U02 – Turbokompressor

Ein Turbokompressor mit mehrfacher Zwischenkühlung komprimiert im stationären Betrieb 5 kg Luft pro Sekunde vom Umgebungszustand p₁ = p_U = 1 bar, T₁ = T_U = 300 K auf einen Druck p₂ = 20 bar. Die Kompression soll als reversibel polytrop mit konstantem Polytropenexponenten n = 1,2 betrachtet werden.

Wie groß muss die Antriebsleistung des Kompressors ${P_{12}} = \dot W_{12}^t$ sein?
Welcher Wärmestrom ${\dot Q_{12}}$ muss der Luft bei der Zwischenkühlung entzogen werden?

Die Luft soll als perfektes Gas betrachtet werden mit: cp,L = 1,0 kJ/(kgK) und RL = 0,287 kJ/(kgK). Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien der Luft sind zu vernachlässigen.

Lösung

turbo-kompressor-kuhlung-reversibel

Allgemein gilt:

Isotherm: $T = const.$ (gesamte Kompressionswärme wird abgeführt)

Adiabat: $\dot Q = 0$ (gesamte Kompressionswärme verbleibt im System)

Polytrop: ein Teil der Kompressionswärme wird abgeführt

p-v-diagramm-isotherm-polytrop

Isotherme: $pv = RT = const.$

Isentrope: $p{v^k} = const.$

Polytrope: $p{v^n} = const.\quad \left( {n < \kappa } \right)$

Allgemein: $p{v^u} = const.$

$u = 0\quad \Rightarrow \quad isobar$

$u = 1\quad \Rightarrow \quad isotherm$

$u = \infty \quad \Rightarrow \quad isochor$

$u = \kappa \quad \Rightarrow \quad isentrop$

$u = n\quad \Rightarrow \quad polytrop$

a)

Es gilt:

${P_{12}} = W_{12}^t = \dot m \cdot w_{12}^t$

Der Formelsammlung entnehmen wir die Formel für die technische Arbeit bei stationären Fließprozessen:

$w_{12}^t = \int\limits_1^2 {v\left( p \right)dp} +\Delta \frac{{{c^2}}} {2}+g\Delta z$

Da wir laut Aufgabenstellung Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien der Luft vernachlässigen sollen folgt:

$w_{12}^t = \int\limits_1^2 {v\left( p \right)dp} +\underbrace {\Delta \frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g\Delta z}_0$

Nun benötigen wir v in Abhängigkeit von p. Da die Kompression reversibel polytrop erfolgen soll, nutzen wir die Polytropenbeziehung:

$p{v^n} = const. = {p_1}v_1^n = {p_2}v_2^n$

$\Rightarrow \quad v\left( p \right) = {\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)^{\frac{1} {n}}} \cdot {v_1}$

$\Rightarrow \quad w_{12}^t = \int\limits_1^2 {{{\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)}^{\frac{1} {n}}} \cdot {v_1}\:} dp$

$\quad = {p_1}^{\frac{1} {n}} \cdot {v_1} \cdot \int\limits_1^2 {{p^{-\frac{1} {n}}}} dp = p_1^{\frac{1} {n}} \cdot {v_1} \cdot \frac{n} {{n-1}}\left[ {{p^{\frac{{n-1}} {n}}}} \right]_1^2$

$\quad = {v_1} \cdot {p_1}^{\frac{1} {n}} \cdot \frac{n} {{n-1}}\left[ {{p_2}^{\frac{{n-1}} {n}}-{p_1}^{\frac{{n-1}} {n}}} \right]$

$\quad = \frac{n} {{n-1}} \cdot {v_1} \cdot {p_1} \cdot \left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{n-1}} {n}}}-1} \right]$

Mit Hilfe des idealen Gasgesetzes, welches auch für perfekte Gase gilt, folgt daraus:

$w_{12}^t = \frac{n} {{n-1}} \cdot R \cdot {T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{n-1}} {n}}}-1} \right] = 334,5\frac{{kJ}} {{kg}}$

$\Rightarrow \quad {P_{12}} = W_{12}^t = \dot m \cdot w_{12}^t = 5\frac{{kg}} {s} \cdot 334,5\frac{{kJ}} {{kg}} = \underline{\underline {1672,6kW}}$

b)

ges.: ${\dot Q_{12}}$

Zwischenkühlung:

kompressor-warme-abfuhrung

Um einen Zusammenhang zwischen der technischenArbeit und dem Wärmestrom herzustellen benötigen wir den 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse:

${q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{12}}z$

Da wir laut Aufgabenstellung Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien der Luft vernachlässigen sollen folgt:

${q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+\underbrace {{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g{\Delta _{12}}z}_0$

${q_{12}} = {\Delta _{12}}h-w_{12}^t$

$\quad {\Delta _{12}}h = {c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)\quad \left( {perf.\:Gas} \right)$

$\Rightarrow \quad {q_{12}} = {c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)-w_{12}^t$

Da es sich um eine polytrope Zustandsänderung handelt gilt:

${T_2} = {T_1} \cdot {\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)^{\frac{{n-1}} {n}}} = 494,3K\quad \Rightarrow \quad {q_{12}} = -140,3\frac{{kJ}} {{kg}}$