U 03.1 – Berechnung von Verzerrungstensor und Hauptdehnungen

 

htm-u02-dms-dehnungs-mess-streifen-rosette

Zur Ermittlung des ebenen Verzerrungszustands in einem Punkt wird eine DMS-Rosette in der skizzierten Ausführung verwendet. Aus den gemessenen Dehnungen {\varepsilon _a},\:{\varepsilon _b},\:{\varepsilon _c} sollen berechnet werden:

  1. Der ebene Verzerrungstensor \left[ E \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}} & {{\varepsilon _{xy}}} \\{{\varepsilon _{yx}}} & {{\varepsilon _{yy}}} \\   \end{array} } \right],
  2. die Hauptdehnungen {\varepsilon _1},\:{\varepsilon _2} sowie
  3. deren Richtungen.

Gegeben: {\varepsilon _a} = 300 \cdot {10^{-6}},\quad {\varepsilon _b} = 150 \cdot {10^{-6}},\quad {\varepsilon _c} = -60 \cdot {10^{-6}}

Lösungen

a) Verzerrungstensor

(Vgl. Skript Kap. 4.6.1)

Zunächst eine Vorbetrachtung.
htm-u02-normalenvektor

Für einen Einheitsvektor \vec n in beliebiger Richtung gilt in Abhängigkeit der Basisvektoren:

\boxed{\vec n = \cos \alpha \cdot {{\vec e}_x}+\sin \alpha \cdot {{\vec e}_y}}

Für die Normaldehnung / Verzerrung in Richtung \vec n gilt:

\varepsilon \left( {\vec n} \right) = \vec n \cdot E\:\vec n

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha } & {\sin \alpha } \\   \end{array} } \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}} & {{\varepsilon _{xy}}} \\{{\varepsilon _{yx}}} & {{\varepsilon _{yy}}} \\   \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha } \\{\sin \alpha } \\   \end{array} } \right]

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha } & {\sin \alpha } \\   \end{array} } \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}\cos \alpha +{\varepsilon _{xy}}\sin \alpha } \\{{\varepsilon _{yx}}\cos \alpha +{\varepsilon _{yy}}\sin \alpha } \\   \end{array} } \right]

Da der Verzerrungstensor symmetrisch ist, folgt:

\boxed{\varepsilon \left( {\vec n} \right) = {\varepsilon _{xx}}{{\cos }^2}\alpha +2{\varepsilon _{xy}}\cos \alpha \sin \alpha +{\varepsilon _{yy}}{{\sin }^2}\alpha }

Für DMSa gilt:

\vec n = {{\vec e}_x},\quad \alpha = 0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\varepsilon _{xx}} = {\varepsilon _a}}} \quad \left( I \right)

Für DMSb gilt:

\vec n = \cos \alpha \cdot {{\vec e}_x}+\sin \alpha \cdot {{\vec e}_y},\quad \alpha = \beta = 120^\circ

\Rightarrow \quad \vec n = -\frac{1}{2}{{\vec e}_x}+\frac{{\sqrt 3 }}{2}{{\vec e}_y}

{\varepsilon _b} = {\varepsilon _{xx}}{\cos ^2}120^\circ +2\cos 120^\circ \sin 120^\circ {\varepsilon _{xy}}+{\varepsilon _{yy}}{\sin ^2}120^\circ

\Rightarrow \quad {\varepsilon _b} = \frac{1}{4}{\varepsilon _{xx}}-\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\varepsilon _{xy}}+\frac{3}{4}{e_{yy}}\quad |\left( I \right)\:einsetzen

\Rightarrow \quad {\varepsilon _b} = \frac{1}{4}{\varepsilon _a}-\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\varepsilon _{xy}}+\frac{3}{4}{e_{yy}}\quad \left( {II} \right)

Für DMSc gilt:

\vec n = \cos \alpha \cdot {{\vec e}_x}+\sin \alpha \cdot {{\vec e}_y},\quad \alpha = 2\beta = 240^\circ \equiv -\beta = -120^\circ

\Rightarrow \quad \vec n = -\frac{1}{2}{{\vec e}_x}-\frac{{\sqrt 3 }}{2}{{\vec e}_y}

{\varepsilon _c} = {\varepsilon _{xx}}{\cos ^2}240^\circ +2\cos 240^\circ \sin 240^\circ {\varepsilon _{xy}}+{\varepsilon _{yy}}{\sin ^2}240^\circ

\Rightarrow \quad {\varepsilon _c} = \frac{1}{4}{\varepsilon _{xx}}+\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\varepsilon _{xy}}+\frac{3}{4}{\varepsilon _{yy}}\quad |\left( I \right)\:einsetzen

\Rightarrow \quad {\varepsilon _c} = \frac{1}{4}{\varepsilon _a}+\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\varepsilon _{xy}}+\frac{3}{4}{\varepsilon _{yy}}\quad \left( {III} \right)

Durch Addition von II und III erhalten wir nun:

{\varepsilon _b}+{\varepsilon _c} = \frac{1}{2}{\varepsilon _a}+\frac{3}{2}{\varepsilon _{yy}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\varepsilon _{yy}} = -\frac{1}{3}{\varepsilon _a}+\frac{2}{3}{\varepsilon _b}+\frac{2}{3}{\varepsilon _c}}}

In III eingesetzt ergibt sich:

{\varepsilon _c} = \frac{1}{4}{\varepsilon _a}+\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\varepsilon _{xy}}+\frac{3}{4}{\varepsilon _{yy}}

