U02 – Auftriebsverhalten des Eurofighters

Das Auftriebsverhalten eines Flugzeugs bestimmt einen großen Teil seines Leistungsvermögens. Dies trifft sowohl auf Transportflugzeuge als auch auf Kampfflugzeuge zu. Das Auftriebsverhalten eines Flugzeuges gibt z.B. direkten Einblick in die Böenempfindlichkeit eines Flugzeuges.

Die Einflüsse des Rumpfes und der Leitwerke können in einer ersten Abschätzung ohne großen Fehler vernachlässigt werden, so dass sich die Betrachtung des Auftriebs lediglich auf den ideellen Flügel bezieht.

Bestimmen Sie die geometrischen Größen des Flügels!
Skizzieren Sie eine Auftriebspolare und benennen Sie alle relevanten Größen!
Bestimmen Sie den Auftriebsanstieg des Eurofighters für den Machzahlbereich von Ma = 0,3 bis Ma = 2,2
1. Berechnen Sie den Auftriebsanstieg ${c_{A\alpha }}$ für den Unterschall! Bis zu welcher Machzahl ist die verwendete Theorie anwendbar?
2. Bestimmen Sie das Auftriebsverhalten des Eurofighters im Überschall unter Berücksichtigung der unteren Machzahl-Begrenzung.
3. Skizzieren Sie den ${c_{A\alpha }}$ -Verlauf über den gesamten Machzahl-Bereich.
Vergleichen Sie die Auftriebspolaren eines Kampfflugzeugs und eines Transportflugzeugs. Zeigen Sie den Einfluss von Streckung, Pfeilung und Profilwölbung!

Abmessungen

Profil: NACA 64 A 004.6 mod

Spannweite: b = 10,95 m

Länge: L = 15,96 m

Höhe: H = 5,28 m

lfs-u02-eurofighter

Lösung

Aufgabe 1

lfs-u02-eurofighter-fluegel

Laut Aufgabenstellung ist $b = 10,95\:m$ .

In der Zeichnung messen wir $b = 12\:cm$

$\Rightarrow \quad 1\:cm \overset{\wedge}{=}\frac{{11}}{{12}}m$

Für die anderen Größen bekommen wir durch Messung:

${l_{i,id}} = 8,5\:m,\quad {l_a} = 1,5\:m\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{id}} = \frac{{{l_a}}}{{{l_{i,id}}}} = 0,176$ (Deltaflügel)

Als nächstes bestimmen wir die Flügelfläche:

$\boxed{S = \int\limits_{-s}^s {l\left( y \right)dy} } = 2 \cdot \int\limits_0^s {l\left( y \right)dy}$

Für die Länge in Abhängigkeit von y gilt folgende Beziehung:

$l\left( y \right) = {l_i}-\frac{{{l_i}-{l_a}}}{s} \cdot y$

$\Rightarrow \quad S = \frac{{{l_i}+{l_a}}}{2} \cdot b = 54,75\:{m^2}$

lfs-u02-fluegelprofil-2

Nun berechnen wir die Streckung:

$\boxed{\Lambda = \frac{{{b^2}}}{S}} = \frac{{{{10,95}^2}}}{{54,75}} = 2,2$

Für die Streckung beträgt im Normalfall für

Fighter: 2-4

Segelflugzeug: > 20, ${l_i} = {l_a}$

Eine weitere wichtige Größe ist die Bezugsflügeltiefe ${l_\mu }$ , welche die Flügelfläche halbiert:

$\boxed{{l_\mu } = \frac{1}{S} \cdot \int\limits_{-s}^s {l{{\left( y \right)}^2}dy} } = \ldots \quad \Rightarrow \quad {l_\mu } = \frac{2}{3} \cdot {l_i} \cdot \frac{{1+\lambda +{\lambda ^2}}}{{1+\lambda }} = \underline{\underline {5,82\:m}}$

lfs-u02-bezugsfluegeltiefe

Merke: ${l_\mu } \ne {l_m} = \frac{{{l_i}+{l_a}}}{2}$

Die Pfeilung φ:

lfs-u02-pfeilung

χ ist hierbei die so genannte Dickenrücklage. Sie bezeichnet den Abstand zwischen Flügelnase und der maximalen Profildicke und wird in Prozent der Profiltiefe (der Länge des Flügels in Flugrichtung) angegeben.

