \in {l^\infty }$

$n \geq {N_0}\left( \varepsilon \right)$

${\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} = {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}} \right| = {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}+x_k^{{N_0}}-x_k^{{N_0}}} \right|$

$\leq {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{{N_0}}} \right|+{\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{{N_0}}-{x_k}} \right| = \underbrace {{{\left\| {{x_n}-{x_{{N_0}}}} \right\|}_{{l^\infty }}}}_{ < \varepsilon }+2\varepsilon$

$< 3\varepsilon > {\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}}$

Zu zeigen:

$x \in {l^\infty },{\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} < \infty$

${\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} = {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {{x_n}} \right| = \sup \left| {{x_k}+x_k^{{N_0}}-x_k^{{N_0}}} \right| \leq \underbrace {\sup \left| {{x_k}-x_k^{{N_0}}} \right|}_{ < 2\varepsilon }+\underbrace {\sup \left| {x_k^{{N_0}}} \right|}_{endlich}$

$< 2\varepsilon +{\left\| {{x_{{N_0}}}} \right\|_{{l^\infty }}} < \infty$

$c$ ist abgeschlossen bezüglich der Supremumsnorm

$\left( {{x_n}} \right) \in c:{\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} \to 0$ für ein $x \in {l^\infty }$

Zu zeigen ist, dass $x \in c$ .

$\left( {{x_n}} \right) \in c,\quad {x_n} = {\left( {x_k^{\left( n \right)}} \right)_{k \in \mathbb{N}}}$ für jedes $n:x_k^{\left( n \right)} \to x_\infty ^{\left( n \right)}$ wenn $k \to \infty$

Ist ${\left( {x_\infty ^{\left( n \right)}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}$ eine Cauchyfolge?

$\left| {x_\infty ^{\left( n \right)}-x_\infty ^{\left( m \right)}} \right| < \varepsilon$

${x_n}$ eine Cauchyfolge

$\Rightarrow \left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| \leq {\sup _{k \in \mathbb{N}}}\left| {x_k^{\left( n \right)}-x_k^{\left( m \right)}} \right| = \left\| {{x_n}-{x_m}} \right\| < \varepsilon$

für alle $m,n > N\left( \varepsilon \right)$ und alle $k$

$\left| {x_\infty ^{\left( n \right)}-x_\infty ^{\left( m \right)}} \right| < \varepsilon \quad \forall n,m \geq N\left( \varepsilon \right) \Rightarrow \left| {x_\infty ^{\left( n \right)}} \right|$ ist eine Cauchyfolge

$x_\infty ^{\left( n \right)}$ ist eine Cauchyfolge in $\mathbb R$

$\mathbb R$ ist vollständig $\Rightarrow x_\infty ^{\left( n \right)} \to {x_\infty }$ , wenn $n \to \infty$ . ( ${x_\infty }$ existiert)

Konvergiert $x = \left( {{x_k}} \right)$ ?

Wir müssen zeigen, dass

${x_k} \to {x_\infty }$

$\varepsilon > 0,\quad \left| {{x_k}-{x_\infty }} \right| < \eta$ mit unbekanntem $\eta$

$x_\infty ^{\left( n \right)} \to {x_\infty } \Rightarrow \left| {x_\infty ^{\left( n \right)}-{x_\infty }} \right| < \varepsilon ,\quad \forall n \geq {N_1}\left( \varepsilon \right)$

${\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} \to 0 \Rightarrow \sup \left| {x_k^{\left( n \right)}-{x_k}} \right| = {\left\| {{x_n}-x} \right\|_{{l^\infty }}} < \varepsilon ,\quad \forall n \geq {N_2}\left( \varepsilon \right)$

${N_0} \geq \max \left\{ {{N_1}\left( \varepsilon \right),{N_2}\left( \varepsilon \right)} \right\}$

Wir wählen für das $\epsilon$ ein $N_0$

$x_k^{\left( {{N_0}} \right)} \to x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}$ wenn $k \to \infty$

daraus folgt: $\left| {x_k^{\left( {{N_0}} \right)}-x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}} \right| < \varepsilon ,\quad \forall k \geq {K_0}\left( \varepsilon \right)$

$\left| {{x_k}-{x_\infty }} \right| = \left| {{x_k}-{x_\infty }+x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}-x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}+x_k^{\left( {{N_0}} \right)}-x_k^{\left( {{N_0}} \right)}} \right|$

$\leq \underbrace {\left| {{x_k}-x_k^{\left( {{N_0}} \right)}} \right|}_{ < \varepsilon }+\underbrace {\left| {x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}-{x_\infty }} \right|}_{ < \varepsilon }+\underbrace {\left| {x_k^{\left( {{N_0}} \right)}-x_\infty ^{\left( {{N_0}} \right)}} \right|}_{ < \varepsilon } < 3\varepsilon ,\quad \forall k \geq {K_0}\left( \varepsilon \right)$