u04.1.c – Rieszscher Darstellungssatz und Dualität in Hilbert-Räumen

 

Sei

H = {l^2} = \left\{ {x \in {S^\mathbb{N}}:{{\left\| x \right\|}_{{l^2}}} < \infty } \right\}

und

{\left\langle {x,y} \right\rangle _H} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{x_k}\overline {{y_k}} }

Zu n \in \mathbb{N} sei F:{l^2} \to S durch F\left( x \right) = {x_n},\quad x = {\left( {{x_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \in {l^2}gegeben.

  1. Prüfen Sie die Beschränktheit von F
  2. Berechnen Sie den nach dem Rieszschen Darstellungssatz eindeutig bestimmten Repräsentanten {x_F} \in {l^2} von F (d.h. F\left( x \right) = {\left\langle {x,{x_F}} \right\rangle _H}\quad \forall x \in H) und damit {\left\| F \right\|_{{H^*}}}.

Lösung

H = {l^2} = \left\{ {x = \left( {{x_k}} \right):{{\left\| x \right\|}_{{l^2}}} < \infty } \right\},\quad {\left\| x \right\|_{{l^2}}} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left| {{x_k}} \right|}^2}} }

F:H \to S,\quad F\left( x \right) = {x_n} mit festem n

x = \left( {{x_1}, \ldots ,{x_n}, \ldots } \right)

Teil 1

F ist linear. Ist F auch beschränkt?

Es gilt: \left| {F\left( x \right)} \right| \leq c{\left\| x \right\|_{{l^2}}},\quad \forall x \in {l^2}

\left| {F\left( x \right)} \right| = \left| {{x_n}} \right| \leq 1 \cdot {\left\| x \right\|_{{l^2}}}

{\left| {{x_n}} \right|^2} \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left| {{x_k}} \right|}^2}} = \left\| x \right\|_{{l^2}}^2\quad \Rightarrow \quad \left| {{x_n}} \right| \leq {\left\| x \right\|_{{l^2}}}

Also ist F beschränkt.

Teil 2

Wenn F beschränkt und linear ist, folgt daraus:

Satz von Riesz:

\exists !{x_F}:F\left( x \right) = {\left\langle {x,{x_F}} \right\rangle _H},\quad \forall x \in H

Zerlegung:

{x_n} = F\left( x \right) = {\left\langle {x,{x_F}} \right\rangle _H} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{x_k}{{\left( {{{\overline x }_F}} \right)}_k}} = {x_n}\underbrace {{{\left( {{{\overline x }_F}} \right)}_n}}_{ = 1}+\sum\limits_{k = 1,k \ne n}^\infty {{x_k}\underbrace {{{\left( {{{\overline x }_F}} \right)}_k}}_{ = 0}}

mit {x_F} = \left( {0, \ldots ,0,1,0, \ldots ,0} \right)

Daraus folgt:

{\left\| F \right\|_{{H^*}}} = {\left\| {{x_F}} \right\|_H} = 1

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