Bsp. (nicht maßstabsgerecht):

$\chi = 0,4 = 40\%$

lfs-u02-dickenruecklage

Für die Pfeilung gilt:

$\tan {\varphi _\chi } = \frac{{\Delta x}}{s} = \frac{{\left( {\tan {\varphi _0} \cdot s+\chi \cdot {l_a}} \right)-\chi \cdot {l_i}}}{s}$

$= \tan {\varphi _0}+\chi \frac{{{l_a}-{l_i}}}{s}$

mit $\lambda = \frac{{{l_a}}}{{{l_i}}}$ folgt:

$\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}+\chi \frac{{{l_i}}}{s}\left( {\lambda -1} \right)$

Einen Bezug zur Streckung erhält man durch:

$\Lambda = \frac{{{b^2}}}{S} = \frac{{{{\left( {2s} \right)}^2}}}{{\frac{{{l_a}+{l_i}}}{2}2s}} = \frac{{4s}}{{{l_i}\left( {\lambda +1} \right)}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{l_i}}}{s} = \frac{4}{\Lambda } \cdot \frac{1}{{\lambda +1}}$

Durch Einsetzen folgt:

$\boxed{\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot \chi \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}}$

Aufgabe 2

lfs-u02-auftriebspolare-5

Beispiel für eine Ablösung:

lfs-u02-hinterkantenabloesung

Aufgabe 3

Es gibt insgesamt 3 Bereiche, die wir betrachten müssen:

Bereich $\to \begin{array}{*{20}{c}}{US\quad \left( {Unterschall} \right)} \\{SG\quad \left( {Schallgrenze} \right)} \\{\ddot US\quad \left( {\ddot Uberschall} \right)} \\ \end{array}$

Wir haben folgende Profilbezeichnung gegeben: NACA 64A 004.6 mod

Daraus können wir folgendes ablesen:

$4\quad \to \quad \frac{{{x_D}}}{l} = \chi \approx 0,4 = 40\:\%$ = relative Dickenrücklage

$004.6\quad \to \quad \frac{d}{l} = \delta = 4,6\:\% = 0,046$ = maximale relative Dicke

lfs-u02-fluegelprofil

a)

Bestimmen Sie den Auftriebsanstieg ${c_{A\alpha }}$ für den Unterschall! Bis zu welcher Machzahl ist die verwendete Theorie anwendbar?

Für den Unterschallbereich benötigen wir die Formel nach Polhamus:

$\boxed{{c_{A\alpha }} = \frac{{2\pi \Lambda }}{{2+\sqrt {{\Lambda ^2}\left( {\frac{{{\beta ^2}+{\tan}^2 {\varphi _{d\max }}}}{{{K^2}}}} \right)+4} }}}$

Kompressibilitätseinfluss: ${\beta ^2} = 1-M{a^2}$

Profil-/Dickeneinfluss: $K = \frac{{{c_{a\alpha }} \cdot \beta }}{{2\pi }} \approx 1+0,75\frac{d}{l}$

Daraus erhalten wir mit der Formel aus Aufgabe 2:

$\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot \chi \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}$

$\Rightarrow \quad \tan {\varphi _{d\max }} = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot 0,4 \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}$

Für den Eurofighter gilt: $\boxed{{\varphi _0} = 53^\circ }$

$\Rightarrow \quad \tan {\varphi _{40}} = 0,8174$

Für den Profil-/Dickeneinfluss ergibt sich:

$K = 1,035$

Die Formel nach Polhamus gilt jedoch nur bis hin zur kritischen Machzahl (Ma*), bei der bedingt durch Übergeschwindigkeit auf der Flügeloberseite Ma = 1 erreicht wird.

