U03 – Laplace-Transformation

 

Gegeben sei die Differentialgleichung für die Bewegung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems:

\ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0

mit den Anfangsbedingungen

x\left( 0 \right) = {x_0}\quad ,\quad \dot x\left( 0 \right) = {v_0}

Lösen Sie die Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation.
Unterscheiden Sie (wie in Übung 2) die Fälle:

\delta  > {\omega _0}\quad ,\quad \delta  < {\omega _0}\quad ,\quad \delta  = {\omega _0}

Lösung

Zur Ausführung der Laplace Transformation benötigen wir zunächst die Tabelle mit Definition und Eigenschaften der Laplace-Transformation:

definition-eigenschaften-laplace-transformation

Da in der Ausgangsgleichung x sowie Ableitungen von x gegeben sind, benötigen wir den Differentiationssatz (6):

\ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0

\downarrow

{s^2} \cdot  X\left( s \right)-\sum\limits_{i = 0}^1 {{s^i} \cdot  {x^{\left( {2-1-i} \right)}}\left( 0 \right)} +2\delta  \cdot  \left[ {s \cdot  X\left( s \right)-x\left( 0 \right)} \right]+\omega _0^2X\left( s \right) = 0

\Rightarrow \quad {s^2} \cdot  X\left( s \right)-{{\dot x}_0}-s \cdot  {x_0}+2\delta s \cdot  X\left( s \right)-2\delta {x_0}+\omega _0^2X\left( s \right) = 0

Diese Gleichung stellen wir nun nach X(s) um:

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot  {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}}

Der Term im Nenner ist das sog. charakteristische Polynom bzw. die sog. charakteristische Gleichung. Zur Lösung der Aufgabe muss diese = 0 gesetzt werden:

{s^2}+2\delta s+\omega _0^2 = 0

\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -\delta  \pm \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2}

Nun haben wir 3 Fälle zu unterscheiden:

\delta  > {\omega _0}\quad ,\quad \delta  < {\omega _0}\quad ,\quad \delta  = {\omega _0}

Fall I:

\delta  > {\omega _0}

\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -\delta  \pm \underbrace {\sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} }_{{\omega _e}} = \underline{\underline {-\delta  \pm {\omega _e}}}

Um nun die Lösung wieder in den Zeitbereich rückzutransformieren müssen wir die Gleichung mit X(s) so umformen, dass sie mit Ausdrücken in der Korrespondenztabelle für Laplace-Transformationen übereinstimmt.

An dieser Stelle gibt es nun 2 Möglichkeiten auf die Lösung zu kommen.

1. geschicktes Umformen:
In unserem Fall kommen aufgrund des Ergebnisses für ωe und der Form von X(s) vor allem die Korrespondenzen Nr. 32 und 33 in Frage:

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot  {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\left( {{\delta ^2}-\omega _0^2} \right)}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\omega _e^2}}

Weiter durch sinnvolles Umformen und Ergänzen:

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot  \frac{{{\omega _e}}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\omega _e^2}}+{x_0} \cdot  \frac{{s+\delta }} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-\omega _e^2}}

Diese Terme entsprechen nun den Korrespondenzen Nr. 32 und 33. Wir können nun also zurücktransformieren:

\downarrow

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot  {e^{-\delta t}}\sinh {\omega _e}t \cdot  1\left( t \right)+{x_0} \cdot  {e^{-\delta t}}\cosh {\omega _e}t \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = \left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot  {e^{-\delta t}}\sinh {\omega _e}t+{x_0} \cdot  {e^{-\delta t}}\cosh {\omega _e}t} \right) \cdot  1\left( t \right)}}

2. Partialbruchzerlegung:
Mittels Partialbruchzerlegung können wir die Gleichung auch so umformen, dass sie die Korrespondenz Nr. 3 enthält. Dies ist immer dann hilfreich, wenn man nicht auf den ersten Blick sieht, wie X(s) umzuformen ist.
korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot  {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {s+2\delta } \right)}} {{\left( {s+\alpha } \right)\left( {s+\beta } \right)}} = \frac{A} {{\left( {s+\alpha } \right)}}+\frac{B} {{\left( {s+\beta } \right)}}

Wobei:

\alpha  = \delta -{\omega _e}\quad ,\quad \beta  = \delta +{\omega _e}

Regel für einfache Polstellen:
F\left( s \right) = \frac{{Z\left( s \right)}} {{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {s-{p_i}} \right)} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{R_i}}} {{s-{p_i}}}}
mit {R_i} = {\left. {\left( {s-{p_i}} \right)F\left( s \right)} \right|_{s = {p_i}}}

Also:

s = {p_i} = -\alpha

\Rightarrow \quad A = \left( {-\alpha +\alpha } \right)\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\alpha +2\delta } \right)}} {{\left( {-\alpha +\alpha } \right)\left( {-\alpha +\beta } \right)}} = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\alpha +2\delta } \right)}} {{\left( {-\alpha +\beta } \right)}}

Durch einsetzen von α und β erhalten wir somit:

\Rightarrow \quad A = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\delta +{\omega _e}+2\delta } \right)}} {{\left( {-\delta +{\omega _e}+\delta +{\omega _e}} \right)}} = \underline{\underline {\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {{\omega _e}+\delta } \right)}} {{2{\omega _e}}}}}

