U05.1 – Laplace-Transformation einer Differentialgleichung

 

Gegeben ist die folgende Differentialgleichung

\dddot y\left( t \right)+2 \cdot  \ddot y\left( t \right)+5 \cdot  \dot y\left( t \right)+4 \cdot  y\left( t \right) = 2 \cdot  u\left( t \right)
mit den Anfangswerten

y\left( {t = 0} \right) = {y_0}

\dot y\left( {t = 0} \right) = {{\dot y}_0}

\ddot y\left( {t = 0} \right) = {{\ddot y}_0}

a) Berechnen Sie die vollständige Laplace-Transformierte Y(s).

b) Gegeben ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung bei s1 = -1.
Berechnen Sie alle weiteren Lösungen und geben Sie die charakteristische Gleichung in
faktorisierter Form an.

c) Berechnen Sie die Sprungantwort h(t) des Systems {y_0} = {\dot y_0} = {\ddot y_0} = 0

d) Geben Sie die Systemantwort y(t) bei dem folgenden Eingang an.

Eingangsfunktion

Lösung

a)

Berechnen der vollständige Laplace-Transformierten:
Um die vorgegebene Gleichung zu transformieren, benötigen wir zunächst die Tabelle mit Definition und Eigenschaften der Laplace-Transformation:

definition-eigenschaften-laplace-transformation

Damit folgt für unsere Gleichung mit dem Differentiationsansatz (Nr. 6):

\left[ {\dddot y\left( t \right)} \right]+2 \cdot  \left[ {\ddot y\left( t \right)} \right]+5 \cdot  \left[ {\dot y\left( t \right)} \right]+4 \cdot  \left[ {y\left( t \right)} \right] = 2 \cdot  \left[ {u\left( t \right)} \right]

y\left( t \right) \to Y\left( s \right)

\left[ {{s^3} \cdot  Y\left( s \right)-\sum\limits_{i = 0}^{3-1} {{s^i} \cdot  {y^{\left( {3-i-1} \right)}}\left( 0 \right)} } \right]+2 \cdot  \left[ {{s^2} \cdot  Y\left( s \right)-\sum\limits_{i = 0}^1 {{s^i} \cdot  {y^{\left( {1-i} \right)}}\left( 0 \right)} } \right]+

+5 \cdot  \left[ {s \cdot  Y\left( s \right)-y\left( 0 \right)} \right]+4 \cdot  Y\left( s \right) = 2 \cdot  U\left( s \right)

\Downarrow

\left[ {{s^3} \cdot  Y\left( s \right)-{{\ddot y}_0}-s \cdot  {{\dot y}_0}-{s^2} \cdot  {y_0}} \right]+2 \cdot  \left[ {{s^2} \cdot  Y\left( s \right)-{{\dot y}_0}-s \cdot  {y_0}} \right]+

+5 \cdot  \left[ {s \cdot  Y\left( s \right)-{y_0}} \right]+4 \cdot  Y\left( s \right) = 2 \cdot  U\left( s \right)

\Downarrow

Y\left( s \right) \cdot  \left( {{s^3}+2{s^2}+5s+4} \right)-{{\ddot y}_0}-s \cdot  {{\dot y}_0}-{s^2} \cdot  {y_0}-2 \cdot  {{\dot y}_0}

-2 \cdot  s \cdot  {y_0}-5 \cdot  {y_0} = 2 \cdot  U\left( s \right)

\Downarrow

Y\left( s \right) = \frac{{2U\left( s \right)+{{\ddot y}_0}+s{{\dot y}_0}+{s^2}{y_0}+2{{\dot y}_0}+2s{y_0}+5{y_0}}} {{\left( {{s^3}+2{s^2}+5s+4} \right)}}

\underline{\underline {Y\left( s \right) = \frac{2} {{{s^3}+2{s^2}+5s+4}}U\left( s \right)+\frac{{{y_0}{s^2}+\left( {2{y_0}+{{\dot y}_0}} \right)s+5{y_0}+2{{\dot y}_0}+{{\ddot y}_0}}} {{{s^3}+2{s^2}+5s+4}}}}

