U05.1 – MSE (Mean Square Error Function)

(DVP Informatik, Frühjahr 05)

Es liegt das folgende statistische Modell vor:

Stichprobenraum $\Psi = \left\langle {0,\infty } \right\rangle$ ; Parameterbereich $\Theta = \left\langle {0,\infty } \right\rangle$ ;

für $\vartheta \in \Theta$ ist $w_\vartheta$ die durch die Dichte

$f_\vartheta \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{2x}} {{\vartheta ^2 }}} & {,0 < x < \vartheta } \\ 0 & {x \geq \vartheta } \\ \end{array} } \right.$

bestimmte W-Verteilung auf $\Psi$ .

Betrachten Sie die Funktion $g:\Psi \to \mathbb{R}$ gemäß $g\left( x \right): = \frac{3} {2}x$ für $x \in \Psi$ als Schätzfunktion für den (unbekannten) Parameter $\vartheta$ .

Berechnen Sie die MSE-Funktion von g, also $MSE\left( {\vartheta ,g} \right)$ für alle $\vartheta \in \Theta$ .

Ist g erwartungstreu für $\vartheta$ ?

Lösung

MSE-Funktion (mean square error function, mittlerer quadratischer Fehler)

$MSE\left( {\: \cdot \:,g} \right):\Theta \to \mathbb{R}_+$

$MSE\left( {\vartheta ,g} \right): = E_\vartheta \left[ {\left( {g\left( Z \right)-\gamma \left( \vartheta \right)} \right)^2 } \right]$

$: = \operatorname{var} _\vartheta \left( g \right)+\left[ {E_\vartheta \left( g \right)-\gamma \left( \vartheta \right)} \right]^2 \quad ,\quad \forall \vartheta \in \Theta$

Ist g erwartungstreu für γ, so gilt: $MSE\left( {\vartheta ,g} \right) = \operatorname{var} _\vartheta \left( g \right)\quad ,\quad \forall \vartheta \in \Theta$

Zuerst überprüfen wir aufgrund dieser Definition, ob g erwartungstreu für ϑ ist.
Damit g erwartungstreu für ϑ ist muss gelten:

$E_\vartheta \left[ {g\left( x \right)} \right] = \gamma \left( \vartheta \right) = \vartheta$

$E_\vartheta \left[ {g\left( x \right)} \right] = \int {g\left( x \right)f\left( x \right)dx = \int\limits_0^\vartheta {\frac{3} {2}x \cdot \frac{{2x}} {{\vartheta ^2 }}dx} = } \frac{3} {{\vartheta ^2 }}\int\limits_0^\vartheta {x^2 dx = } \frac{3} {{\vartheta ^2 }} \cdot \frac{{\vartheta ^3 }} {3} = \vartheta \quad q.e.d.$

Damit gilt also: $MSE\left( {\vartheta ,g} \right) = \operatorname{var} _\vartheta \left( g \right)\quad ,\quad \forall \vartheta \in \Theta$

Erinnerung: $\operatorname{var} \left( X \right): = E\left( {\left( {X-E\left( X \right)} \right)^2 } \right) = E\left( {X^2 } \right)-\left( {E\left( X \right)} \right)^2$

$E_\vartheta \left[ {g\left( x \right)^2 } \right] = \int {g\left( x \right)^2 f\left( x \right)dx = \int\limits_0^\vartheta {\left( {\frac{3} {2}x} \right)^2 \cdot \frac{{2x}} {{\vartheta ^2 }}dx} = } \frac{9} {{2\vartheta ^2 }}\int\limits_0^\vartheta {x^3 dx = }$

$\frac{9} {{2\vartheta ^2 }} \cdot \frac{{\vartheta ^4 }} {4} = \underline{\underline {\frac{9} {8}\vartheta ^2 }}$

Damit erhalten wir nun also:

$\operatorname{var} _\vartheta \left( X \right) = E_\vartheta \left( {X^2 } \right)-\left( {E_\vartheta \left( X \right)} \right)^2 = \frac{9} {8}\vartheta ^2 -\vartheta ^2 = \underline{\underline {\frac{1} {8}\vartheta ^2 }}$