U04 – Widerstandspolare des Eurofighters

Die Polare eines Flugzeuges beschreibt die Abhängigkeit des Widerstandes vom jeweiligen Flugzustand. Sie zeigt in Abhängigkeit vom Auftriebsbeiwert den Widerstand (Nullwiderstand und induzierten Widerstand), und stellt damit eine wichtige Darstellungsform zur Bewertung der Aerodynamik eines Flugzeugs dar. Zudem wird sie oftmals im Rahmen von Leistungsrechnungen als Eingabe der Aerodynamik benötigt.

Ermitteln Sie die Polare des Eurofighters für $Ma = 0,7$ ohne den „Polar-Break“ zu berücksichtigen und schätzen Sie die Saugkraft ab! Welche Werte kann der Oswaldfaktor (efficiency factor) annehmen?
Wie sieht die Polare für $Ma = 0,7$ mit „Polar-Break“ aus?
Berücksichtigen Sie den Einfluss der Profilbeiwerte.
Berechnen Sie die Polare im Überschall für $Ma = 1,8$ .
Bestimmen Sie die maximale aerodynamische Güte bei $Ma = 0,7$ , den zugehörigen Auftriebsbeiwert und die zugehörige Flächenbelastung! Um welchen Faktor muss der Schub bei gleicher Flächenbelastung und $Ma = 1,8$ höher sein?

Technische Daten Eurofighter:

Spannweite: $b = 10,95m$

Flügelfläche: $S = 55{m^2}$

Nullwiderstandsbeiwert (US): ${C_{W0}} = 0,015$

Profil: $NACA\:64\:A\:004.6\:\bmod$

Maximaler Auftriebsbeiwert ( $Ma = 0,7$ ): ${C_{A,{max} }} = 0,8$

Lösung

1) Polare, Saugkraft, Oswaldfaktor

Für den Widerstandsbeiwert gilt:

$\boxed{{C_W} = {C_{W0}}+{C_{Wi}}} = 0,015+k \cdot C_A^2$

(vgl. Ü3: dort war C_w0 = 0,0112)

lfs-u04-k-faktor

Zum k-Faktor:

Der k-Faktor des Flugzeugs zeigt bei höherem ${C_A}$ eine Abhängigkeit vom Auftriebsbeiwert. Bei dünnen Profilen bildet sich an der Vorderkante eine Ablöseblase. Gleichzeitig nimmt der Formwiderstand zu (auftriebsabhängiger Formwiderstand). Dies führt zu einer Reduzierung der Nettosaugkraft. Der k-Faktor geht daher mit steigendem ${C_A}$ bis auf den Wert ${k_0}$ zurück.

Der Beginn des Einbruchs wird als „polar break“ bezeichnet. Dieser ist abhängig von der Umströmung der Vorderkante. Wichtigster Einflussparameter ist hier der Nasenradius, der bei NACA-Profilen direkt an die relative Dicke gekoppelt ist.

Für erste Abschätzungen kann der Verlauf nach dem „polar break“ durch eine Geradengleichung angenähert werden.

Für den k-Faktor gilt:

${k_{100}} = \frac{1}{{\pi \Lambda }}$ (elliptische Auftriebsverteilung; runde Vorderkante)

(Bei einer scharfen Vorderkante funktioniert das ganze nicht.)

Wir gehen von voll ausgeprägter Saugkraft aus $\Rightarrow \quad e = 1$

${k_{min} } = \frac{1}{{\pi \Lambda e}}$

e ist der so genannte Oswaldfaktor. Der minimal induzierte Widerstand ergibt sich laut Prandtl’scher Traglinientheorie für eine elliptische Auftriebsverteilung. Jegliche Abweichung von dieser Verteilung bewirkt eine Erhöhung des induzierten Widerstandes. Um diese berücksichtigen zu können, wird der nach Oswald benannte efficiency faktor e eingeführt.

Die Näherungsformel für einen gepfeilten Flügel lautet dabei:

$\boxed{e \approx 4,61\left( {1-0,045 \cdot {\Lambda ^{0,68}}} \right) \cdot {{\left( {\cos {\varphi _0}} \right)}^{0,15}}-3,1} \approx 0,84$

Aus den vorherigen Übungen bekommen wir:

$\Lambda = 2,2$

${\varphi _0} = 53^\circ$

$\Rightarrow \quad {k_{min} } = 0,172$

$\Rightarrow \quad {C_w} = 0,015+0,172 \cdot C_A^2$

$\left( {Ma = 0,7} \right)$

lfs-u04-nullwiderstand

$\boxed{{k_0} = \frac{1}{{{C_{A\alpha }}}}}$

Mit der Formel nach Polhamus folgt:

$\boxed{{C_{A\alpha }} = \frac{{2\pi \Lambda }}{{2+\sqrt {{\Lambda ^2}\left( {\frac{{{\beta ^2}+ta{n^2}{\varphi _{\delta ,{max} }}}}{{{K^2}}}} \right)+4} }}} = 2,735$

$\beta = \sqrt {1-M{a^2}} = 0,714$

$K = \frac{{{C_{a\alpha }} \cdot \beta }}{{2\pi }} \approx 1+0,75 \cdot \delta = 1,0345$

$\delta = 0,046$ ; $\lambda = 0,176$ (siehe Übung 2)

${\varphi _{\delta ,{max} }} = {\varphi _{\chi = 0,4}} = \arctan \left[ {\tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot 0,4 \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}} \right] = 39,26^\circ$

$\Rightarrow \quad {k_0} = 0,366\quad \left[ {\left[ {0,34} \right]} \right]$

Damit bekommen wir für die Saugkraft:

$S\left( \% \right) = \frac{{{k_0}-k}}{{{k_0}-{k_{100}}}} = \frac{{0,34-0,172}}{{0,34-0,145}} = 87,78\:\%$

${e_{max} } = 1$

${k_0} = \frac{1}{{{c_{A\alpha }}}} = \frac{1}{{\pi \Lambda e}}\quad \Rightarrow \quad {e_{min} } = \frac{{{c_{A\alpha }}}}{{\pi \Lambda }} = 0,3957$

2) Mit Polarbreak

Polar break (PB): ab dort beginnt die Saugkraft an der Vorderkante stetig abzunehmen.

Am oberen Punkt der Kurve ist sie vollständig eingebrochen.

Es gilt:

$\boxed{{C_{A,PB}} \approx 6,5 \cdot \frac{d}{l}}$

Aus den vorherigen Übungen ist noch bekannt: $\frac{d}{l} = 0,046$

$\Rightarrow \quad {C_{A,PB}} = 0,3$

Unterhalb des Polarbreaks wäre $\Delta k = 0$

$\boxed{\Delta k\left( {{C_A} > {C_{PB}}} \right) = \frac{{{k_0}-\frac{1}{{\pi \Lambda e}}}}{{\underbrace {{C_{A,{max} }}-{C_{A,PB}}}_{Steigung}}}\left( {{C_A}-{C_{A,PB}}} \right)}$

$= \frac{{0,366-0,172}}{{0,8-0,3}}\left( {{c_A}-0,3} \right) = 0,388\left( {{c_A}-0,3} \right)$

lfs-u04-k-faktor

${C_{Wi}}\left( {0,3 < {C_A} < {C_{A,{max} }}} \right) = \underbrace {\left[ {{k_{\min} }+\Delta k} \right]}_k \cdot C_A^2$

$= \left[ {0,172+0,388\left( {{C_A}-0,3} \right)} \right] \cdot C_A^2 = 0,388 \cdot C_A^3+0,0556 \cdot C_A^2$

lfs-u04-symmetrisch-induzierte-polare

3) Berücksichtigung des Einflusses der Profilbeiwerte

lfs-u04-gesamtpolare

Im Falle der Berücksichtigung des Einflusses der Profilbeiwerte gilt die hier angegebene Formel.

4) Überschall

$Ma = 1,8$

$Ma > \boxed{M{a_{SVK}} = \frac{1}{{\cos {\varphi _0}}}} = 1,66$

Nach Ackeret gilt:

$k = {k_0} = \boxed{\frac{1}{{{c_{A\alpha }}}} = \frac{{\sqrt {M{a^2}-1} }}{4}} = 0,3742$

lfs-u04-nullwiderstand-b

Verhältnis: 2:1

${C_{W0}}\left( {Ma = 1,8} \right) \approx 2 \cdot {C_{W0}}\left( {Ma = 0,7} \right)$

${C_W} = {C_{W0}}+{C_{Wi}} = 0,03+0,3742 \cdot C_A^2$

5) Aerodynamische Güte, Auftriebsbeiwert, Flächenbelastung

$\underline{\underline {Ma = 0,7}}$

Für die Aerodynamische Güte gilt:

$\varepsilon = \frac{{{C_W}}}{{{C_A}}} = \frac{{{C_{W0}}+k \cdot C_A^2}}{{{C_A}}} = \frac{{{C_{W0}}}}{{{C_A}}}+k \cdot {C_A}$

$0\mathop = \limits^! \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {C_A}}} = -\frac{{{C_{W0}}}}{{C_A^{*2}}}+k\quad \Rightarrow \quad C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{W0}}}}{k}} = \sqrt {\frac{{0,015}}{{0,172}}} = \underline{\underline {0,295}} < {C_{A,PB}}$

$C_A^*$ ist am effizientesten für die maximale Reichweite.

