U03 – Nullwiderstand des Eurofighters

 

Der Widerstand eines Flugzeugs setzt sich aus unterschiedlichen Anteilen zusammen. Für den Eurofighter soll im Rahmen einer Nachprojektierung der Widerstandsbeiwert für den unten angegebenen Flugzustand ermittelt werden.

  1. Skizzieren Sie den Verlauf des Nullwiderstandsbeiwertes über der Machzahl. Kennzeichnen Sie die jeweiligen Anteile und beschreiben Sie deren physikalischen Ursprung.
  2. Definieren Sie die Machzahl des Widerstandsanstieges. Bestimmen Sie den Wert mittels des angehängten Diagramms. Welchen Einfluss haben Flügelpfeilung und relative Dicke?
  3. Bestimmen Sie die Widerstandsfläche und den Nullwiderstandsbeiwert des Eurofighters bei einer Geschwindigkeit von Ma = 0,6 in einer Höhe von 6km. Das Profil werde dabei zu 30% laminar umströmt.
  4. Skizzieren Sie den Verlauf des Nullwiderstandes (Kraft) über der Machzahl!

Technische Daten Eurofighter:

Spannweite: b = 10,95m

Referenzfläche: {S_{ref}} = 55{m^2}

Profil: NACA\:\:64\:A004.6\:\bmod

Gesamtlänge: L = 15,96m

Max. Rumpfbreite: {d_g} = 2,26m

Lösung

1)

lfs-u03-widerstandsdiagramm

Ma* ist die kritische Machzahl. Dies ist diejenige Anströmmachzahl, bei der durch die Übergeschwindigkeit auf der Oberseite des Flügelprofils gerade Ma = 1 erreicht wird.

M{a_{SVK}} (SVK: Schallvorderkante) ist diejenige Machzahl, mit der das Luftfahrzeug sich bewegen muss, damit die Geschwindigkeit senkrecht zur Flügelvorderkante (die senkrechte Anströmgeschwindigkeit) genau Ma = 1 erreicht.

lfs-u02-senkrechte-vorderkanten-geschwindigkeit

Dabei gilt in etwa: M{a_ \bot } = 1\quad \overset{\wedge}{=}\quad M{a_{SVK}} \approx 1,6

Zu beachten ist noch, dass der Widerstand selbst trotz des sinkenden Widerstandsbeiwertes bei höherer Machzahl steigt!

lfs-u03-widerstand

2)

Die Machzahl des Widerstandsanstiegs ist definiert als diejenige Machzahl, bei der der Widerstandsanstieg über der Machzahl 0,1 beträgt:

lfs-u03-machzahl-des-widerstandsanstiegs

\frac{{\partial {C_W}}}{{\partial Ma}} = 0,1\quad \Rightarrow \quad M{a_{DD}} \approx M{a^*}+0,05

DD: Divergence Drag

Bestimmen können wir diese Machzahl mit Hilfe des folgenden Diagrams (für Großansicht hier klicken):

lfs-u03-drag-divergence-mach-number-chart

Folgende benötigte Werte haben wir bereits in Übung 2 bestimmt:

Taper Ratio = Zuspitzung = \lambda = 0,176

Thickness Ratio = maximale relative Dicke = \delta = \frac{d}{l} = 4,6\% = 0,046

Aspect Ratio = Streckung = \Lambda = 2,2

Für den Pfeilungswinkel gilt wie in Übung 2:

\boxed{\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot \chi \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}}

wobei für den Eurofighter gilt: {\varphi _0} = 53^\circ

\Rightarrow \quad {\varphi _{25}} = \arctan \left[ {\tan \left( {53^\circ } \right)-\frac{4}{{2,2}} \cdot 0,25 \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}} \right] = 45^\circ

Hier noch einmal zur Vertiefung die Bedeutung der einzelnen Werte:

Sweep Angle:

Der Sweep Angle oder auch Pfeilungswinkel, welcher einen gepfeilten Flügel charakterisiert, wird normalerweise entlang der 25%-Linie gemessen.

lfs-u03-pfeilung

Thickness Ratio (maximale relative Dicke):

\delta = \frac{d}{l}

lfs-u03-relative-dicke

Streckung:

