U03 – Laplace-Transformation

Gegeben sei die Differentialgleichung für die Bewegung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems:

$\ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0$

mit den Anfangsbedingungen

$x\left( 0 \right) = {x_0}\quad ,\quad \dot x\left( 0 \right) = {v_0}$

Lösen Sie die Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation.
Unterscheiden Sie (wie in Übung 2) die Fälle:

$\delta > {\omega _0}\quad ,\quad \delta < {\omega _0}\quad ,\quad \delta = {\omega _0}$

Lösung

Zur Ausführung der Laplace Transformation benötigen wir zunächst die Tabelle mit Definition und Eigenschaften der Laplace-Transformation:

definition-eigenschaften-laplace-transformation

Da in der Ausgangsgleichung $x$ sowie Ableitungen von $x$ gegeben sind, benötigen wir den Differentiationssatz (6):

$\ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0$

$\downarrow$

${s^2} \cdot X\left( s \right)-\sum\limits_{i = 0}^1 {{s^i} \cdot {x^{\left( {2-1-i} \right)}}\left( 0 \right)} +2\delta \cdot \left[ {s \cdot X\left( s \right)-x\left( 0 \right)} \right]+\omega _0^2X\left( s \right) = 0$

$\Rightarrow \quad {s^2} \cdot X\left( s \right)-{{\dot x}_0}-s \cdot {x_0}+2\delta s \cdot X\left( s \right)-2\delta {x_0}+\omega _0^2X\left( s \right) = 0$

Diese Gleichung stellen wir nun nach $X(s)$ um:

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}}$

Der Term im Nenner ist das sog. charakteristische Polynom bzw. die sog. charakteristische Gleichung. Zur Lösung der Aufgabe muss diese = 0 gesetzt werden:

${s^2}+2\delta s+\omega _0^2 = 0$

$\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -\delta \pm \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2}$

Nun haben wir 3 Fälle zu unterscheiden:

$\delta > {\omega _0}\quad ,\quad \delta < {\omega _0}\quad ,\quad \delta = {\omega _0}$

Fall I:

$\delta > {\omega _0}$

$\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -\delta \pm \underbrace {\sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} }_{{\omega _e}} = \underline{\underline {-\delta \pm {\omega _e}}}$

Um nun die Lösung wieder in den Zeitbereich rückzutransformieren müssen wir die Gleichung mit X(s) so umformen, dass sie mit Ausdrücken in der Korrespondenztabelle für Laplace-Transformationen übereinstimmt.

An dieser Stelle gibt es nun 2 Möglichkeiten auf die Lösung zu kommen.

1. geschicktes Umformen:
In unserem Fall kommen aufgrund des Ergebnisses für ω_e und der Form von X(s) vor allem die Korrespondenzen Nr. 32 und 33 in Frage:

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\left( {{\delta ^2}-\omega _0^2} \right)}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\omega _e^2}}$

Weiter durch sinnvolles Umformen und Ergänzen:

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot \frac{{{\omega _e}}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\omega _e^2}}+{x_0} \cdot \frac{{s+\delta }} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\omega _e^2}}$

Diese Terme entsprechen nun den Korrespondenzen Nr. 32 und 33. Wir können nun also zurücktransformieren:

$\downarrow$

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot {e^{-\delta t}}\sinh {\omega _e}t \cdot 1\left( t \right)+{x_0} \cdot {e^{-\delta t}}\cosh {\omega _e}t \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = \left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot {e^{-\delta t}}\sinh {\omega _e}t+{x_0} \cdot {e^{-\delta t}}\cosh {\omega _e}t} \right) \cdot 1\left( t \right)}}$

2. Partialbruchzerlegung:
Mittels Partialbruchzerlegung können wir die Gleichung auch so umformen, dass sie die Korrespondenz Nr. 3 enthält. Dies ist immer dann hilfreich, wenn man nicht auf den ersten Blick sieht, wie X(s) umzuformen ist.
korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {s+2\delta } \right)}} {{\left( {s+\alpha } \right)\left( {s+\beta } \right)}} = \frac{A} {{\left( {s+\alpha } \right)}}+\frac{B} {{\left( {s+\beta } \right)}}$

Wobei:

$\alpha = \delta -{\omega _e}\quad ,\quad \beta = \delta +{\omega _e}$

Regel für einfache Polstellen:
$F\left( s \right) = \frac{{Z\left( s \right)}} {{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {s-{p_i}} \right)} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{R_i}}} {{s-{p_i}}}}$
mit ${R_i} = {\left. {\left( {s-{p_i}} \right)F\left( s \right)} \right|_{s = {p_i}}}$

Also:

$s = {p_i} = -\alpha$

$\Rightarrow \quad A = \left( {-\alpha +\alpha } \right)\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\alpha +2\delta } \right)}} {{\left( {-\alpha +\alpha } \right)\left( {-\alpha +\beta } \right)}} = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\alpha +2\delta } \right)}} {{\left( {-\alpha +\beta } \right)}}$

Durch einsetzen von α und β erhalten wir somit:

$\Rightarrow \quad A = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\delta +{\omega _e}+2\delta } \right)}} {{\left( {-\delta +{\omega _e}+\delta +{\omega _e}} \right)}} = \underline{\underline {\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {{\omega _e}+\delta } \right)}} {{2{\omega _e}}}}}$

Analog folgt für B:

$s = {p_i} = -\beta$

$\Rightarrow \quad B = \left( {-\beta +\beta } \right)\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\beta +2\delta } \right)}} {{\left( {-\beta +\alpha } \right)\left( {-\beta +\beta } \right)}} = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\beta +2\delta } \right)}} {{\left( {-\beta +\alpha } \right)}}$

$\Rightarrow \quad B = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\delta -{\omega _e}+2\delta } \right)}} {{\left( {-\delta -{\omega _e}+\delta -{\omega _e}} \right)}} = \underline{\underline {\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-{\omega _e}+\delta } \right)}} {{-2{\omega _e}}}}}$

Mit Hilfe der Korrespondenztabelle transformieren wir nun zurück:

$X\left( s \right) = \frac{A} {{\left( {s+\alpha } \right)}}+\frac{B} {{\left( {s+\beta } \right)}}$

$\downarrow$

$x\left( t \right) = A \cdot {e^{-\alpha t}} \cdot 1\left( t \right)+B \cdot {e^{-\beta t}} \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \left( {A \cdot {e^{-\left( {\delta -{\omega _e}} \right)t}}+B \cdot {e^{-\left( {\delta +{\omega _e}} \right)t}}} \right) \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {A \cdot {e^{{\omega _e}t}}+B \cdot {e^{-{\omega _e}t}}} \right) \cdot 1\left( t \right)$

Nun wenden wir die Eulergleichung an:

${e^{ \pm x}} = \cosh x \pm \sinh x$

Damit folgt:

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {A \cdot {e^{{\omega _e}t}}+B \cdot {e^{-{\omega _e}t}}} \right) \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {A \cdot \left( {\cosh {\omega _e}t+\sinh {\omega _e}t} \right)+B \cdot \left( {\cosh {\omega _e}t-\sinh {\omega _e}t} \right)} \right) \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {\left( {A+B} \right) \cdot \cosh {\omega _e}t+\left( {A-B} \right) \cdot \sinh {\omega _e}t} \right) \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {{x_0} \cdot \cosh {\omega _e}t+\frac{{{v_0}+{x_0}\delta }} {{{\omega _e}}} \cdot \sinh {\omega _e}t} \right) \cdot 1\left( t \right)}}$

Fall II:

$\delta < {\omega _0}$

$\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -\delta \pm \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} = -\delta \pm j\underbrace {\sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}} }_{{\omega _e}^\prime } = \underline{\underline {-\delta \pm j{\omega _e}^\prime }}$

Die weitere Umformung erfolgt nun analog der letzten Aufgabe, allerdings diesmal aufgrund des anders berechneten ω_e mit den Korrespondenzen Nr. 30 und 31:

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-{\delta ^2}+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^{'2}}}$

Weiter durch sinnvolles Umformen und Ergänzen:

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot \frac{{{\omega _e}}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^{'2}}}+{x_0} \cdot \frac{{s+\delta }} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^{'2}}}$

Diese Terme entsprechen nun den Korrespondenzen Nr. 30 und 31. Wir können nun also zurücktransformieren:

$\downarrow$

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot {e^{-\delta t}}\sin {\omega _e}t \cdot 1\left( t \right)+{x_0} \cdot {e^{-\delta t}}\cos {\omega _e}t \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = \left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot {e^{-\delta t}}\sin {\omega _e}t+{x_0} \cdot {e^{-\delta t}}\cos {\omega _e}t} \right) \cdot 1\left( t \right)}}$

Fall III:

$\delta = {\omega _0}$

Eingesetzt erhalten wir somit:

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot {x_0}+2\delta {x_0}}}{{{s^2}+2\delta s+{\delta ^2}}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}}{{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}}}$
Hier können wir nun die Korrespondenzen Nr. 3 und 9 anwenden:

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation
$\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}}{{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}}}+\frac{{{x_0}}}{{\left( {s+\delta } \right)}}$

$\downarrow$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = \left( {{v_0}+\delta {x_0}} \right) \cdot t \cdot {e^{-\delta t}} \cdot 1\left( t \right)+{x_0} \cdot {e^{-\delta t}} \cdot 1\left( t \right)}}$