Die Transformierte lässt sich also aufteilen in eine Übertragungsfunktion

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}} {{U\left( s \right)}} = \frac{2} {{{s^3}+2{s^2}+5s+4}}

und die Bewegung aufgrund der Anfangsbedingung

\frac{{{y_0}{s^2}+\left( {2{y_0}+{{\dot y}_0}} \right)s+5{y_0}+2{{\dot y}_0}+\ddot y}} {{{s^3}+2{s^2}+5s+4}}

b)

Der Nenner der Transformierten ist die so genannte Charakteristische Gleichung oder das so genannte charakteristische Polynom. Zum finden der Lösungen setzen wir dieses gleich 0:

c\left( s \right) = {s^3}+2{s^2}+5s+4 = 0

Da wir in der Aufgabenstellung bereits eine Lösung gegeben haben, bekommen wir weitere z.B. durch Polynomdivision. Diese wollen wir an dieser Stelle mit dem Horner-Schema ausführen:

\begin{array}{*{20}{c}}    {} &\vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  5 &\vline &  4  \\ \hline    {-1} &\vline &  0 &\vline &  {-1} &\vline &  {-1} &\vline &  {-4}  \\ \hline    {} &\vline &  1 &\vline &  1 &\vline &  4 &\vline &  0  \\   \end{array}

\Rightarrow \quad 1 \cdot  {s^2}+1 \cdot  s+4

Dies ersetzt das aufwändigere Verfahren:

{s^3}+2{s^2}+5s+4:\left( {s+1} \right) = {s^2}+s+4

Für die weiteren Nullstellen folgt:

{s_{2,3}} = -\frac{1} {2} \pm \sqrt {\frac{1} {4}-4}  = \underbrace {-\frac{1} {2}}_\delta  \pm j\underbrace {\sqrt {\frac{{15}} {4}} }_{{\omega _e}}

Damit können wir nun die charakteristische Gleichung in faktorisierter Form angeben:

c\left( s \right) = \left( {s-{s_1}} \right)\left( {s-{s_2}} \right)\left( {s-{s_3}} \right) = \left( {s+1} \right)\left( {s+\delta +j{\omega _e}} \right)\left( {s+\delta -j{\omega _e}} \right) = \left( {s-{s_1}} \right)\left( {{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^2} \right)

c)

Um die Sprungantwort zu berechnen setzen wir als Eingangsfunktion die Sprungfunktion ein:

u\left( t \right) = 1\left( t \right)

bzw. mit einem Blick in die Korrespondenztabelle für Laplace-Transformationen

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

folgt aus Nr. 1:

U\left( s \right) = \frac{1} {s}

Zusammen mit der Bedingung {y_0} = {\dot y_0} = {\ddot y_0} = 0 erhalten wir also durch Einsetzen:

Y\left( s \right) = \frac{2} {{{s^3}+2{s^2}+5s+4}} \cdot  \frac{1} {s} = \frac{2} {{\left( {s+1} \right)\left( {s+\delta +j{\omega _e}} \right)\left( {s+\delta -j{\omega _e}} \right)s}}

Um daraus nun die Sprungantwort als Zeitfunktion berechnen zu können, müssen wir diese Formel so umstellen, dass sie mit Hilfe der Korrespondenzen aus der „Korrespondenztabelle für Laplace-Transformationen“ wieder zurücktransformiert werden kann.
Der erste Schritt dazu ist nun eine Partialbruchzerlegung. Dabei gilt die komplexen Zahlen, dass man statt

\frac{{{a_1}}} {{{{(x-{z_i})}^j}}}\quad und\quad \frac{{{a_2}}} {{{{(x-\overline {{z_i}} )}^j}}}

auch folgenden Term verwenden kann:

\frac{{b+cx}} {{{{({x^2}+px+q)}^j}}} wobei {x^2}+px+q = (x-{z_i})\cdot (x-\overline {{z_i}} )

Dies erspart einem das Rechnen im Komplexen.
Damit erhalten wir nun:

Y\left( s \right) = \frac{2} {{\left( {s+1} \right)\left( {s+\delta +j{\omega _e}} \right)\left( {s+\delta -j{\omega _e}} \right)s}} = H\left( s \right)

