u02.3 – Halbnormen

Eine Abbildung ${\left\| \cdot \right\|^*}:V \to \mathbb{R}$ heißt Halbnorm auf dem Vektorraum , falls sie alle Normaxiome außer der Definitheit erfüllt.

Zeigen Sie, dass die Abbildung $\left\| \cdot \right\|_{{C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}^*:{C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right) \to \mathbb{R}$ mit $\left\| f \right\|_{{C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}^*: = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right|$ eine Halbnorm, jedoch keine Norm auf ${C^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right): = \left\{ {f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}} \right\}$ wobei differenzierbar auf $\left( {0,1} \right)$ und $f,f^{\prime}$ stetig fortsetzbar auf ${\left[ {0,1} \right]}$
Sei ${\mathcal{L}^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right): = \left\{ {f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}} \right\}$ mit der Lebesgue-messbaren Funktion , ${N_1}\left( f \right) < \infty$
wobei ${N_1}\left( f \right): = \int_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|d\lambda \left( x \right)} = :\int_0^1 {\left| f \right|dx}$ .

Zeigen Sie, dass ${N_1}\left( f \right),f \in {\mathcal{L}^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)$ eine Halbnorm, jedoch keine Norm auf ${\mathcal{L}^1}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)$ ist.

Lösung

a )

${C^1}\left[ {0,1} \right]$

$f \in {C^1}\left[ {0,1} \right],\quad {\left\| f \right\|^*}: = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right|$

${\left\| f \right\|^*} = 0 \Rightarrow f = 0$ ist nicht erfüllt!

${\left\| f \right\|^*} = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right| = 0 \Rightarrow f^{\prime}\left( t \right) = 0 \Rightarrow f\left( t \right) = const = a \ne 0$

weil $0 \leq \left| {f^{\prime}\left( t \right)} \right| \leq 0$

b )

$\left\| f \right\|_1^* = \int_0^1 {\left| f \right|d\lambda } = 0 \Rightarrow f = 0$ fast überall

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