U04 – Äquivalenz eines elektrischen und mechanischen Systems

 

Untersuchung der Äquivalenz eines mechanischen Systems (Ersatzschaltbild einer Fahrzeug-Radaufhängung) zu einem elektrischen Netzwerk.

Mechanisches System A:

mechanisches-system-differentialgleichung

Elektrisches System B:

elektrisches-system-differentialgleichung

  1. Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung und Darstellen des mathematischen Modells für A in der Form

    \dot x = Ax+bu,\quad y = {c^T}x,\quad {x^T} = \left( {{s_1},{{\dot s}_1},{s_2},{{\dot s}_2}} \right),\quad u = {s_0},\quad y = {s_2}

    (Die s-Koordinaten beginnen jeweils in der Ruhelage der Massen bei vorgespannten Federn.)

  2. Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung und Darstellen des mathematischen Modells für B in der Form

    \dot x = Ax+bu,\quad y = {c^T}x,\quad {x^T} = \left( {{u_1},{i_1},{u_2},{i_2}} \right),\quad u = {u_e},\quad y = {u_2}

  3. Für das System A sind die neuen Zustandsgrößen {x^T} = \left( {{s_1},{m_1}{{\dot s}_1},{s_2},{m_2}{{\dot s}_2}} \right) einzuführen.
  4. Durch Vergleich von x,A,b in b) und c) sind alle äquivalenten Größen beim elektrischen und mechanischen System einander zuzuordnen.
  5. Zeichnen des gemeinsamen Blockschaltbildes für die Systeme A und B

Lösung

a )

Freischnitt des ersten Teilsystems:

freischnitt

Freischnitt des zweiten Teilsystems:

freischnitt

{F_{C2}} = {c_2}\left( {{s_1}-{s_2}} \right)

{F_d} = d\left( {{{\dot s}_1}-{{\dot s}_2}} \right)

{F_{C1}} = {c_1}\left( {{s_0}-{s_1}} \right)

Schwerpunktsatz:

{m_2}{{\ddot s}_2} = {F_{C2}}+{F_d} = {c_2}{s_1}-{c_2}{s_2}+d{{\dot s}_1}-d{{\dot s}_2}

{m_1}{{\ddot s}_1} = {F_{C1}}-\left( {{F_{C2}}+{F_d}} \right) = {c_1}{s_0}-{c_1}{s_1}-\left( {{c_2}{s_1}-{c_2}{s_2}+d{{\dot s}_1}-d{{\dot s}_2}} \right)

Es gelten die Zusammenhänge:

{x_1} = {s_1}

{{\dot x}_1} = {{\dot s}_1} = {x_2}

{x_3} = {s_2}

{{\dot x}_3} = {{\dot s}_2} = {x_4}

Gleichung für die Bewegung der ersten Masse:

{\ddot x_1} = {\ddot s_1} = {\dot x_2} = -\frac{{{c_1}+{c_2}}}{{{m_1}}}{x_1}-\frac{d}{{{m_1}}}{x_2}+\frac{{{c_2}}}{{{m_1}}}{x_3}+\frac{d}{{{m_1}}}{x_4}+\frac{{{c_1}}}{{{m_1}}}u

Gleichung für die Bewegung der zweiten Masse:

{\ddot x_3} = {\ddot s_2} = {\dot x_4} = \frac{{{c_2}}}{{{m_2}}}{x_1}+\frac{d}{{{m_2}}}{x_2}-\frac{{{c_2}}}{{{m_2}}}{x_3}-\frac{d}{{{m_2}}}{x_4}

Wir definieren nun den Zustandsvektor:

x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \\ {{x_4}} \\ \end{array} } \right)

\Rightarrow \quad \dot x = \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 0 & 0 \\ {-\frac{{{c_1}+{c_2}}}{{{m_1}}}} & {-\frac{d}{{{m_1}}}} & {\frac{{{c_2}}}{{{m_1}}}} & {\frac{d}{{{m_1}}}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ {\frac{{{c_2}}}{{{m_2}}}} & {\frac{d}{{{m_2}}}} & {-\frac{{{c_2}}}{{{m_2}}}} & {-\frac{d}{{{m_2}}}} \\ \end{array} } \right)}_A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \\ {{x_4}} \\ \end{array} } \right)+\underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\frac{{{c_1}}}{{{m_1}}}} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)}_b \cdot u