Der Auftriebsanstieg im Bereich $M{a^*} < Ma < M{a_{SVK}}$ ist bei einfachen Verfahren nur schwer zu ermitteln, wird im Transsonischen Bereich (bei Ma = 1) jedoch mit der „Slender-Body-Theorie“ angenähert:

$\boxed{{c_{A\alpha }}\left( {Ma = 1} \right) = \frac{{\pi \Lambda }}{2}} = 3,46$

$M{a_{SVK}}$ ist diejenige Machzahl, mit der das Luftfahrzeug sich bewegen muss, damit die Geschwindigkeit senkrecht zur Flügelvorderkante genau Ma = 1 erreicht.

lfs-u02-senkrechte-vorderkanten-geschwindigkeit

Es gilt:

$\boxed{M{a_{SVK}} = \frac{1}{{\cos {\varphi _0}}}} = \underline{\underline {1,66}}$

Das bedeutet, dass wir ab einer Machzahl von 1,66 mit der Formel für den Überschall rechnen müssen.

Für den Auftriebsanstieg bis Ma = 1,6 erhalten wir:

$\begin{array}{*{20}{c}}{Ma} &\vline & {0,3} &\vline & {0,4} &\vline & {0,5} &\vline & {0,6} &\vline & {0,7} &\vline & {0,8} &\vline & {} &\vline & {1,6} &\vline & {\ddot US} \\ \hline \beta &\vline & {0,954} &\vline & {0,917} &\vline & {0,866} &\vline & {0,8} &\vline & {0,714} &\vline & {0,6} &\vline & \ldots &\vline & {1,249} &\vline & {} \\ \hline{{c_{A\alpha }}\left( {1/rad} \right)} &\vline & {2,59} &\vline & {2,613} &\vline & {2,644} &\vline & {2,68} &\vline & {2,73} &\vline & {2,8} &\vline & {} &\vline & {3,203} &\vline & {} \\ \end{array}$

(Hinweis: Der Wert für Ma = 1,6 wurde bereits nach Ackeret bestimmt, da nach Polhamus dort ein falscher Wert herauskommen würde. Siehe auch c) )

b)

Überschall

Es gilt nun:

$Ma > M{a_{SVK}}$

$M{a_{SVK}} = \frac{1}{{\cos {\varphi _0}}} = \underline{\underline {1,66}}$

Erst ab dieser Machzahl gilt die Formel für den Überschall, da sich erst ab hier der Flügel im Überschall befindet.

Die Formel nach Ackeret gilt für genau diesen Bereich, ab dem der Flügel senkrecht zur Vorderkante (SVK) mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt wird:

$\boxed{{c_{A\alpha }} = \frac{4}{{\sqrt {M{a^2}-1} }}}$

Damit erhalten wir:

$\begin{array}{*{20}{c}}{Ma} &\vline & {1,7} &\vline & {1,8} &\vline & {1,9} &\vline & {2,2} \\ \hline \beta &\vline & {1,375} &\vline & {1,497} &\vline & {1,616} &\vline & {1,9} \\ \hline{{c_{A\alpha }}\left( {1/rad} \right)} &\vline & {2,910} &\vline & {2,673} &\vline & {2,476} &\vline & {2,041} \\ \end{array}$

c)

lfs-u02-auftriebsanstieg

Aufgabe 4

Wir betrachten wieder den Auftriebsanstieg nach Polhamus:

${c_{A\alpha }} = \frac{{2\pi \Lambda }}{{2+\sqrt {{\Lambda ^2}\left( {\frac{{{\beta ^2}+{\tan}^2 {\varphi _{d\max }}}}{{{K^2}}}} \right)+4} }}$

Größere Pfeilung wird benötigt, damit die Streckung kleiner wird. Dadurch erhält man ein kleineres ${c_a}$ und das Flugzeug ist bei Böen nicht so anfällig, was man z.B. im schnellen Tiefflug braucht (Tornado).

Der Einfluss der Wölbung wurde bereits in Aufgabe 2 gezeigt. Für die anderen Größen gilt folgende Grafik:

lfs-u02-einfluss-pfeilung-streckung

Zudem gilt:

${c_p}\left( \varphi \right) = {c_p}\left( {\varphi = 0} \right) \cdot \cos \varphi$