\Lambda = \frac{{{b^2}}}{S}

Zuspitzung:

\lambda = \frac{{{l_a}}}{{{l_i}}}

Damit sieht das ausgefüllte Diagramm wie folgt aus (für Großansicht hier klicken):

lfs-u03-drag-divergence-mach-number-chart-b

Daraus folgt also: M{a_{DD}} = 0,94

Einfluss von Flügelpfeilung und relativer Dicke:

lfs-u03-einfluss-fluegelpfeilung-relative-dicke

3)

lfs-u03-widerstand-b

Schema für die Berechnung von Widerstandsflächen und Nullwiderstandsbeiwert:

1. charakteristische Lauflängen bestimmen aus Anteilen von:

Rumpf

Seitenleitwerk

Höhenleitwerk

Flügel

Triebwerkseinlauf

2. Reynoldszahlen bestimmen

3. Reibbeiwerte {c_f} bestimmen

4. Referenzflächen bestimmen

5. Addition der Widerstandsflächen \Rightarrow {C_{W0,ges}}

Berechnung des Nullwiderstandsbeiwertes:

{C_{W0}} = \frac{{\sum {{f_{Sj}}} }}{{{S_{ref}}}}+{C_{W,Interf}}+{C_{W,Welle}}

Bei Ma = 0,6 können wir den transsonischen Wellenwiderstand nicht vernachlässigen!

Zunächst wenden wir uns den einzelnen Baugruppen zu:

Wir beginnen mit dem Rumpf:

1. Charakteristische Lauflänge:

Dieser Wert ist in der Aufgabenstellung gegeben: l = L = 15,96\:m

2. Reynoldszahl:

Es gilt: \operatorname{Re} = \frac{{\rho vl}}{\mu }

Für die Dichte in der internationale Standardatmosphäre gilt:

\boxed{\rho \left( H \right) = {\rho _0}{{\left( {\frac{{T\left( H \right)}}{{{T_0}}}} \right)}^{4,256}}}

\quad \boxed{T\left( H \right) = {T_0}+{\gamma _H} \cdot H}

\qquad {T_0} = 288,15\:K

\qquad {\rho _0} = 1,225\frac{{kg}}{{{m^3}}}

\qquad {\gamma _H}\left( {ISA} \right) = -6,5\frac{K}{{km}}

\Rightarrow \quad T\left( {6\:km} \right) = \underline{\underline {249,15\:K}}

\Rightarrow \quad \rho \left( {6\:km} \right) = \underline{\underline {0,66\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}

Für die Geschwindigkeit v gilt:

v = Ma \cdot a = Ma \cdot \sqrt {\kappa RT} = Ma \cdot \sqrt {\kappa \frac{p}{\rho }} = 0,6 \cdot 316,4\frac{m}{s} = 189,8\frac{m}{s}

mit \kappa = 1,4,\quad Ma = 0,6

Zur Berechnung der dynamischen Viskosität µ benötigen wir folgende Formel:

\boxed{\mu = 1,7 \cdot {{10}^{-5}}\frac{{kg}}{{ms}} \cdot {{\left( {\frac{T}{{273,15K}}} \right)}^{1,5}} \cdot \left( {\frac{{384,15K}}{{T+111K}}} \right)} = 1,5796 \cdot {10^{-5}}\frac{{kg}}{{ms}}

Durch Einsetzen erhalten wir somit für die Reynoldszahl:

{\operatorname{Re} _{{l_R}}} = 1,266 \cdot {10^8}

Dabei handelt es sich um eine turbulente Strömung, da der Umschlag von laminar auf turbulent bei einer Reynoldszahl von etwa {10^6} stattfindet.

Nun müssen wir noch die so genannte Cutoff-Reynoldszahl bestimmen, da die empirischen Formeln zu Bestimmung des Reibbeiwertes nur in einem begrenzten Reynoldszahl-Bereich gelten.

Mit zunehmender Reynoldszahl nimmt der Reibbeiwert ab, kann jedoch aufgrund der Oberflächenrauhigkeit einen Mindestwert nicht unterschreiten.

