Sei ein Hilbertraum. Nach dem Satz über orthogonale Projektionen (siehe Vorlesung) existiert zu jedem Unterraum
und zu jedem
genau ein
so, dass gilt:
Danach bezeichnen wir mit
als die orthogonale Projektion auf
.
-
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften von
:
-
Für alle
gilt
und damit
Wobeidie Operatornorm für lineare Operatoren
bezeichnet.
-
, d.h.
ist idempotent
-
und
-
Für alle
-
Sei
ein endliches Orthogonalsystem in
und
. Bestimmen Sie die orthogonale Projektion
auf
explizit.
Lösung
a )
i)
ii)
iii)
Der Kern ist:
zu zeigen:
1. Schritt:
2. Schritt:
Für den Rand gilt:
Wenn aber ein Element aus
ist, dann gilt:
b )
Mit ist ein endlichdimensionaler Unterraum von
gegeben. Dabei ist
eine Basis von
. Für alle
existiert somit eine eindeutig bestimmte Folge von Koeffizienten
so dass
Nach a.iii ist das Bild , d.h.
ist surjektiv.
Damit gibt es für alle mindestens ein
Wir machen also den Ansatz:
und bestimmen die Koeffizienten .
Es gilt:
Setze
Setze
dann folgt:
wegen
somit ist