U04.3 – Maximum-Likelihood-Schätzer

 

(aus DVP Informatik, Frühjahr 06)

Seien \Psi  = \left\{ {0,1,2,3} \right\}, \Theta  = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\} und für jedes \vartheta  \in \Theta sei die
Wahrscheinlichkeitsverteilung w_\vartheta auf \Psi gegeben durch ihre W-Funktion

f_\vartheta  \left( x \right) = \frac{1} {{10}}\left( {\begin{array}{*{20}c}    \vartheta   \\    x  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}    {5-\vartheta }  \\    {3-x}  \\   \end{array} } \right)\quad ,\quad x \in \Psi

Sei g:\Psi  \to \Theta der Maximum-Likelihood-Schätzer für \vartheta.

Zeigen Sie: g(0) = 0 und g(3) = 5.

Lösung

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt es sich um eine Hypergeometrische Verteilung:

w_\vartheta   = Hyp\left( {3,\vartheta ,5} \right)

Das entspricht dem Ziehen von 3 Kugeln, von denen x weiß sind, aus einer Urne mit 5 Kugeln, in der sich \vartheta weiße befinden.

Die Funktion g ist uns zwar an sich unbekannt, wir können jedoch anhand der folgenden Tabelle genügend Schlüsse ziehen, um die Behauptungen zu beweisen. Dazu tragen wir die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion in Abhängigkeit von \vartheta ein.

\begin{array}{*{20}c}    \vartheta  &\vline &  0 &\vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  3 &\vline &  4 &\vline &  5  \\ \hline    {f_\vartheta  \left( 0 \right)} &\vline &  1 &\vline &  {0.4} &\vline &  {0.1} &\vline &  0 &\vline &  0 &\vline &  0  \\ \hline    {f_\vartheta  \left( 3 \right)} &\vline &  0 &\vline &  0 &\vline &  0 &\vline &  {0.1} &\vline &  {0.4} &\vline &  1  \\   \end{array}

Da g ein Maximum-Likelihood-Schätzer für \vartheta, also für das \vartheta mit der maximalen Wahrscheinlichkeit für f ist gilt:

g\left( 0 \right) = 0 und g\left( 3 \right) = 5

denn dort sind die Wahrscheinlichkeiten für f maximal.

\mathcal{J}\mathcal{K}