U 03.2 – Rauschen in einer PIN-Diode

 

Die Energie hochenergetischer Ionen kann mit einer Silizium PIN-Diode (vgl. Photodiode, Praktikum Messtechnik 1) gemessen werden. Dazu muss die Anzahl der Ladungsträger bestimmt werden, die beim Abbremsen der Ionen in der Diode entstehen. Hierfür wird der erzeugte Ladungspuls mit einem ladungsempfindlichen Verstärker ausgelesen und die erzeugte Ausgangsspannung dient dann als Messsignal (vgl. Übung 2). Die Betriebsparameter der Diode sind wie folgt:

Sperrspannung {U_B} = 100\:V
Leckstrom durch die Diode: {I_0} = 2\:nA

Der Verstärker hat eine Bandbreite von \Delta f = 50\:MHz.

  1. Durch ein in der Diode detektiertes Ion werden N = {10^6} Ladungsträger erzeugt. Dieser Ladungspuls soll am Verstärker eine Ausgangsspannung von {U_a} = 100mV erzeugen. Wie groß muss dazu der Rückkoppelkondensator {C_F} gewählt werden? Der Kondensator soll mit einer Zeitkonstanten von 1\:ms wieder entladen werden. Wie groß muss demnach der Rückkoppelwiderstand sein?
  2. In der Diode gibt es durch den Leckstrom einen Rauschbeitrag aufgrund des Schrotrauschens und einen weiteren Beitrag aufgrund des thermischen Rauschens in der Diode. Die Diode wird hierbei wie ein gewöhnlicher Widerstand betrachtet. Geben Sie beide Rauschbeiträge, sowie das gesamte Detektorrauschen an.
  3. Die PIN-Diode unterliegt aufgrund der Ionenbestrahlung einem Alterungsprozess, der zu einem Ansteigen des Leckstroms führt. Nach einer gewissen Zeit ist der Leckstrom auf {I_0} = 500nA gestiegen. Wie ändern sich dadurch die beiden Rauschbeiträge?
  4. Welchen Einfluss hat das Detektorrauschen auf die Ausgangsspannung nach dem Verstärker?

Lösung 3.2

a) Größe von Rückkoppelkondensator und Rückkoppelwiderstand

mt2-u03-pin-diode-mit-verstaerker

Ein α-Teilchen besitzt typischerweise kinetische Energien von 2 bis 5 MeV. Mit dieser Energie können in etwa eine Million Lochpaare in der Halbleiterdiode erzeugt werden.

Um die benötigte Größe des Rückkoppelkondensators zu bestimmen, benötigen wir die Formel für die Ausgangsspannung (siehe Übung 2.1.a):

{U_a} = \frac{Q}{{{C_F}}}

Daraus folgt für die Kapazität:

{C_F} = \frac{Q}{{{U_a}}} = \frac{{N \cdot e}}{{{U_a}}} = \frac{{{{10}^6} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{-19}}C}}{{100 \cdot {{10}^{-3}}V}} = 1,6 \cdot {10^{-12}}F = \underline{\underline {1,6\:pF}}

Der parallel geschaltete Widerstand dient der Entladung des Kondensators, damit dieser nicht zu große Ladungen (und damit Spannungen) aufnimmt und dadurch zerstört wird.

Andererseits sollte die Entladung nicht zu schnell stattfinden, da es zur Verarbeitung des Signals eine gewisse Zeit braucht. Unter anderem benötigen die Elektronen eine Diffusionszeit von etwa 100 ns für 1 mm bis sie alle die Kontaktstellen der Diode erreicht haben.

mt2-u03-pin-diode

Die gegebene Zeitkonstante ist nun definiert als das Produkt aus Widerstand und Kapazität. Damit können wir den Rückkoppelwiderstand bestimmen:

\tau = {R_F}C = 1ms\quad \Rightarrow \quad {R_F} = \frac{\tau }{C} = \frac{{1ms}}{{1,6pF}} = \underline{\underline {0,6\:G\Omega }}

b) Rauschbeiträge

Für den Beitrag durch das Schrotrauschen gilt:

\boxed{{I_{R,S}} = \sqrt {2q\left( {{I_0}-{I_{Ph}}} \right)\Delta f} }

Dabei ist {I_0} der Sperrstrom (Leckstrom), der durch die Diode fließt, {I_{Ph}} \approx 0 der Photostrom, den wir hier vernachlässigen und {I_{R,S}} der durch das Schrotrauschen erzeugte Strom.

Wir setzen nun die gegebenen Werte ein, wobei q der Elementarladung (e) entspricht:

{I_{R,S}} = \sqrt {2q\left( {{I_0}-{I_{Ph}}} \right)\Delta f} = \sqrt {2 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{19}}C \cdot 2 \cdot {{10}^{-9}}A \cdot 50 \cdot {{10}^6}{s^{-1}}} = \underline{\underline {1,8 \cdot {{10}^{-10}}A}}

Den konstanten Leckstrom kann man beim Messen wegkalibrieren. Das Rauschen dagegen ist nicht konstant, sondern springt. Daher kann man dieses durch eine Kalibrierung nicht kompensieren.

Wir kommen nun zum thermischen Rauschen in der Diode. Die thermische Rauschspannung berechnet sich wieder mithilfe der Nyquist-Formel:

{U_{R,T}} = \sqrt {4kTR\Delta f}

Uns interessiert wieder der dadurch entstehende Stromfluss:

{I_{R,T}} = \frac{{{U_{R,T}}}}{R} = \sqrt {\frac{{4kT\Delta f}}{R}}

Für den Widerstand gilt hier:

R = {R_{Diode}} = \frac{{{U_{bias}}}}{{{I_0}}} = \frac{{100\:V}}{{2\:nA}} = 5 \cdot {10^{10}}\Omega

Einsetzen ergibt:

{I_{R,T}} = \sqrt {\frac{{4kT\Delta f}}{R}} = \underline{\underline {4,1 \cdot {{10}^{-12}}A}}

Insgesamt erhalten wir mittels Fehlerrechnung einen Rauschstrom von:

{I_{R,tot}} = \sqrt {I_{R,S}^2+I_{R,T}^2} = \underline{\underline {1,8 \cdot {{10}^{-10}}A}}

Wichtig: Das Schrotrauschen ist immer viel dominanter und somit relevanter als das thermische Rauschen!

c) Änderung der Rauschbeiträge durch den Alterungsprozess

Durch die Alterung der Diode bilden sich u.a. so genannte Strompfade aus, auf denen der Ladungstransport begünstigt wird. Dadurch erhöht sich der Leckstrom.

Leckstrom der “kaputten” Diode: {I_{0,k}} = 500nA

Die Berechnung der Werte folgt analog zur vorhergehenden Teilaufgabe.

Rauschstrom durch Schrotrauschen:

{I_{R,S,k}} = \sqrt {2q{I_{0,k}}\Delta f} = \sqrt {250} \cdot {I_{R,S}} = \underline{\underline {2,8 \cdot {{10}^{-9}}A}}

Rauschstrom durch thermisches Rauschen:

{I_{R.T,k}} = \underline{\underline {6,5 \cdot {{10}^{-11}}A}}

Insgesamt erhalten wir einen Rauschstrom von:

{I_{R,tot,k}} = \sqrt {I_{R,S,k}^2+I_{R,T,k}^2} = \underline{\underline {2,8 \cdot {{10}^{-9}}A}}

Durch den erhöhten Leckstrom kommt es also zu einem größeren Rauschbeitrag.

d) Einfluss des Detektorrauschens auf die Ausgangsspannung

Hierbei müssen wir sowohl eine Kurzeit- als auch eine Langzeitbetrachtung durchführen.

Es gilt:

{U_{a,R}} = \frac{{{Q_R}}}{{{C_F}}} = \frac{{\int\limits_T {{I_R}\:dt} }}{{{C_F}}},\quad t < \tau = RC

Als Zeitintervall betrachten wir jetzt den durch die Bandbreite relevanten Bereich:

\Rightarrow \quad {U_{a,R}} = \frac{{\int\limits_0^{\frac{1}{{\Delta f}}} {\sqrt {I_{R,S}^2+I_{R,T}^2} \:dt} }}{{{C_F}}} = \frac{{\int\limits_0^{\frac{1}{{\Delta f}}} {\sqrt {2q{I_0}\Delta f+\frac{{4kT}}{R}} \:dt} }}{{{C_F}}} = \frac{{{I_{R,tot}}}}{{{C_F} \cdot \Delta f}}

Daraus folgt für die neue Diode: {U_{a,R}} = 2,3\:\mu V

Für die kaputte Diode folgt: {U_{a,R}} = 36\:\mu V

Da ein Oszilloskop normalerweise nur Millivolt auflöst, sind beide Rauschspannungen nicht sichtbar. Wir haben im Fall der neuen Diode ein Verhältnis von zu messendem Strom zu Rauschstrom von {10^5}. Bei solch einem Verhältnis kann das Rauschen vernachlässigt werden.

Wir betrachten nun t > \tau = RC

Da der Kondensator bei Betrachtung von großen Zeiten als fertig geladen angenommen werden kann, wird auch der Strom für große Zeiten als annähernd konstant zum Rauschstrom betrachtet.

Damit gilt für die neue Diode:

{U_{a,R}} = {I_{R,tot}} \cdot {R_F} = 6,3 \cdot {10^8}\Omega \cdot 1,8 \cdot {10^{-10}}A = \underline{\underline {0,11\:V}}

Für die kaputte Diode folgt:

{U_{a,R}} = 6,3 \cdot {10^8}\Omega \cdot 2,8 \cdot {10^{-9}}A = \underline{\underline {1,8\:V}}

Wir erkennen, dass die Rauschspannung bei der kaputten Diode weit über der gewünschten Ausgangsspannung liegt.

Bei der neuen Diode liegt die Rauschspannung allerdings auch im Bereich der Ausgangsspannung. Allerdings macht dies nichts aus, da sich das Rauschen langsamer ändert (linkes Bild) als das Signal (rechtes Bild):

mt2-u03-rauschen-signal

Man braucht daher nachfolgende Elektronik, die sehr schnell auswerten kann. Häufig folgt ein Differenzierer.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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1 Kommentar zu “U 03.2 – Rauschen in einer PIN-Diode”

Habe die Grafik der PIN-Diode korrigiert. Die Elektronen fließen natürlich zum positiven Pol.

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