H\left( s \right) = \frac{A} {s}+\frac{B} {{\left( {s+1} \right)}}+\frac{C} {{\left( {s+\delta +j{\omega _e}} \right)}}+\frac{D} {{\left( {s+\delta -j{\omega _e}} \right)}}

= \frac{A} {s}+\frac{B} {{\left( {s+1} \right)}}+\frac{{Cs+D}} {{\left( {s+\delta +j{\omega _e}} \right)\left( {s+\delta -j{\omega _e}} \right)}}

= \frac{A} {s}+\frac{B} {{\left( {s+1} \right)}}+\frac{{Cs+D}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^2}}

Bei einem Blick in die Korrespondenztabelle stellen wir fest, dass die Terme der Gleichung schon fast den Korrespondenzen Nr. 1, 3 und 30 bzw. 31 entsprechen.
Um nun auf möglichst einfache Weise die Koeffizienten A, B, C und D zu bestimmen, multiplizieren wir die Gleichung mit ihren Nennern:

H\left( s \right) = \frac{A} {s}+\frac{B} {{\left( {s+1} \right)}}+\frac{{Cs+D}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^2}} = \frac{A} {s}+\frac{B} {{\left( {s+1} \right)}}+\frac{{Cs+D}} {{{s^2}+s+4}}

H\left( s \right) \cdot  \left( {s+1} \right)\left( {s+\delta +j{\omega _e}} \right)\left( {s+\delta -j{\omega _e}} \right)s =

= 2 = A\left( {s+1} \right)\left( {{s^2}+s+4} \right)+B\left( {{s^2}+s+4} \right)s+Cs\left( {s+1} \right)s+D\left( {s+1} \right)s

\Rightarrow \quad 2 = A\left( {{s^3}+2{s^2}+5s+4} \right)+B\left( {{s^3}+{s^2}+4s} \right)+C\left( {{s^3}+{s^2}} \right)+D\left( {{s^2}+s} \right)

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir:

2 = A\left( {{s^3}+2{s^2}+5s+4} \right)+B\left( {{s^3}+{s^2}+4s} \right)+C\left( {{s^3}+{s^2}} \right)+D\left( {{s^2}+s} \right)

{s^3}:\quad 0 = A+B+C

{s^2}:\quad 0 = 2A+B+C+D

{s^1}:\quad 0 = 5A+4B+D

{s^0}:\quad 2 = 4A\quad

\Rightarrow \quad A = \frac{1} {2}

\Rightarrow \quad B+C = -A = -\frac{1} {2}

\Rightarrow \quad D = -2A-\left( {B+C} \right) = -\frac{1} {2}

\Rightarrow \quad B = \frac{{-5A-D}} {4} = -\frac{1} {2}

\Rightarrow \quad C = -A-B = 0

Eingesetzt erhalten wir:

H\left( s \right) = \frac{A} {s}+\frac{B} {{\left( {s+1} \right)}}+\frac{{Cs+D}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^2}} = \frac{1} {2} \cdot  \frac{1} {s}-\frac{1} {2} \cdot  \frac{1} {{s+1}}-\frac{1} {2} \cdot  \frac{1} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^2}}

Um daraus nun die Nummern 1, 3, und 30 zu bekommen, ergänzen wir:

H\left( s \right) = \frac{1} {2} \cdot  \frac{1} {s}-\frac{1} {2} \cdot  \frac{1} {{s+1}}-\frac{1} {{2{\omega _e}}} \cdot  \frac{{{\omega _e}}} {{{{\left( {s+\delta } \right)}^2}+\omega _e^2}}

Damit folgt für die Rücktransformation mit der Korrespondenztabelle:

H\left( s \right) \to h\left( t \right) = \frac{1} {2} \cdot  1\left( t \right)-\frac{1} {2} \cdot  {e^{-t}} \cdot  1\left( t \right)-\frac{1} {{2{\omega _e}}} \cdot  {e^{-\delta t}} \cdot  \sin {\omega _e}t \cdot  1\left( t \right)

\Rightarrow \quad h\left( t \right) = \frac{1} {2} \cdot  1\left( t \right) \cdot  \left( {1-{e^{-t}}-\frac{1} {{{\omega _e}}}{e^{-\delta t}}\sin {\omega _e}t} \right)

d)