Vorsicht: Manchmal wird auch der Kehrwert von $\varepsilon$ als Aerodynamische Güte bezeichnet.

${\varepsilon _{{min} \left( {Ma = 0,7} \right)}} = \frac{{{C_{W0}}+k \cdot C_A^{*2}}}{{C_A^*}} = \frac{{2 \cdot {C_{W0}} \cdot \sqrt k }}{{\sqrt {{C_{W0}}} }} = 2 \cdot \sqrt {{C_{W0}} \cdot k} = 2 \cdot \sqrt {0,015 \cdot 0,172} = \underline{\underline {0,102}}$

Für die Gleitzahl erhalten wir somit:

$\frac{{{C_A}}}{{{C_W}}} = 9,8$

Für die optimale Geschwindigkeit gilt:

$A = G\quad \Rightarrow \quad {V^*}$

lfs-u04-kraefte

$\frac{F}{G} = \frac{W}{A} = \underline{\underline {0,102}} \quad \left( {Ma = 0,7} \right)$

Nun der Vergleich mit der anderen Machzahl:

$\underline{\underline {Ma = 1,8}}$

$A = G$

$\frac{G}{S} = C_A^* \cdot \frac{\rho }{2} \cdot {V^2}\quad \Rightarrow \quad \frac{{2 \cdot G}}{{\rho {V^2}S}} = {C_A}$

$\frac{{2 \cdot G}}{{\rho S}} = const.\quad \Rightarrow \quad {C_A} = const \cdot \frac{1}{{{V^2}}}\quad \Rightarrow \quad {C_A} \cdot {V^2} = const\quad \Rightarrow \quad {C_A} \cdot M{a^2} = const$

$\Rightarrow \quad {C_A}\left( {Ma = 1,8} \right) = \underbrace {{C_A}\left( {Ma = 0,7} \right)}_{C_A^* = 0,295} \cdot \frac{{{{0,7}^2}}}{{{{1,8}^2}}} = 0,295 \cdot \frac{{{{0,7}^2}}}{{{{1,8}^2}}} = \underline{\underline {0,045}}$

${\varepsilon _{\left( {Ma = 1,8} \right)}} = \frac{{{C_{W0}}}}{{{C_A}}}+k \cdot {C_A} = \frac{{0,03}}{{0,045}}+0,3742 \cdot 0,045 = \underline{\underline {0,68}}$

$\Rightarrow \quad \frac{1}{\varepsilon } = 1,47$ Gleitzahl bei Ma = 1,8

Schubbedarf:

Es gilt:

$\frac{{{\varepsilon _{\left( {Ma = 1,8} \right)}}}}{{{\varepsilon _{\left( {Ma = 0,7} \right)}}}} = \frac{{0,68}}{{0,102}} = \underline{\underline {6,7}}$

Es werden für Ma = 1,8 also 670 % des Schubes für Ma = 0,7 benötigt.

$A = G = \underbrace {C_A^*}_{0,295} \cdot \frac{\rho }{2}{V^2} \cdot \underbrace S_{55\:{m^2}} = 20.000\:kg \cdot 9,81\frac{m}{{{s^2}}} = \underline{\underline {196.200\:N}}$

Wobei:

$\frac{\rho }{2}{V^2} = \frac{G}{{S \cdot C_A^*}} = 12.092\frac{{kg}}{{{s^2}m}}$

$\rho = 0,66\frac{{kg}}{{{m^3}}}$ (siehe Übung 2)

$V = 191.43\frac{m}{s}$

$\mathcal{J}\mathcal{K}$

4 Kommentare zu “U04 – Widerstandspolare des Eurofighters”

28. 06. 10 at 11:15 am

Moin, also bei der Aufgabe 2 is mir ein Fehler aufgefallen. Am Ende der Aufgabe wird der induzierte Widerstand zusammengefasst, jedoch der zweite Summand mit C_A^2 ist nicht korrekt.
MFG

29. 06. 10 at 11:09 am

Stimmt, hab’s korrigiert. Danke!

27. 07. 10 at 5:08 pm

Servus,

ich hätte auch eine frage. Wieso verwendest du im Polhamus bei der Berechnung von K die Formel “K=1+0,75*d/l”? So wie ich das verstanden habe, wir diese bei einem relativen Dicke von >5% verwendet. Laut NACA Bezweichnung haben wir hier aber 4,6% und damit müsste doch eigtl die Formel “K²=1+1,5*d/l” gelten?

27. 07. 10 at 5:22 pm

Servus!
Das kann gut sein. Da es sich jedoch bei

$K \approx 1 + 0,75\cdot\delta$

nur um eine Näherungsformel handelt, haben wir im Rahmen von Vorlesung und Übung keine andere (dickenabhängige) Formel für das K betrachtet.
MfG

Mathematical Engineering