U04.3 – Maximum-Likelihood-Schätzer

(aus DVP Informatik, Frühjahr 06)

Seien $\Psi = \left\{ {0,1,2,3} \right\}$ , $\Theta = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}$ und für jedes $\vartheta \in \Theta$ sei die
Wahrscheinlichkeitsverteilung $w_\vartheta$ auf $\Psi$ gegeben durch ihre W-Funktion

$f_\vartheta \left( x \right) = \frac{1} {{10}}\left( {\begin{array}{*{20}c} \vartheta \\ x \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {5-\vartheta } \\ {3-x} \\ \end{array} } \right)\quad ,\quad x \in \Psi$

Sei $g:\Psi \to \Theta$ der Maximum-Likelihood-Schätzer für $\vartheta$ .

Zeigen Sie: g(0) = 0 und g(3) = 5.

Lösung

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt es sich um eine Hypergeometrische Verteilung:

$w_\vartheta = Hyp\left( {3,\vartheta ,5} \right)$

Das entspricht dem Ziehen von 3 Kugeln, von denen x weiß sind, aus einer Urne mit 5 Kugeln, in der sich $\vartheta$ weiße befinden.

Die Funktion g ist uns zwar an sich unbekannt, wir können jedoch anhand der folgenden Tabelle genügend Schlüsse ziehen, um die Behauptungen zu beweisen. Dazu tragen wir die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion in Abhängigkeit von $\vartheta$ ein.

$\begin{array}{*{20}c} \vartheta &\vline & 0 &\vline & 1 &\vline & 2 &\vline & 3 &\vline & 4 &\vline & 5 \\ \hline {f_\vartheta \left( 0 \right)} &\vline & 1 &\vline & {0.4} &\vline & {0.1} &\vline & 0 &\vline & 0 &\vline & 0 \\ \hline {f_\vartheta \left( 3 \right)} &\vline & 0 &\vline & 0 &\vline & 0 &\vline & {0.1} &\vline & {0.4} &\vline & 1 \\ \end{array}$