Eingangsfunktion

\Rightarrow \quad u\left( t \right) = {K_1} \cdot  1\left( {t-{T_1}} \right)-\left( {{K_1}-{K_2}} \right) \cdot  1\left( {t-{T_2}} \right)

Mit Hilfe des Rechtsverschiebungssatzes aus der ersten Tabelle bekommen wir für die Transformierte:

\Rightarrow \quad  = {K_1} \cdot  1\left( {t-{T_1}} \right)-\left( {{K_1}-{K_2}} \right) \cdot  1\left( {t-{T_2}} \right)

u\left( t \right) \to U\left( s \right) = \frac{{{K_1}}} {s} \cdot  {e^{-s{T_1}}}-\frac{{{K_1}-{K_2}}} {s} \cdot  {e^{-s{T_2}}}

Um die Systemantwort auf beliebige Eingangsfunktionen zu bekommen, müssen wir diese einfach nur mit der Sprungantwort falten:

Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot  U\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot  \frac{1} {s} \cdot  \left[ {{K_1} \cdot  {e^{-s{T_1}}}-\left( {{K_1}-{K_2}} \right) \cdot  {e^{-s{T_2}}}} \right]

In der vorherigen Aufgabe haben wir gezeigt, dass gilt:

G\left( s \right) \cdot  \frac{1} {s} = H\left( s \right)

\Rightarrow \quad Y\left( s \right) = H\left( s \right) \cdot  \left[ {{K_1} \cdot  {e^{-s{T_1}}}-\left( {{K_1}-{K_2}} \right) \cdot  {e^{-s{T_2}}}} \right]

\Rightarrow \quad Y\left( s \right) = {K_1} \cdot  H\left( s \right) \cdot  {e^{-s{T_1}}}-\left( {{K_1}-{K_2}} \right) \cdot  H\left( s \right) \cdot  {e^{-s{T_2}}}

Mit dem Rechtsverschiebungssatzes rücktransformiert erhalten wir:

Y\left( s \right) \to y\left( t \right) = {K_1} \cdot h\left( {t-{T_1}} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-\left( {{K_1}-{K_2}} \right) \cdot h\left( {t-{T_2}} \right) \cdot 1\left( {t-{T_2}} \right)

\Downarrow

y\left( t \right) = {K_1} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right) \cdot \left( {1-{e^{-\left( {t-{T_1}} \right)}}-\frac{1}{{{\omega _e}}}{e^{-\delta \left( {t-{T_1}} \right)}}\sin {\omega _e}\left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)

-\left( {{K_1}-{K_2}} \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot 1\left( {t-{T_2}} \right) \cdot \left( {1-{e^{-\left( {t-{T_2}} \right)}}-\frac{1}{{{\omega _e}}}{e^{-\delta \left( {t-{T_2}} \right)}}\sin {\omega _e}\left( {t-{T_2}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_2}} \right)

\Downarrow

y\left( t \right) = \frac{{{K_1}}}{2} \cdot \left( {1-{e^{-\left( {t-{T_1}} \right)}}-\frac{1}{{{\omega _e}}}{e^{-\delta \left( {t-{T_1}} \right)}}\sin {\omega _e}\left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)

-\frac{{\left( {{K_1}-{K_2}} \right)}}{2} \cdot \left( {1-{e^{-\left( {t-{T_2}} \right)}}-\frac{1}{{{\omega _e}}}{e^{-\delta \left( {t-{T_2}} \right)}}\sin {\omega _e}\left( {t-{T_2}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_2}} \right)

Hier noch eine Grafische Darstellung der Systemantworten:

Sprungantwort
Systemantwort
Systemantwort
Systemantwort

\mathcal{J}\mathcal{K}

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2 Kommentare zu “U05.1 – Laplace-Transformation einer Differentialgleichung”

Bei der RÜcktransformation der Rechtsverschiebung ganz zum Schluss sind ein paar T1er eigentlich T2er…..(weniger Copy+Paste bei den Formeln benutzten…. :-) )

Stimmt. Hab’s korrigiert. Danke!

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