U05.1 – MSE (Mean Square Error Function)

 

(DVP Informatik, Frühjahr 05)

Es liegt das folgende statistische Modell vor:

Stichprobenraum \Psi  = \left\langle {0,\infty } \right\rangle; Parameterbereich \Theta  = \left\langle {0,\infty } \right\rangle;

für \vartheta  \in \Theta ist w_\vartheta die durch die Dichte

f_\vartheta  \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{{2x}} {{\vartheta ^2 }}} & {,0 < x < \vartheta }  \\    0 & {x \geq \vartheta }  \\   \end{array} } \right.

bestimmte W-Verteilung auf \Psi.

Betrachten Sie die Funktion g:\Psi  \to \mathbb{R} gemäß g\left( x \right): = \frac{3} {2}x für x \in \Psi als Schätzfunktion für den (unbekannten) Parameter \vartheta.

Berechnen Sie die MSE-Funktion von g, also MSE\left( {\vartheta ,g} \right) für alle \vartheta  \in \Theta.

Ist g erwartungstreu für \vartheta?

Lösung

MSE-Funktion (mean square error function, mittlerer quadratischer Fehler)

MSE\left( {\: \cdot  \:,g} \right):\Theta  \to \mathbb{R}_+

MSE\left( {\vartheta ,g} \right): = E_\vartheta  \left[ {\left( {g\left( Z \right)-\gamma \left( \vartheta  \right)} \right)^2 } \right]

: = \operatorname{var} _\vartheta  \left( g \right)+\left[ {E_\vartheta  \left( g \right)-\gamma \left( \vartheta  \right)} \right]^2 \quad ,\quad \forall \vartheta  \in \Theta

Ist g erwartungstreu für γ, so gilt: MSE\left( {\vartheta ,g} \right) = \operatorname{var} _\vartheta  \left( g \right)\quad ,\quad \forall \vartheta  \in \Theta

Zuerst überprüfen wir aufgrund dieser Definition, ob g erwartungstreu für ϑ ist.
Damit g erwartungstreu für ϑ ist muss gelten:

E_\vartheta  \left[ {g\left( x \right)} \right] = \gamma \left( \vartheta  \right) = \vartheta

E_\vartheta  \left[ {g\left( x \right)} \right] = \int {g\left( x \right)f\left( x \right)dx = \int\limits_0^\vartheta  {\frac{3} {2}x \cdot  \frac{{2x}} {{\vartheta ^2 }}dx}  = } \frac{3} {{\vartheta ^2 }}\int\limits_0^\vartheta  {x^2 dx = } \frac{3} {{\vartheta ^2 }} \cdot  \frac{{\vartheta ^3 }} {3} = \vartheta \quad q.e.d.

Damit gilt also: MSE\left( {\vartheta ,g} \right) = \operatorname{var} _\vartheta  \left( g \right)\quad ,\quad \forall \vartheta  \in \Theta

Erinnerung: \operatorname{var} \left( X \right): = E\left( {\left( {X-E\left( X \right)} \right)^2 } \right) = E\left( {X^2 } \right)-\left( {E\left( X \right)} \right)^2

E_\vartheta  \left[ {g\left( x \right)^2 } \right] = \int {g\left( x \right)^2 f\left( x \right)dx = \int\limits_0^\vartheta  {\left( {\frac{3} {2}x} \right)^2  \cdot  \frac{{2x}} {{\vartheta ^2 }}dx}  = } \frac{9} {{2\vartheta ^2 }}\int\limits_0^\vartheta  {x^3 dx = }

\frac{9} {{2\vartheta ^2 }} \cdot  \frac{{\vartheta ^4 }} {4} = \underline{\underline {\frac{9} {8}\vartheta ^2 }}

Damit erhalten wir nun also:

\operatorname{var} _\vartheta  \left( X \right) = E_\vartheta  \left( {X^2 } \right)-\left( {E_\vartheta  \left( X \right)} \right)^2  = \frac{9} {8}\vartheta ^2 -\vartheta ^2  = \underline{\underline {\frac{1} {8}\vartheta ^2 }}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {MSE\left( {\vartheta ,g} \right) = \frac{1} {8}\vartheta ^2 }}

\mathcal{J}\mathcal{K}

Ähnliche Artikel

1 Kommentar zu “U05.1 – MSE (Mean Square Error Function)”

Yay, Noch eine Funktion mit einem coolem Namen in der Statistik! :P

Kommentar verfassen