Um eine untere Grenze der Näherungskurve für den Reibbeiwert zu berücksichtigen, wird eine Obergrenze für die Reynoldszahl eingeführt. Ist die tatsächliche Reynoldszahl größer als die Cutoff-Reynoldszahl, so ist letztere maßgeblich für die Bestimmung des Reibbeiwerts.

Für die Cutoff-Reynoldszahl gilt:

\boxed{{{\operatorname{Re} }_{CO}} = 38{{\left( {\frac{{{l_R}}}{k}} \right)}^{1,053}}} = 2,1 \cdot {10^8}

Wir setzen dabei k = 6,3 \cdot {10^{-6}} für einen glatten Anstrich der Flügel.

Somit können wir also die zuerst berechnete Reynoldszahl weiterverwenden.

3. Reibbeiwert:

Für den Reibbeiwert oder auch Reibkoeffizienten (engl. friction coefficient) gilt:

{C_{f,lam}} = \frac{{1,328}}{{\sqrt {\operatorname{Re} } }}

{C_{f,turb}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}}

Da es sich um eine turbulente Strömung handelt benötigen wir die zweite Formel:

{C_{f,R}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {{{\operatorname{Re} }_{{l_R}}}} \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}} = 0,002

Damit lässt sich nun der Beiwert für den schädlichen Widerstand des Rumpfes bestimmen:

\boxed{{C_{Ws,R}} = {C_{f,R}}\left( {\underbrace 1_{Reibanteil}+\underbrace {0,5{{\left( {\frac{d}{l}} \right)}_R}+6\left( {\frac{d}{l}} \right)_R^4{{\left( {\frac{1}{\beta }} \right)}^{1,5}}}_{Druckanteil}} \right)}

= 1,08 \cdot {C_{f,R}} = 0,00216

mit:

\beta = \sqrt {1-M{a^2}} = 0,8 (Prandtl-Glauert-Faktor)

{\left( {\frac{d}{l}} \right)_R} = \frac{{2,26\:m}}{{15\:m}} = 0,151

Als Rumpflänge wurden hier 15 m gewählt, da in der Gesamtlänge auch noch die Länge des überstehenden Höhenleitwerks / Seitenruders (0,95 m) enthalten ist.

4. Referenzfläche:

Für die Bezugsfläche, welche hier die Oberfläche des Rumpfes ist gilt:

{O_R} = \boxed{{S_R} \approx \pi d_r^2\left[ {\left( {\frac{d}{l}} \right)_R^{-1}-1,35} \right]} = 84,8{m^2}

Damit gilt für die Widerstandsfläche der Baugruppe:

\boxed{{f_{S,R}} = {C_{Ws,R}} \cdot {O_R}} = \underline{\underline {0,183{m^2}}}

Wir kommen nun zum Triebwerk.

1. Charakteristische Lauflänge:

Die Charakteristische Länge ist hier die Einlauflänge (Länge des Ansaugschachtes des Triebwerks / der Triebwerke):

{l_{EL}} = 5,9m

Diese Länge erhält man aus der Länge vom Einlauf bis zum Ende des Flugzeugs, abzüglich der bekannten Länge des Triebwerks (beim Eurofighter 4 Meter).

2. Reynoldszahl:

Bei hohen Geschwindigkeiten kann bei Kampfflugzeugen der Einlaufsquerschnitt verkleinert werden, um die Strömungsgeschwindigkeit wieder herabzusetzen. Dies ist bei Ma = 0,6 aber noch nicht der Fall. Wir rechnen daher auch mit dieser Geschwindigkeit als Geschwindigkeit im Einlauf.

Analog zu oben folgt hier:

{\operatorname{Re} _{EL}} = 4,679 \cdot {10^7} \gg {10^6}\quad \Rightarrow \quad turbulent

{\operatorname{Re} _{CO}} = 38 \cdot {\left( {\frac{{5,9}}{{6,3 \cdot {{10}^{-6}}}}} \right)^{1,053}} = 7,376 \cdot {10^7}\quad \Rightarrow \quad turbulent

3. Reibbeiwert:

{C_{f,EL}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {{{\operatorname{Re} }_{EL}}} \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}} = 0,002296