Analog folgt für B:

s = {p_i} = -\beta

\Rightarrow \quad B = \left( {-\beta +\beta } \right)\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\beta +2\delta } \right)}} {{\left( {-\beta +\alpha } \right)\left( {-\beta +\beta } \right)}} = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\beta +2\delta } \right)}} {{\left( {-\beta +\alpha } \right)}}

\Rightarrow \quad B = \frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-\delta -{\omega _e}+2\delta } \right)}} {{\left( {-\delta -{\omega _e}+\delta -{\omega _e}} \right)}} = \underline{\underline {\frac{{{v_0}+{x_0}\left( {-{\omega _e}+\delta } \right)}} {{-2{\omega _e}}}}}

Mit Hilfe der Korrespondenztabelle transformieren wir nun zurück:

X\left( s \right) = \frac{A} {{\left( {s+\alpha } \right)}}+\frac{B} {{\left( {s+\beta } \right)}}

\downarrow

x\left( t \right) = A \cdot  {e^{-\alpha t}} \cdot  1\left( t \right)+B \cdot  {e^{-\beta t}} \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \left( {A \cdot  {e^{-\left( {\delta -{\omega _e}} \right)t}}+B \cdot  {e^{-\left( {\delta +{\omega _e}} \right)t}}} \right) \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {A \cdot  {e^{{\omega _e}t}}+B \cdot  {e^{-{\omega _e}t}}} \right) \cdot  1\left( t \right)

Nun wenden wir die Eulergleichung an:

{e^{ \pm x}} = \cosh x \pm \sinh x

Damit folgt:

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {A \cdot  {e^{{\omega _e}t}}+B \cdot  {e^{-{\omega _e}t}}} \right) \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {A \cdot  \left( {\cosh {\omega _e}t+\sinh {\omega _e}t} \right)+B \cdot  \left( {\cosh {\omega _e}t-\sinh {\omega _e}t} \right)} \right) \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {\left( {A+B} \right) \cdot  \cosh {\omega _e}t+\left( {A-B} \right) \cdot  \sinh {\omega _e}t} \right) \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {{x_0} \cdot  \cosh {\omega _e}t+\frac{{{v_0}+{x_0}\delta }} {{{\omega _e}}} \cdot  \sinh {\omega _e}t} \right) \cdot  1\left( t \right)}}

Fall II:

\delta  < {\omega _0}

\Rightarrow \quad {s_{1,2}} = -\delta  \pm \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2}  = -\delta  \pm j\underbrace {\sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}} }_{{\omega _e}^\prime } = \underline{\underline {-\delta  \pm j{\omega _e}^\prime }}

Die weitere Umformung erfolgt nun analog der letzten Aufgabe, allerdings diesmal aufgrund des anders berechneten ωe mit den Korrespondenzen Nr. 30 und 31:

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot  {x_0}+2\delta {x_0}}} {{{s^2}+2\delta s+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}-{\delta ^2}+\omega _0^2}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^{'2}}}

Weiter durch sinnvolles Umformen und Ergänzen:

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot  \frac{{{\omega _e}}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^{'2}}}+{x_0} \cdot  \frac{{s+\delta }} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^{'2}}}

Diese Terme entsprechen nun den Korrespondenzen Nr. 30 und 31. Wir können nun also zurücktransformieren:

\downarrow

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot  {e^{-\delta t}}\sin {\omega _e}t \cdot  1\left( t \right)+{x_0} \cdot  {e^{-\delta t}}\cos {\omega _e}t \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = \left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}} {{{\omega _e}}} \cdot  {e^{-\delta t}}\sin {\omega _e}t+{x_0} \cdot  {e^{-\delta t}}\cos {\omega _e}t} \right) \cdot  1\left( t \right)}}

Fall III:

\delta  = {\omega _0}

Eingesetzt erhalten wir somit:

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+s \cdot {x_0}+2\delta {x_0}}}{{{s^2}+2\delta s+{\delta ^2}}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}}{{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}}}
Hier können wir nun die Korrespondenzen Nr. 3 und 9 anwenden:

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation
\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}+{x_0}\left( {s+\delta } \right)}}{{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}}} = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}}}+\frac{{{x_0}}}{{\left( {s+\delta } \right)}}

\downarrow

\Rightarrow \quad \underline{\underline {x\left( t \right) = \left( {{v_0}+\delta {x_0}} \right) \cdot t \cdot {e^{-\delta t}} \cdot 1\left( t \right)+{x_0} \cdot {e^{-\delta t}} \cdot 1\left( t \right)}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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4 Kommentare zu “U03 – Laplace-Transformation”

Fall III ist falsch. Die erste Umformung zu vo-DELTA…. ist so nicht korrekt. Eher: vo+xo*DELTA…

Stimmt, danke, habs korrigiert!

Die eingescannte Tabelle enthält in Fall I Abschnitt 1) in den Zeilen 30&31 Fehler, da auch die

    \[\omega_0\]

zum Quadrat genommen werden müssen, also

    \[{\omega_0}^2\]

Danke, hab’s korrigiert :)

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