U02 – Turbokompressor

 

Ein Turbokompressor mit mehrfacher Zwischenkühlung komprimiert im stationären Betrieb 5 kg Luft pro Sekunde vom Umgebungszustand p1 = pU = 1 bar, T1 = TU = 300 K auf einen Druck p2 = 20 bar. Die Kompression soll als reversibel polytrop mit konstantem Polytropenexponenten n = 1,2 betrachtet werden.

  1. Wie groß muss die Antriebsleistung des Kompressors {P_{12}} = \dot W_{12}^t sein?
  2. Welcher Wärmestrom {\dot Q_{12}} muss der Luft bei der Zwischenkühlung entzogen werden?

Die Luft soll als perfektes Gas betrachtet werden mit: cp,L = 1,0 kJ/(kgK) und RL = 0,287 kJ/(kgK). Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien der Luft sind zu vernachlässigen.

Lösung

turbo-kompressor-kuhlung-reversibel

Allgemein gilt:

Isotherm: T = const. (gesamte Kompressionswärme wird abgeführt)

Adiabat: \dot Q = 0 (gesamte Kompressionswärme verbleibt im System)

Polytrop: ein Teil der Kompressionswärme wird abgeführt

p-v-diagramm-isotherm-polytrop

Isotherme: pv = RT = const.

Isentrope: p{v^k} = const.

Polytrope: p{v^n} = const.\quad \left( {n < \kappa } \right)

Allgemein: p{v^u} = const.

u = 0\quad  \Rightarrow \quad isobar

u = 1\quad  \Rightarrow \quad isotherm

u = \infty \quad  \Rightarrow \quad isochor

u = \kappa \quad  \Rightarrow \quad isentrop

u = n\quad  \Rightarrow \quad polytrop

a)

Es gilt:

{P_{12}} = W_{12}^t = \dot m \cdot  w_{12}^t

Der Formelsammlung entnehmen wir die Formel für die technische Arbeit bei stationären Fließprozessen:

w_{12}^t = \int\limits_1^2 {v\left( p \right)dp} +\Delta \frac{{{c^2}}} {2}+g\Delta z

Da wir laut Aufgabenstellung Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien der Luft vernachlässigen sollen folgt:

w_{12}^t = \int\limits_1^2 {v\left( p \right)dp} +\underbrace {\Delta \frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g\Delta z}_0

Nun benötigen wir v in Abhängigkeit von p. Da die Kompression reversibel polytrop erfolgen soll, nutzen wir die Polytropenbeziehung:

p{v^n} = const. = {p_1}v_1^n = {p_2}v_2^n

\Rightarrow \quad v\left( p \right) = {\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)^{\frac{1} {n}}} \cdot  {v_1}

\Rightarrow \quad w_{12}^t = \int\limits_1^2 {{{\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)}^{\frac{1} {n}}} \cdot  {v_1}\:} dp

\quad  = {p_1}^{\frac{1} {n}} \cdot  {v_1} \cdot  \int\limits_1^2 {{p^{-\frac{1} {n}}}} dp = p_1^{\frac{1} {n}} \cdot  {v_1} \cdot  \frac{n} {{n-1}}\left[ {{p^{\frac{{n-1}} {n}}}} \right]_1^2

\quad  = {v_1} \cdot  {p_1}^{\frac{1} {n}} \cdot  \frac{n} {{n-1}}\left[ {{p_2}^{\frac{{n-1}} {n}}-{p_1}^{\frac{{n-1}} {n}}} \right]

\quad  = \frac{n} {{n-1}} \cdot  {v_1} \cdot  {p_1} \cdot  \left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{n-1}} {n}}}-1} \right]

Mit Hilfe des idealen Gasgesetzes, welches auch für perfekte Gase gilt, folgt daraus:

w_{12}^t = \frac{n} {{n-1}} \cdot  R \cdot  {T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{n-1}} {n}}}-1} \right] = 334,5\frac{{kJ}} {{kg}}

\Rightarrow \quad {P_{12}} = W_{12}^t = \dot m \cdot  w_{12}^t = 5\frac{{kg}} {s} \cdot  334,5\frac{{kJ}} {{kg}} = \underline{\underline {1672,6kW}}

b)

ges.: {\dot Q_{12}}

Zwischenkühlung:

kompressor-warme-abfuhrung

Um einen Zusammenhang zwischen der technischenArbeit und dem Wärmestrom herzustellen benötigen wir den 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse:

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{12}}z

Da wir laut Aufgabenstellung Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien der Luft vernachlässigen sollen folgt:

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+\underbrace {{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g{\Delta _{12}}z}_0

{q_{12}} = {\Delta _{12}}h-w_{12}^t

\quad {\Delta _{12}}h = {c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)\quad \left( {perf.\:Gas} \right)

\Rightarrow \quad {q_{12}} = {c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)-w_{12}^t

Da es sich um eine polytrope Zustandsänderung handelt gilt:

{T_2} = {T_1} \cdot  {\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)^{\frac{{n-1}} {n}}} = 494,3K\quad  \Rightarrow \quad {q_{12}} = -140,3\frac{{kJ}} {{kg}}

\Rightarrow \quad {\dot Q_{12}} = \dot m \cdot  {q_{12}} = \underline{\underline {-701,3kW}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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