4. Referenzfläche:

{O_{EL}} = 2 \cdot {l_{EL}} \cdot {U_{EL}}

Für den Durchmesser des Triebwerkseinlaufs wählen wird dabei:

{D_{TWK}} = 0,74\:m (Literaturwert)

{U_{EL}} = \pi \cdot {D_{TWK}} = 2,32\:m

\Rightarrow \quad {O_{EL}} \approx 27{m^2}

\Rightarrow \quad {f_{S,EL}} = {C_{f,EL}} \cdot {O_{EL}} = 0,062\:{m^2}

Nun machen wir mit den Flügeln weiter

1. Charakteristische Lauflänge:

Zu beachten ist, dass wir hier mit der exponierten Flügelfläche weiterrechnen müssen, da wir das Flugzeug in Komponenten unterteilt haben!

Durch die Messungen aus Aufgabe 1 ergibt dich damit:

{l_a} = 1,5\:m

{l_{i,\exp }} = 7\:m

{\lambda _{\exp }} = \frac{{{l_a}}}{{{l_{i,\exp }}}} = 0,21

Die Bezugsflügeltiefe {l_\mu } können wir geometrisch anhand der Zeichnung bestimmen (siehe letzte Übung):

{l_{\mu ,\exp }} = \frac{2}{3} \cdot {l_{i,\exp }} \cdot \frac{{1+\lambda +{\lambda ^2}}}{{1+\lambda }} = 4,84\:m

2. Reynoldszahl:

{\operatorname{Re} _{l\mu }} = \frac{{\rho v{l_{\mu ,\exp }}}}{\mu } = 3,8 \cdot {10^7} > {10^6}\quad \Rightarrow turbulent

\operatorname{Re} = 0,3 \cdot {\operatorname{Re} _{l\mu }} = 1,14 \cdot {10^7} (für den laminaren Teil)

{\operatorname{Re} _{CO}} = 6 \cdot {10^7}

{C_{f,turb}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}}

\qquad = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {3,8 \cdot {{10}^7}} \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot {{0,6}^2}} \right)^{-0,65}} = 0,00237\quad \quad \left( {70\% \:\:turb} \right)

{C_{f,lam}} = \frac{{1,328}}{{\sqrt {\operatorname{Re} } }} = \frac{{1,328}}{{\sqrt {1,14 \cdot {{10}^7}} }} = 0,00039\quad \quad \left( {30\% \:\:lam} \right)

Zu beachten ist hierbei, dass für den laminaren Reibbeiwert die mit 0,3 multiplizierte Reynoldszahl verwendet wird, da sich dieser vorne auf dem Flügel befindet und daher vom hinteren (turbulenten) Teil unabhängig ist.

Für die Berechnung des turbulenten Reibbeiwertes muss dagegen die Reynoldszahl der gesamten Flügellänge verwendet werden, da der laminare Teil (30 %) auch einen Einfluss auf den turbulenten Teil hat.

Diese beiden Reibbeiwerte werden nun noch gewichtet aufaddiert:

\Rightarrow \quad {C_{f,F}} = 0,3 \cdot {C_{f,lam}}+0,7 \cdot {C_{f,turb}} = 0,00178

lfs-u03-fluegel

Für den Beiwert vom Profilwiderstand des Flügels gilt:

\boxed{{C_{W0,F}} = 2 \cdot {C_{f,F}}\left[ {1+A \cdot \frac{d}{l} \cdot \cos \left( {{\varphi _{25}}} \right)+B \cdot {{\left( {\frac{d}{l}} \right)}^4} \cdot {{\left( {\frac{1}{{{\beta ^*}}}} \right)}^3}\cos \left( {{\varphi _{25}}} \right)} \right]}

Für den Flügel folgt wie in Übung 2 aus „NACA 64A 004.6 mod“ für die relative Dicke:

004.6\quad \to \quad \frac{d}{l} = \delta = 4,6\:\% = 0,046

{\varphi _{25}} = 45^\circ (Berechnung siehe weiter oben)

Für den Prandtl-Glauert-Faktor gilt:

{\beta ^*} = \sqrt {1-{{\left( {0,6 \cdot \cos \left( {{\varphi _{25}}} \right)} \right)}^2}} = 0,906