${c_p}\left( \varphi \right) \downarrow ,\:wenn\:\varphi \uparrow$

$\mathcal{J}\mathcal{K}$

11 Kommentare zu “U02 – Auftriebsverhalten des Eurofighters”

Matthias Kirch

22. 05. 10 at 11:53 am

Servus,

die Dickenrücklage ist 40%, nicht 20% NACA 64A……

Matthias Kirch

22. 05. 10 at 12:03 pm

Und nochwas, phi in aufgabe 1. ist nicht phi50, sondern phi chi, also der winkel unter dem die dickste stelle verläuft, in Zahlen also bei diesem Profil phi40. Das Hauptproblem dürfte sein, dass der ÜbLeiter einmal phi chi verwendet hat, für den Winkelö Dickenrücklage und einmal phi x für allgemeine winkel, wobei dort z.B. phi50 -> x=0,5

24. 05. 10 at 12:15 pm

Waren auch nur als Beispiele gedacht, da das explizit ja erst in Aufgabe 3 behandelt wird. Um Missverständnisse zu vermeiden hab ich’s aber trotzdem korrigiert. Danke!

04. 06. 10 at 4:02 pm

Bis zu welcher Ma Zahl kann man die Formel von Polhamus anwenden? Wie ermittelt man Ma*?

04. 06. 10 at 5:29 pm

“Die Formel nach Polhamus gilt [...] nur bis hin zur kritischen Machzahl (Ma*), bei der bedingt durch Übergeschwindigkeit auf der Flügeloberseite Ma = 1 erreicht wird.”

Die kritische Machzahl ist allgemein abhängig vom jeweiligen Profil und von den Umgebungsbedingungen wie etwa Druck und Tempetratur und kann mittels Tests im Windkanal abgeschätzt werden. Die Numerische Ermittlung wird aufgrund ihrer Komplexität hier nicht behandelt. Falls es jedoch eine einfache Methode geben sollte, so wäre ich über jede Rückmeldung dankbar.

Die kritische Machzahl kann zudem je nach Flugzeugtyp stark variieren. Für die P-38 Lightning ist liegt sie bei Ma = 0,69, bei der Supermarine Spitfire dagegen bei Ma = 0,89.

Ergänzung:
Eine grobe Abschätzung scheint hier möglich zu sein:
http://www.luftbau.tu-berlin.de/menue/studium_und_lehre/java_applets/kritische_machzahl/

20. 06. 10 at 1:34 pm

servus,

wie immer 1A Arbeit, aber habt ihr mal den Polhamus angewendet und die Werte nachgerechnet? Irgendwie komme ich immer auf 0,2-0,4 kleinere Werte für die Machzahlen 0,3 bis 0,8…

Vielleicht wisst ihr was ich falsch gemacht haben könnte…

Grüße und weiter so!

21. 06. 10 at 3:48 pm

Nichts, würde ich sagen. Wir sind auch schon am Rätseln gewesen warum wir was anderes herausbekommen. Die Werte wurden in der Übung heute richtiggestellt. Hab’s korrigiert!

27. 06. 10 at 2:15 pm

In Aufgabe 3a steht, dass die Formel nach Polhamus bis Ma* gilt. Für den Fall Ma=1 wurde ein Zwischenwert mit der Slender-Body-Theorie errechnet. Warum wird dann ein Wert für Ma=1,6 errechnet, da dieser Wert deutlich über Ma* liegt und somit die Theorie keine Gültigkeit hat. Wie wurde also der Wert für Ma=1,6 errechnet? Dieser fällt eigentlich in keinen mit den 3 bekannten Theorien berechenbaren Bereich.
Danke

29. 06. 10 at 10:56 am

Zitiere: “(Hinweis: Der Wert für Ma = 1,6 wurde bereits nach Ackeret bestimmt, da nach Polhamus dort ein falscher Wert herauskommen würde. Siehe auch c) )”
Der Wert nach Ackeret liefert da die beste Näherung. Man hätte den Wert aber theoretisch auch weglassen können.

Richmaster

24. 06. 11 at 5:33 pm

Zu Aufgabe 3:
Die 4 bei NACA 64 A ist nicht die relative Dickenrücklage, sondern die relative Wölbungsrücklage. Zwischen diesen beiden besteht ein Unterschied.

Bullseye

27. 06. 11 at 9:54 pm

Das ist schon die Dickenrücklage. Das hat er heute in der Übung gesagt. Habe es in der Übung auch anders verstanden.
Grüße

Mathematical Engineering