u04.1.d – Rieszscher Darstellungssatz und Dualität in Hilbert-Räumen

 

Eine Funktion x:\left[ {a,b} \right] \to S,\quad a < b heißt absolut stetig, falls für alle \varepsilon > 0 ein \delta > 0 so existiert, dass für jedes endliche System paarweise disjunkter Intervalle

\left( {{a_i},{b_i}} \right) \subset \left[ {a,b} \right],\quad i = 1, \ldots ,n

die Implikation

\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{b_i}-{a_i}} \right) < \delta } \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {x\left( {{b_i}} \right)-x\left( {{a_i}} \right)} \right| < \varepsilon }

gilt.

Die Menge aller absolut stetigen Funktionen über \left[ {a,b} \right] bezeichnen wir mit AC\left( {\left[ {a,b} \right]} \right) und es gilt der folgende Satz:

Sei x \in AC\left( {\left[ {a,b} \right]} \right). Dann ist x fast überall differenzierbar auf \left[ {a,b} \right] mit x^{\prime} \in {L^1}\left( {\left( {a,b} \right)} \right) und für alle \tilde s \in \left[ {a,b} \right] gilt:

x\left( {\tilde s} \right)-x\left( a \right) = \int_a^{\tilde s} {x^{\prime}\left( s \right)ds}

Sei nun

H = \left\{ {x \in AC\left( {\left[ {0,1} \right]} \right):x\left( 0 \right) = 0,\quad x^{\prime} \in {L^2}\left( {\left( {0,1} \right)} \right)} \right\}

und

{\left\langle {x,y} \right\rangle _H} = \int_0^1 {x^{\prime}\left( s \right)\overline {y^{\prime}\left( s \right)} ds}

\left( {H,{{\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }_H}} \right)

ist damit ein Hilbertraum. Zu fixiertem 0 < t \leq 1 definieren wir F:H \to S durch F\left( x \right) = x\left( t \right).

  1. Prüfen Sie die Beschränktheit von F
  2. Berechnen Sie den eindeutig bestimmten Repräsentanten {x_F} \in H von F und {\left\| F \right\|_{{H^*}}} wenn der Skalarbereich den reellen Zahlen entspricht

Lösung

i

x:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R} ist absolut stetig, wenn

\forall \varepsilon > 0\quad \exists \delta > 0:\quad {a_1} < {b_1} < {a_2} < {b_2} < \ldots < {a_n} < {b_n},\quad n \in \mathbb{N}

\Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{b_k}-{a_k}} \right)} < \delta \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{k = 1}^n {\left| {f\left( {{b_k}} \right)-f\left( {{a_k}} \right)} \right| < \varepsilon }

Es gilt:

Wenn x absolut stetig ist, dann ist x fast überall differenzierbar auf \left[ {a,b} \right] und x\left( {\tilde s} \right)-x\left( a \right) = \int_a^{\tilde s} {x^{\prime}\left( s \right)ds} ,\quad \forall \tilde s \in \left[ {a,b} \right]

x^{\prime} \in {L^1}\left( {a,b} \right)\quad \Rightarrow \quad \int_a^b {\left| {x^{\prime}\left( t \right)} \right|dt} < \infty

H = \left\{ {x \in \underbrace {AC\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}_{absolut\quad konvergent}:x\left( 0 \right) = 0,\quad x^{\prime} \in {L^2}\left( {0,1} \right)} \right\}

{\left\langle {x,y} \right\rangle _H} = \int_0^1 {x^{\prime}\left( s \right)\overline {y^{\prime}\left( s \right)} ds}

{\left| {x^{\prime}\left( s \right)} \right|^2} = x^{\prime}\left( s \right)\overline {x^{\prime}\left( s \right)}

\left\| x \right\|_H^2 = {\left\langle {x,x} \right\rangle _H} = \int_0^1 {x^{\prime}\left( s \right)\overline {x^{\prime}\left( s \right)} ds} = \int_0^1 {{{\left| {x^{\prime}\left( s \right)} \right|}^2}ds} = \left\| {x^{\prime}} \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}^2

\quad \Rightarrow \quad {\left\| x \right\|_H} = {\left\| {x^{\prime}} \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}}

Die beiden Normen sind also gleich. Die Norm des Hilbert-Raumes entspricht also der L2-Norm.

