u04.1.a – Rieszscher Darstellungssatz und Dualität in Hilbert-Räumen

 

Sei \left( {H,{{\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }_H}} \right) ein Hilbertraum und F:H \to S ein lineares Funktional. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1.

\underbrace {{x_n} \to x}_{{{\left\| {{x_n}-x} \right\|}_H} \to 0}\quad  \Rightarrow \quad F\left( {{x_n}} \right) \to F\left( x \right)

2.

für alle {x_0} \in H und alle \varepsilon  > 0 existiert ein \delta  > 0 mit

{\left\| {{x_n}-x} \right\|_H} < \delta \quad  \Rightarrow \quad \left| {F\left( x \right)-F\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon

3.

F ist beschränkt, d.h.

\exists c > 0:\left| {F\left( x \right)} \right| \leq c{\left\| x \right\|_H}\quad \forall x \in H

Lösung

1 → 2

Sei F stetig in 0, d.h.

\mathop {{x_n} \to 0}\limits_{{{\left\| {{x_n}} \right\|}_H} \to \infty } \quad  \Rightarrow \quad F\left( {{x_n}} \right) \to F\left( 0 \right) = 0

zu prüfen:

{x_0} \in H,\quad \underbrace {{x_n} \to {x_0}}_{{{\left\| {{x_n}-{x_0}} \right\|}_H} \to 0}\quad  \Rightarrow \quad F\left( {{x_n}} \right) \to F\left( {{x_0}} \right)

{x_n} \to {x_0}\quad  \Rightarrow \quad {x_n}-{x_0} \to 0\quad  \Rightarrow \quad \underbrace {F\left( {{x_n}-{x_0}} \right)}_{ = F\left( {{x_n}} \right)-F\left( {{x_0}} \right)} \to F\left( 0 \right) = 0

Es folgt:

F\left( {{x_n}} \right)-F\left( {{x_0}} \right) \to 0

Daher ist F stetig

2 → 3

Wenn F beschränkt ist, gilt

\exists c > 0:\left| {F\left( x \right)} \right| \leq c{\left\| x \right\|_H}\quad \forall x \in H

Sei F stetig. Angenommen, F ist nicht beschränkt, d.h.

\forall n \in \mathbb{N}\quad \exists {x_n} \in H:\quad \left| {F\left( {{x_n}} \right)} \right| > n{\left\| {{x_n}} \right\|_H}

Außerdem:

{\left\| {{x_n}} \right\|_H} \ne 0\quad \forall n

{y_n} = \frac{{{x_n}}} {{n{{\left\| {{x_n}} \right\|}_H}}} \in H

Die Folge wurde so ausgewählt, da die Norm dieser Folge immer 1 ist:

\left\| {\frac{{{x_n}}} {{\left\| {{x_n}} \right\|}}} \right\| = 1

{\left\| {{y_n}} \right\|_H} = \frac{1} {n} \to 0\quad  \Rightarrow \quad \left\{ {{y_n}} \right\}:Nullfolge

Wenn F in 0 stetig ist, folgt daraus:

F\left( {{y_n}} \right) \to F\left( 0 \right) = 0

(wegen Linearität: F\left( {\lambda x} \right) = \lambda F\left( x \right)\quad  \Rightarrow \quad F\left( {0x} \right) = F\left( 0 \right) = 0 \cdot F\left( x \right) = 0)

Es ist aber

\left| {F\left( {{y_n}} \right)} \right| = \left| {F\left( {\frac{1} {n}\frac{{{x_n}}} {{\left\| {{x_n}} \right\|}}} \right)} \right| = \frac{1} {{n\left\| {{x_n}} \right\|}}\left| {F\left( {{x_n}} \right)} \right| > 1

wobei die Ungleichung aus der Annahme folgt.

Es ist klar, dass F ist stetig in 0 ist, wenn F insgesamt stetig ist. Es gilt also:

\forall \varepsilon  > 0\quad \exists \delta:\left| {F\left( x \right)} \right| < \varepsilon \quad \forall x:\left\| x \right\| < \delta

Wir wählen:

\varepsilon  = 1\quad  \Rightarrow \quad \exists \delta :\left| {F\left( x \right)} \right| < 1\quad \forall x:{\left\| x \right\|_H} < \delta

\varepsilon  > 0,\quad \frac{{\delta x}} {{\left\| x \right\|+\varepsilon }},\quad \left\| {\frac{{\delta x}} {{\left\| x \right\|+\varepsilon }}} \right\| = \delta \frac{{\left\| x \right\|}} {{\left\| x \right\|+\varepsilon }} < \delta

\Rightarrow \quad \left| {F\left( {\frac{{\delta x}} {{\left\| x \right\|+\varepsilon }}} \right)} \right| < 1\quad  \Rightarrow \quad \frac{\delta } {{\left\| x \right\|+\varepsilon }}\left| {F\left( x \right)} \right| < 1

Wir erweitern:

\frac{\delta } {{\left\| x \right\|+\varepsilon }}\left| {F\left( x \right)} \right| < 1\quad | \cdot \frac{{\left\| x \right\|+\varepsilon }} {\delta }\quad  \Rightarrow \quad \left| {F\left( x \right)} \right| < \frac{{\left\| x \right\|+\varepsilon }} {\delta }

Es ist nun

\left| {F\left( x \right)} \right| < \frac{{\left\| x \right\|+\varepsilon }} {\delta } = \underbrace {\frac{1} {\delta }}_c\left( {\left\| x \right\|+\varepsilon } \right)

also: \varepsilon  \to 0\quad  \Rightarrow \quad \left| {F\left( x \right)} \right| \leq \frac{1} {\delta }\left\| x \right\|

Daraus folgt, dass F beschränkt ist.

3 → 1

Sei F beschränkt. Zu zeigen: F ist stetig in 0.

Es muss gelten:

\left| {F\left( x \right)} \right| \leq c{\left\| x \right\|_H}\quad \forall x \in H

Dazu:

\left| {F\left( x \right)} \right| \leq \underbrace {c{{\left\| x \right\|}_H}}_{ < \varepsilon }\quad  \Rightarrow \quad c{\left\| x \right\|_H} < \varepsilon \quad  \Rightarrow \quad {\left\| x \right\|_H} < \frac{\varepsilon } {c} = \delta

Für jedes \varepsilon  > 0\quad \exists \delta  = \frac{\varepsilon } {c}:\quad \forall x:{\left\| x \right\|_H} < \frac{\varepsilon } {c}

\Rightarrow \quad \left| {F\left( x \right)} \right| \leq c{\left\| x \right\|_H} < c\frac{\varepsilon } {c} = \varepsilon