Für die Faktoren A und B gilt:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & A &\vline & B \\ \hline{NACA\:4er} &\vline & {2,0} &\vline & {60} \\ \hline{Laminarprofil} &\vline & {1,5} &\vline & {125} \\   \end{array}

Damit folgt nun also:

{C_{W0,F}} = 2 \cdot {C_{f,F}} \cdot 1,065 = 0,00377

Für die Widerstandsfläche gilt:

{f_{SF}} = {C_{W0,F}} \cdot {S_{F,\exp }} = 0,14{m^2}

{S_{F,\exp }} erhalten wir wie in Übung 2 durch ausmessen:

{S_{F,\exp }} = \frac{{{l_i}+{l_a}}}{2} \cdot 2 \cdot s = \frac{{7\:m+1,5\:m}}{2} \cdot 2 \cdot 4,4\:m = 37,4\:m

Nun folgt das Seitenleitwerk:

{C_{W0,SLW}} \approx 0,006

{S_{SLW}} = 5,4\:{m^2}

{f_{S,SLW}} = 0,006 \cdot 5,4\:{m^2} = 0,032\:{m^2}

Jetzt noch das Höhenleitwerk:

{C_{W0,HLW}} \approx 0,006

{S_{HLW}} = 3,1\:{m^2}

{f_{S,HLW}} = 0,019\:{m^2}

Wir führen nun alle berechneten Werte zusammen:

{C_{W0}} = \frac{{\sum {{f_{Sj}}} }}{{{S_{ref}}}}+{C_{W,Interf}}+{C_{W,Welle}}

Die Werte für {f_{Sj}} haben wir alle berechnet. Für die Interferenzen gibt es Formeln, die an dieser Stelle allerdings zu aufwändig wären. Wir schätzen daher, dass durch Interferenzen 20% Widerstand hinzukommen.

Es ergibt sich (bei Vernachlässigung des Wellenwiderstandes):

{C_{W0}} = 1,2 \cdot \frac{{{f_{S,R}}+{f_{S,EL}}+{f_{S,Fl}}+{f_{S,SLW}}+{f_{S,HLW}}}}{{{S_{ref}}}} \approx 0,0095

Es fehlt nun noch der Wellenwiderstand, über den wir keinerlei Informationen haben. Es gibt jedoch eine Formel, mit der man sich die gesamte Rechnung sparen kann, wenn man nur drei relevante Werte kennt:

{C_{W0}} = {C_{fe}} \cdot \frac{{{S_{wet}}}}{{{S_{ref}}}}

{C_{fe}} bekommen wir aus folgender Tabelle:

lfs-u03-schnellabschaetzungsmethode

Für {S_{wet}} betrachten wir das folgende Diagram:

lfs-u03-verhaeltnis-benetzte-oberflaeche-referenzfluegelflaeche

Der Eurofighter liegt etwa zwischen der Phantom und der F-102 Delta Dagger. Wir schätzen den Wert daher mit {S_{wet}}/{S_{ref}} = 3,2 ab.

Es ergibt sich:

{C_{W0}} = {C_{fe}} \cdot \frac{{{S_{wet}}}}{{{S_{ref}}}} = 0,0035 \cdot 3,2 = 0,0112

Vergleichen wir diesen Wert mit dem vorher berechneten, sehen wir, dass der Wellenwiderstand etwa 10% ausmacht.

\mathcal{J}\mathcal{K}

Ähnliche Artikel

3 Kommentare zu “U03 – Nullwiderstand des Eurofighters”

servus,

zu aufgabe 1, das diagramm mit nullwiderstand über machzahl… ich denke in der formel für den widerstand muss die dichte rho stehen, kein delta.

Da denkst du richtig! Hab’s korrigiert, danke!

Moin,
zum Widerstand über Machzahl Diagramm aus Aufgabe 1:
müsste der Anstieg des Nullwiderstandes im Bereich der Transsonik nicht steigen statt fallen. Im Satz darüber steht auch trotz des FALLENDEN cw. Im Transschall steigt dieser jedoch stark an und fällt erst danach Wieder ab. Der Knick müsste demnach in die andere Richtung verlaufen. Oder hab ich nur nen Knick? :D

Kommentar verfassen