Erklärung:

{L^2}\left( {0,1} \right)-Norm ist definiert als:

\left\| {f\left( t \right)} \right\|_{{L^2}\left( {a,b} \right)}^2 = \int_a^b {\left| {f\left( t \right)} \right|dt}

Es ist nun gegeben:

F:H \to S,\quad F\left( x \right) = x\left( t \right) mit einem fixierten t.

\left| {F\left( x \right)} \right| \leq c{\left\| x \right\|_H},\quad \forall x \in H

Wir schreiben

\left| {F\left( x \right)} \right| = \left| {x\left( t \right)} \right| = \left| {x\left( t \right)-\underbrace {x\left( 0 \right)}_{ = 0}} \right| = \left| {\int_0^t {x^{\prime}\left( s \right)ds} } \right|

Wegen

{\left\langle {x^{\prime},1} \right\rangle _{{L^2}\left( {0,t} \right)}} = \int_0^t {x^{\prime}\left( s \right) \cdot 1ds}

ist

\left| {F\left( x \right)} \right| = \left| {\int_0^t {x^{\prime}\left( s \right)ds} } \right| = {\left\langle {x^{\prime},1} \right\rangle _{{L^2}\left( {0,t} \right)}}

mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt:

\left| {F\left( x \right)} \right| = \left| {\int_0^t {x^{\prime}\left( s \right)ds} } \right| = {\left\langle {x^{\prime},1} \right\rangle _{{L^2}\left( {0,t} \right)}} \leq {\left\| {x^{\prime}} \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}}\underbrace {{{\left\| 1 \right\|}_{{L^2}\left( {0,1} \right)}}}_{ = t \leq 1}

\leq \sqrt {\int_0^t {{{\left| {x^{\prime}\left( s \right)} \right|}^2}ds} } \leq \sqrt {\int_0^1 {{{\left| {x^{\prime}\left( s \right)} \right|}^2}ds} } = {\left\| {x^{\prime}} \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}} = {\left\| x \right\|_H}

\quad \Rightarrow \quad \left| {F\left( x \right)} \right| \leq {\left\| x \right\|_H}

Also ist F beschränkt.

ii

Wir suchen eine Funktion {x_F}, so dass gilt:

F\left( x \right) = {\left\langle {x,{x_F}} \right\rangle _H},\quad \forall x \in H

wir betrachten nur den reellen Fall:

x\left( t \right) = F\left( x \right) = {\left\langle {x,{x_F}} \right\rangle _H} = \int_0^1 {x^{\prime}\left( s \right){x_F}^{\prime}\left( s \right)ds}

Wir setzen t = \frac{1} {2} (als Beispiel für beliebiges t)

x\left( {\frac{1} {2}} \right)-\underbrace {x\left( 0 \right)}_{ = 0} = \int_0^{\frac{1} {2}} {x^{\prime}\left( s \right)ds}

Die Ableitung der gesuchten Funktion ist:

{x_F}^{\prime}\left( s \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\quad auf\left[ {0,\frac{1} {2}} \right]} \\ {0\quad auf\left[ {\frac{1} {2},1} \right]} \\ \end{array} } \right.

Die Funktion ist stetig, die Ableitung ist unstetig.

Sie lautet:

{x_F}\left( s \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {s\quad auf\left[ {0,\frac{1} {2}} \right]} \\ {\frac{1} {2}\quad auf\left[ {\frac{1} {2},1} \right]} \\ \end{array} } \right.

Im allgemeinen Fall gilt:

{x_F}\left( s \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {s\quad auf\left[ {0,t} \right]} \\ {t\quad auf\left[ {t,1} \right]} \\ \end{array} } \right.

Wir bestimmen nun die Norm {\left\| F \right\|_{{H^*}}}. Diese zu finden, ist suizidal schwierig, daher suchen wir stett dessen die Norm {\left\| {{x_F}} \right\|_H} = {\left\| F \right\|_{{H^*}}}.

Es gilt

\left\| {{x_F}} \right\|_H^2 = \left\| {{x_F}^{\prime}} \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}^2 = \int_0^1 {{x_F}^{\prime}{{\left( s \right)}^2}ds} = \int_0^t {1ds} +\int_t^1 {0ds} = t

Die H-Norm ist die L2-Norm der Ableitung der Funktion.