Nun wollen wir schon auf den Aufgabenteil c) vorgreifen.

c )

Wir definieren gemäß den neuen Vorgaben (siehe Aufgabenstellung):

{x_1} = {s_1}\quad \Rightarrow \quad {{\dot x}_1} = {{\dot s}_1} = \frac{1}{{{m_1}}}{x_2}

{x_2} = {m_1}{{\dot s}_1}\quad \Rightarrow \quad {{\dot x}_2} = {m_1}{{\ddot s}_1}

{x_3} = {x_2}\quad \Rightarrow \quad {{\dot x}_3} = {{\dot x}_2} = \frac{1}{{{m_2}}}{x_4}

{x_4} = {m_2}{{\dot s}_2}\quad \Rightarrow \quad {{\dot x}_4} = {m_2}{{\ddot s}_2}

Der neue Zustandsvektor sieht wie folgt aus:

x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \\ {{x_4}} \\ \end{array} } \right)

\Rightarrow \quad \dot x = \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {\frac{1}{{{m_1}}}} & 0 & 0 \\ {-\left( {{c_1}+{c_2}} \right)} & {-\frac{d}{{{m_1}}}} & {{c_2}} & {\frac{d}{{{m_2}}}} \\ 0 & 0 & 0 & {\frac{1}{{{m_2}}}} \\ {{c_2}} & {\frac{d}{{{m_1}}}} & {-{c_2}} & {-\frac{d}{{{m_2}}}} \\ \end{array} } \right)}_A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \\ {{x_4}} \\ \end{array} } \right)+\underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{c_1}} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)}_b \cdot u

b )

maschenregel-knotenregel-stromkreis-kirchhoff

Das Vorgehen entspricht der Stromkreisanalyse aus der Elektrotechnik, wie sie in diesem Artikel ausführlich erklärt wird.

Es gelten die Beziehungen:

\left( 1 \right)\quad \quad {u_R} = R{i_R}

\left( 2 \right)\quad \quad {u_{L1}} = {L_1}{{\dot i}_{L1}}

\left( 3 \right)\quad \quad {u_{L2}} = {L_2}{{\dot i}_{L2}}

\left( 4 \right)\quad \quad {i_1} = {C_1}{{\dot u}_1}

\left( 5 \right)\quad \quad {i_2} = {C_2}{{\dot u}_2}

Wir stellen die Maschengleichungen auf:

1. Masche: \left( 6 \right)\quad \quad {u_e} = {u_{L1}}+{u_1}
2. Masche: \left( 7 \right)\quad \quad {u_1} = {u_R}+{u_2}
3. Masche: \left( 8 \right)\quad \quad {u_1} = {u_{L2}}+{u_2}

Außerdem brauchen wir die Knotengleichungen:

1. Knoten: \left( 9 \right)\quad \quad {i_{L1}} = {i_1}+{i_{L2}}+{i_R}
2. Knoten: \left( {10} \right)\quad \quad {i_2} = {i_R}+{i_{L2}}

Daraus erhalten wir den Zustandsvektor:

x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = {u_1}} \\ {{x_2} = {i_1}} \\ {{x_3} = {u_2}} \\ {{x_4} = {i_2}} \\ \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad \dot x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1} = {{\dot u}_1}} \\ {{{\dot x}_2} = {{\dot i}_1}} \\ {{x_3} = {{\dot u}_2}} \\ {{x_4} = {{\dot i}_2}} \\ \end{array} } \right) \\  {{\dot x}_1} = {{\dot u}_1} = \frac{1}{{{C_1}}}{i_1} = \frac{1}{{{C_1}}}{x_2} \\  {{\dot x}_2} = {{\dot i}_1} = {{\dot i}_{L1}}-{{\dot i}_{L2}}-{{\dot i}_R} = \frac{1}{{{L_1}}}{u_{L1}}-\frac{1}{{{L_2}}}{u_{L2}}-\frac{1}{R}{{\dot u}_R} = \frac{1}{{{L_1}}}\left( {{u_e}-{u_1}} \right)-\frac{1}{{{L_2}}}\left( {{u_1}-{u_2}} \right)-\frac{1}{R}\left( {{{\dot u}_1}-{{\dot u}_2}} \right) \\  = \frac{1}{{{L_1}}}\left( {{u_e}-{u_1}} \right)-\frac{1}{{{L_2}}}\left( {{u_1}-{u_2}} \right)-\frac{1}{{R{C_1}}}{i_1}+\frac{1}{{R{C_2}}}{i_2} \\  = \frac{1}{u}\left( {u-{x_1}} \right)-\frac{1}{{{L_2}}}\left( {{x_1}-{x_3}} \right)-\frac{1}{{R{C_1}}}{x_2}+\frac{1}{{R{C_2}}}{x_4} \\  {{\dot x}_3} = {{\dot u}_2} = \frac{1}{{{C_2}}}{i_2} = \frac{1}{{{C_2}}}{x_4} \\  {{\dot x}_4} = {{\dot i}_2} = {{\dot i}_R}+{{\dot i}_{L2}} = \frac{1}{R}\left( {{{\dot u}_1}-{{\dot u}_2}} \right)+\frac{1}{{{L_2}}}\left( {{u_1}-{u_2}} \right) = \frac{1}{{R{C_1}}}{i_1}-\frac{1}{{R{C_2}}}{i_2}+\frac{1}{{{L_2}}}\left( {{u_1}-{u_2}} \right) \\  = \frac{1}{{R{C_1}}}{x_2}-\frac{1}{{R{C_2}}}{x_4}+\frac{1}{{{L_2}}}\left( {{x_1}-{x_3}} \right) \\

Wir schreiben als Matrix:

\dot x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}} \\ {{{\dot x}_2}} \\ {{{\dot x}_3}} \\ {{{\dot x}_4}} \\ \end{array} } \right)

= \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {\frac{1}{{{C_1}}}} & 0 & 0 \\ {-\left( {\frac{1}{{{L_1}}}+\frac{1}{{{L_2}}}} \right)} & {-\frac{1}{{R{C_1}}}} & {\frac{1}{{{L_2}}}} & {\frac{1}{{R{C_2}}}} \\ 0 & 0 & 0 & {\frac{1}{{{C_2}}}} \\ {\frac{1}{{{L_2}}}} & {\frac{1}{{R{C_1}}}} & {-\frac{1}{{{L_2}}}} & {-\frac{1}{{R{C_2}}}} \\ \end{array} } \right)}_A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \\ {{x_4}} \\ \end{array} } \right)+\underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\frac{1}{{{L_1}}}} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)}_b \cdot u

d )

Die folgenden Matrixelemente entsprechen einander:

a_{12}^A = \frac{1}{{{m_1}}},\quad a_{12}^B = \frac{1}{{{C_1}}}\quad \Rightarrow \quad m \overset{\wedge}{=}C

a_{21}^A = -\left( {{c_1}+{c_2}} \right),\quad a_{21}^B = -\left( {\frac{1}{{{L_1}}}+\frac{1}{{{L_2}}}} \right)\quad \Rightarrow \quad c \overset{\wedge}{=}\frac{1}{L}

a_{22}^A = -\frac{d}{{{m_1}}},\quad a_{22}^B = -\frac{1}{{R{C_1}}}\quad \Rightarrow \quad d \overset{\wedge}{=}\frac{1}{R}

e )

Die Matrix und der Vektor enthalten einige Nullelemente:

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {{a_{13}}} & {{a_{14}}} \\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {{a_{23}}} & {{a_{24}}} \\ {{a_{31}}} & {{a_{32}}} & {{a_{33}}} & {{a_{34}}} \\ {{a_{41}}} & {{a_{42}}} & {{a_{43}}} & {{a_{44}}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {{a_{12}}} & 0 & 0 \\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {{a_{23}}} & {{a_{24}}} \\ 0 & 0 & 0 & {{a_{34}}} \\ {{a_{41}}} & {{a_{42}}} & {{a_{43}}} & {{a_{44}}} \\ \end{array} } \right),\quad b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{b_2}} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

Es ergibt sich das Blockschaltbild:

blockschaltbild-stromkreis-schwingung