u02.3 – Halbnormen

 

Eine Abbildung {\left\|  \cdot  \right\|^*}:V \to \mathbb{R} heißt Halbnorm auf dem Vektorraum V, falls sie alle Normaxiome außer der Definitheit erfüllt.

  1. Zeigen Sie, dass die Abbildung \left\|  \cdot  \right\|_{{C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}^*:{C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right) \to \mathbb{R} mit \left\| f \right\|_{{C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}^*: = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right| eine Halbnorm, jedoch keine Norm auf {C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right): = \left\{ {f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}} \right\} wobei f differenzierbar auf \left( {0,1} \right) und f,f^{\prime} stetig fortsetzbar auf {\left[ {0,1} \right]}
  2. Sei {\mathcal{L}^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right): = \left\{ {f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}} \right\} mit der Lebesgue-messbaren Funktion f, {N_1}\left( f \right) < \infty
    wobei {N_1}\left( f \right): = \int_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|d\lambda \left( x \right)}  = :\int_0^1 {\left| f \right|dx}.

    Zeigen Sie, dass {N_1}\left( f \right),f \in {\mathcal{L}^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right) eine Halbnorm, jedoch keine Norm auf {\mathcal{L}^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right) ist.

Lösung

a )

{C^1}\left[ {0,1} \right]

f \in {C^1}\left[ {0,1} \right],\quad {\left\| f \right\|^*}: = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right|

{\left\| f \right\|^*} = 0 \Rightarrow f = 0 ist nicht erfüllt!

{\left\| f \right\|^*} = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right| = 0 \Rightarrow f^{\prime}\left( t \right) = 0 \Rightarrow f\left( t \right) = const = a \ne 0

weil 0 \leq \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right| \leq 0

b )

\left\| f \right\|_1^* = \int_0^1 {\left| f \right|d\lambda }  = 0 \Rightarrow f = 0 fast überall