U04.4 – Maximum-Likelihood und Erwartungstreue

Es liegt das folgende statistische Modell vor: Stichprobenraum <br />
\Psi  = \mathbb{N}_0  = \left\{ {0,1,2, \ldots } \right\}<br />
,
Parameterbereich <br />
\Theta  = \left\langle {0,1} \right\rangle  = \left] {0,1} \right[<br />
, für <br />
\vartheta  \in \Theta<br />
sei <br />
w_\vartheta<br />
die durch die W-Funktion

<br />
f_\vartheta  \left( x \right) = \left( {x+1} \right)\left( {1-\vartheta } \right)^x \vartheta ^2 \quad ,\quad x \in \mathbb{N}_0<br />

bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <br />
\Psi<br />
.

a) Weisen Sie nach, das <br />
g:\Psi  \to \mathbb{R}<br />
gemäß <br />
g\left( x \right): = \frac{2}<br />
{{2+x}},\quad x \in \Psi<br />
die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den unbekannten Parameter <br />
\vartheta<br />
ist.

b) Zeigen Sie, das <br />
h:\Psi  \to \mathbb{R}<br />
gemäß <br />
h\left( x \right): = \frac{1}<br />
{{1+x}},\quad x \in \Psi<br />
eine erwartungstreue
Schätzfunktion für <br />
\vartheta<br />
ist.

c) Zeigen Sie, dass h(0) = g(0) und h(x) < g(x) für alle x = 1, 2, 3, ..., und schließen Sie
daraus, dass <br />
E_\vartheta  \left( g \right) > \vartheta<br />
für alle <br />
\vartheta  \in \Theta<br />
ist.

Hinweis zu a): Log-Likelihood maximieren!

Lösung

a)

<br />
g\left( x \right): = \frac{2}<br />
{{2+x}}<br />

</p>
<p>  \mathcal{L}\left( {x,\vartheta } \right): = \ln L\left( {x,\vartheta } \right) = \ln f_\vartheta  \left( x \right) = \ln \left[ {\left( {x+1} \right)\left( {1-\vartheta } \right)^x \vartheta ^2 } \right]<br />

<br />
   \Rightarrow \quad \mathcal{L}\left( {x,\vartheta } \right) = \ln \left( {x+1} \right)+x\ln \left( {1-\vartheta } \right)+2\ln \vartheta<br />

Da wir die Wahrscheinlichkeit <br />
\vartheta<br />
maximieren (also das Maximum finden) wollen bilden wir die Ableitung nach <br />
\vartheta<br />
und setzen diese = 0.

</p>
<p>  \mathcal{L}\:^\prime  \left( {x,\vartheta } \right) = -\frac{x}<br />
{{1-\vartheta }}+\frac{2}<br />
{\vartheta } = 0<br />

<br />
  \frac{x}<br />
{{1-\vartheta }} = \frac{2}<br />
{\vartheta }<br />

<br />
  \vartheta x = 2-2\vartheta<br />

<br />
  \vartheta \left( {x+2} \right) = 2<br />

<br />
  \vartheta  = \frac{2}<br />
{{x+2}}<br />

<br />
   \Rightarrow \quad \frac{2}<br />
{{x+2}} = g\left( x \right) = Maximum-Likelihood<br />

b)

<br />
h\left( x \right): = \frac{1}<br />
{{1+x}},\quad x \in \Psi<br />

Erinnerung:

Ein Schätzer <br />
g(X)<br />
heißt erwartungstreu für ein Funktional <br />
\gamma (\vartheta )<br />
, wenn gilt:

<br />
E_\vartheta  [g(X)] = \gamma (\vartheta )\quad \forall \vartheta  \in \Theta<br />

.

Erinnerung:
Für den Erwartungswert im diskreten Fall gilt: <br />
E\left( {g\left( x \right)} \right) = \sum\limits_{x \in T} {g\left( x \right)f\left( x \right)}<br />

<br />
E_\vartheta  [h(x)] = \sum\limits_{x \in \Psi } {h\left( x \right)f\left( x \right)}  = \sum\limits_{x = 0}^\infty  {\frac{1}<br />
{{1+x}}\left( {x+1} \right)\left( {1-\vartheta } \right)^x \vartheta ^2 }  = \vartheta ^2 \sum\limits_{x = 0}^\infty  {\left( {1-\vartheta } \right)^x }<br />

wegen <br />
\vartheta  \in \Theta  = \left\langle {0,1} \right\rangle<br />
handelt es sich hierbei um eine geometrische Reihe

Erinnerung:

Die geometrische Reihe <br />
\sum\nolimits_n {x^n }<br />
konvergiert auf ]-1,1[ bekanntlich punktweise gegen <br />
\frac{1}<br />
{{1-x}}<br />
.

Damit gilt also:

</p>
<p>  E_\vartheta  [h(x)] = \vartheta ^2 \sum\limits_{x = 0}^\infty  {\left( {1-\vartheta } \right)^x }  = \vartheta ^2 \frac{1}<br />
{{1-\left( {1-\vartheta } \right)}} = \vartheta<br />

<br />
   \Rightarrow \quad E_\vartheta  [h(x)] = \vartheta<br />

Damit ist h also eine erwartungstreue Schätzfunktion für <br />
\vartheta<br />
.

q.e.d.

c)

Die erste Behauptung gilt, da:

<br />
h\left( 0 \right) = \frac{1}<br />
{{1+0}} = 1 = \frac{2}<br />
{{2+0}} = g\left( 0 \right)<br />

Auch die zweite Behauptung gilt, da:

</p>
<p>  h\left( x \right) < g\left( x \right)<br />

<br />
   \Rightarrow \quad \frac{1}<br />
{{1+x}} < \frac{2}<br />
{{2+x}}<br />

<br />
   \Rightarrow \quad 2+x < 2+2x<br />

<br />
   \Rightarrow \quad x < 2x<br />

<br />
   \Rightarrow \quad \underline{\underline {0 < x}}<br />

Wenn gilt g > h, dann wird auch die Summe und somit der Erwartungswert größer:

<br />
 \Rightarrow \quad E_\vartheta  \left( g \right) > E_\vartheta  \left( h \right) = \vartheta<br />

<br />
\mathcal{J}\mathcal{K}<br />

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen