U03 – Wirkungsgrad einer Pelton-Turbine

 

Bei einer Pelton-Turbine beträgt der Druck im Eintrittsstutzen p1 = 120 bar, im Austrittsstutzen p2 = 1 bar. Das Wasser erwärmt sich in der Turbine um 0,4 K.

Wie groß ist der Wirkungsgrad der Turbine, d.h. das Verhältnis der tatsächlich gewonnenen Arbeit zur maximal möglichen Arbeit?

Die Turbine soll als vollkommen wärmeisoliert betrachtet werden. Kompressibilität und thermische Ausdehnung des Wassers können vernachlässigt werden. Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien des Wassers sind ebenfalls zu vernachlässigen.

Weitere Angaben: für Wasser gilt D = 1000 kg/m³ = const. und cp = cv = c = 4,18 kJ/(kgK)

Geg.:

{p_1} = 120bar,\quad {p_2} = 1bar,\quad {\Delta _{12}}T = 0,4K

\rho  = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad {c_p} = {c_v} = c = 4,18\frac{{kJ}} {{kgK}}

Lösung

pelton-turbine-wirkungsgrad

Zunächst eine Folgerungskette:
vollkommen wärmeisoliert \Rightarrow adiabat \Rightarrow reversibel \Rightarrow isentrop \Rightarrow s = const. \Rightarrow ds = 0

isentroper Wirkungsgrad für eine Turbine
(für Verdichter wäre es wieder anders):

{\eta _{S,T}} = \frac{{real\:gewonnene\:Arbeit}} {{maximale\:gewinnbare\:Arbeit}}

{\eta _{S,T}} = \frac{{w_{12}^t}} {{w_{12,rev}^t}} = \frac{{w_{12,irr.ad.}^t}} {{w_{12,rev.ad.}^t}} (aus Formelsammlung)

w_{12}^t bekommen wir aus dem 1. HS für statische Fließprozesse.
Wegen der Vernachlässigung der Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien des Wassers gilt:

\underbrace {{q_{12}}}_{0,\:adiabat}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+\underbrace {{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g{\Delta _{12}}z}_0

\Rightarrow \quad w_{12}^t = {\Delta _{12}}h

\Delta h bekommen wir aus:

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{{c_p}}dT+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}dp

Bei idealen Gasen würde für den zweiten Term (den sog. Realgasfaktor) gelten:

{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}dp = 0

ABER HIER NICHT!
Denn Wasser ist kein „ideales Gas“. Wir benutzen daher folgende Beziehung, die für reale Gase / Fluide gilt:

{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T} = v-T\underbrace {{{\left( {\frac{{\partial v}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_0 = v

Der zweite Term ist hier wegen der Annahme der Inkompressibilität zu vernachlässigen.
Eingesetzt folgt nun:

dh = {c_p}dT+vdp

\Rightarrow \quad {\Delta _{12}}h = \int\limits_1^2 {\left( {{c_p}dT+vdp} \right)}  = \int\limits_1^2 {vdp} +\int\limits_1^2 {{c_p}dT}  = {c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)+v\left( {{p_2}-{p_1}} \right)

= w_{12}^t = -10228J

Um die maximal gewinnbare Arbeit w_{12,rev}^t zu berechnen gibt es nun 2 Möglichkeiten:

  1. Laut Formelsammlung gilt bei stationären Fließprozessen:

    w_{12,rev}^t = \int\limits_1^2 {v\left( p \right)dp} +\underbrace {\Delta \frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g\Delta z}_0 = \frac{1} {\rho }\left( {{p_2}-{p_1}} \right) = -11900J

  2. Aus der Gibb’schen Hauptgleichung folgt:

    dh = Tds+vdp

    Da der Vorgang isentrop sein soll, gilt:

    ds  =  0 = \frac{{dh-vdp}} {T}

    dh = vdp = \delta _{{w_{12}}}^t

    \Rightarrow \quad \Delta h_{12}^{rev} = \frac{1} {\rho }\left( {{p_2}-{p_1}} \right) = w_{12,rev}^t

Insgesamt gilt also für den Wirkungsgrad:

\Rightarrow \quad {\eta _{S,T}} = \frac{{w_{12}^t}} {{w_{12,rev}^t}} = \frac{{{c_p}\Delta T+\frac{1} {\rho }\Delta p}} {{\frac{1} {\rho }\Delta p}} = 1+\frac{{{c_p}\Delta T}} {{\frac{1} {\rho }\Delta p}} = \underline{\underline {0,86}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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