U03.1 – Stichprobenvarianz

 

Sei \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) eine einfache Bernoulli-Stichprobe vom Umfang n mit unbekannter
Erfolgswahrscheinlichkeit p und seien M bzw. S² das zugehörige
Stichprobenmittel bzw. die zugehörige Stichprobenvarianz. Zeigen Sie:

\left( {n-1} \right) \cdot  S^2  = n \cdot  M \cdot  \left( {1-M} \right)

Hinweis:
Verwenden Sie: \left( {n-1} \right)S^2  = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {X_i -a} \right)^2 -n\left( {M\left( n \right)-a} \right)^2 } mit a: = 0

und beachten Sie, dass X_i  \in \left\{ {0,1} \right\} für alle i, da es sich um einen Bernoulli-Versuch handelt.

Lösung

Für das Stichprobenmittel gilt:
M\left( n \right) = \frac{1} {n}\left( {X_1 + \ldots +X_n } \right) = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i }

Für die Stichprobenvarianz gilt:
S^2 \left( n \right) = \frac{1} {{n-1}}\left( {\left( {X_1 -M\left( n \right)} \right)^2 + \ldots +\left( {X_n -M\left( n \right)} \right)^2 } \right)

= \frac{1} {{n-1}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {X_i -M\left( n \right)} \right)^2 }

Mit dem Hinweis gilt:

\left( {n-1} \right) \cdot  S^2  = \sum\limits_{i = 1}^n {X_i ^2 -nM^2 }

Wegen X_i  \in \left\{ {0,1} \right\} gilt:

\Rightarrow \quad \left( {n-1} \right) \cdot  S^2  = \sum\limits_{i = 1}^n {X_i -nM^2 }

Wegen der Definition des Stichprobenmittels gilt:

\Rightarrow \quad \left( {n-1} \right) \cdot  S^2  = nM-nM^2

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\left( {n-1} \right) \cdot  S^2  = nM\left( {1-M} \right)}}

\mathcal{J}\mathcal{K}