\Rightarrow \quad {\varepsilon _c} = \frac{1}{4}{\varepsilon _a}+\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\varepsilon _{xy}}+\frac{3}{4}\left( {-\frac{1}{3}{\varepsilon _a}+\frac{2}{3}{\varepsilon _b}+\frac{2}{3}{\varepsilon _c}} \right)

\Rightarrow \quad {\varepsilon _c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\varepsilon _{xy}}+\frac{1}{2}{\varepsilon _b}+\frac{1}{2}{\varepsilon _c}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\varepsilon _{xy}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {{\varepsilon _c}-{\varepsilon _b}} \right)}}

Durch Einsetzen der Angaben folgt:

{\varepsilon _{xx}} = 300 \cdot {10^{-6}}

{\varepsilon _{yy}} = -40 \cdot {10^{-6}}

{\varepsilon _{xy}} = -121,24 \cdot {10^{-6}}

\Rightarrow \quad E = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}} & {{\varepsilon _{xy}}} \\{{\varepsilon _{yx}}} & {{\varepsilon _{yy}}} \\   \end{array} } \right] = \underline{\underline {{{10}^{-6}} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{300} & {-121} \\{-121} & {-40} \\   \end{array} } \right]}}

b) Hauptdehnungen

Als Hauptdehnungen bezeichnet man die Eigenwerte des Verzerrungstensors \left( {{\varepsilon _{1,2}} = {\lambda _{1,2}}} \right). Sie werden wie folgt berechnet:

\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}-\lambda } & {{\varepsilon _{xy}}} \\{{\varepsilon _{yx}}} & {{\varepsilon _{yy}}-\lambda } \\   \end{array} } \right)\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad 0 = {\varepsilon _{xx}}{\varepsilon _{yy}}-{\varepsilon _{xx}}\lambda -{\varepsilon _{yy}}\lambda +{\lambda ^2}-\varepsilon _{xy}^2

\Rightarrow \quad 0 = {\lambda ^2}-\lambda \left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}}} \right)+{\varepsilon _{xx}}{\varepsilon _{yy}}-\varepsilon _{xy}^2

\Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = \frac{1}{2}\left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}} \pm \sqrt {{{\left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}}} \right)}^2}-4\left( {{\varepsilon _{xx}}{\varepsilon _{yy}}-\varepsilon _{xy}^2} \right)} } \right)

\left[ {{{\left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}}} \right)}^2}-4{\varepsilon _{xx}}{\varepsilon _{yy}} = \varepsilon _{xx}^2+2{\varepsilon _{xx}}{\varepsilon _{yy}}+\varepsilon _{yy}^2-4{\varepsilon _{xx}}{\varepsilon _{yy}} = \varepsilon _{xx}^2-2{\varepsilon _{xx}}{\varepsilon _{yy}}+\varepsilon _{yy}^2 = {{\left( {{\varepsilon _{xx}}-{\varepsilon _{yy}}} \right)}^2}} \right]

\Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = \frac{1}{2}\left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}} \pm \sqrt {{{\left( {{\varepsilon _{xx}}-{\varepsilon _{yy}}} \right)}^2}+4\varepsilon _{xy}^2} } \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\varepsilon _1} = {\lambda _1} = 338,8 \cdot {{10}^{-6}},\quad {\varepsilon _2} = {\lambda _2} = -78,8 \cdot {{10}^{-6}}}}

Bei der ersten Hauptdehnung handelt es sich um die größte vorkommende Dehnung. Ihre zugehörige Richtung wird im Folgenden berechnet.

c) Richtungen der Hauptdehnungen

Folgende Formel ist bereits bekannt:

\varepsilon \left( {\vec n} \right) = {\varepsilon _{xx}}{\cos ^2}\alpha +2{\varepsilon _{xy}}\cos \alpha \sin \alpha +{\varepsilon _{yy}}{\sin ^2}\alpha

Gesucht ist nun der Winkel, für den die Dehnung maximal wird, also der Hochpunkt der Dehnung in Abhängigkeit des Winkels:

{\alpha _{\max }}:\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial \alpha }} = 0

\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial \alpha }} = -2{\varepsilon _{xx}}\sin \alpha \cos \alpha +2{\varepsilon _{xy}}{\cos ^2}\alpha -2{\varepsilon _{xy}}{\sin ^2}\alpha +2{\varepsilon _{yy}}\sin \alpha \cos \alpha

Es gilt:

{\cos ^2}\alpha -{\sin ^2}\alpha = \cos \left( {2\alpha } \right)

2\sin \alpha \cos \alpha = \sin \left( {2\alpha } \right)

Damit folgt:

0 = -{\varepsilon _{xx}}\sin \left( {2\alpha } \right)+2{\varepsilon _{xy}}\cos \left( {2\alpha } \right)+{\varepsilon _{yy}}\sin \left( {2\alpha } \right)

\Rightarrow \quad 0 = \left( {{\varepsilon _{yy}}-{\varepsilon _{xx}}} \right)\tan \left( {2\alpha } \right)+2{\varepsilon _{xy}}

\Rightarrow \quad -\frac{{2{\varepsilon _{xy}}}}{{{\varepsilon _{yy}}-{\varepsilon _{xx}}}} = \tan \left( {2\alpha } \right)

\Rightarrow \quad \tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2{\varepsilon _{xy}}}}{{{\varepsilon _{xx}}-{\varepsilon _{yy}}}} = -0,713

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\alpha = -17,75^\circ = {\alpha _1}}}

Die zweite Hauptdehnung steht senkrecht auf der ersten. Daher gilt:

\underline{\underline {{\alpha _2} = {\alpha _1}+90{{^\circ = 72}}{{,25^\circ }}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}