u05.1 – Orthogonale Projektionen

Sei $\left( {H,{{\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }_H}} \right)$ ein Hilbertraum. Nach dem Satz über orthogonale Projektionen (siehe Vorlesung) existiert zu jedem Unterraum $M \subset H$ und zu jedem $x \in H$ genau ein ${x_P} \in M$ so, dass gilt:

${\left\| {x-{x_P}} \right\|_H} = dist\left( {x,M} \right): = \mathop {\inf }\limits_{y \in M} {\left\| {x-y} \right\|_H},\quad \left( {x-{x_P}} \right) \bot M$

Danach bezeichnen wir $P:H \to M$ mit $P\left( x \right): = {x_P}$ als die orthogonale Projektion auf $M$ .

Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften von :
1. Für alle $x \in H$ gilt ${\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H} \leq {\left\| x \right\|_H}$ und damit ${\left\| P \right\|_{\mathcal{L}\left( H \right)}} = 1$
  Wobei ${\left\| F \right\|_{\mathcal{L}\left( H \right)}}: = \mathop {\sup }\limits_{x \in H{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}} \frac{{{{\left\| {F\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}}$ die Operatornorm für lineare Operatoren $F:H \to H$ bezeichnet.
2. ${P^2} = P$ , d.h. $P$ ist idempotent
3. $Ker\left( P \right) = {M^ \bot }$ und $\operatorname{Im} \left( P \right) = M$
Sei $\left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n \subset H$ ein endliches Orthogonalsystem in $H$ und $A = span\left\{ {\left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n} \right\}$ . Bestimmen Sie die orthogonale Projektion $P$ auf $A$ explizit.

Lösung

a )

$H,M \subset H$

$P:H \to M,\quad x \mapsto P\left( x \right),\quad P\left( x \right) \in M,\quad x-P\left( x \right) \in {M^ \bot }$

${\left\| {x-P\left( x \right)} \right\|_H} = \mathop {\inf }\limits_{y \in M} \left\{ {\left\| {x-y} \right\|} \right\}$

${\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H} \leq {\left\| x \right\|_H},\quad \forall x \in H$

$x \to p\left( x \right),\quad x = x+P\left( x \right)-P\left( x \right)$

${\left\| x \right\|_H} = {\left\| {\left( {x-P\left( x \right)} \right)+P\left( x \right)} \right\|_H}$

$\left\| x \right\|_H^2 = \left\| {\underbrace {\left( {x-P\left( x \right)} \right)}_{ = a}+\underbrace {P\left( x \right)}_{ = b}} \right\|_H^2 = \left\| {x-P\left( x \right)} \right\|_H^2+\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H^2+$

$+2\operatorname{Re} \underbrace {\left\langle {x-P\left( x \right),P\left( x \right)} \right\rangle }_{ = 0}$

$\geq \left\| {P\left( x \right)} \right\|_H^2\quad \Rightarrow \quad {\left\| x \right\|_H} \geq {\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H}$

${\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H} \leq {\left\| x \right\|_H},\quad {\left\| {P\left( x \right)} \right\|_{{H^*}}} = \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}} \leq \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{{{{\left\| x \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}} = 1$

${\left\| {P\left( x \right)} \right\|_{{H^*}}} \geq \frac{{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}} = \frac{{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} = 1,\quad x \in M,\quad P\left( x \right) = x$

ii)

${P^2} = P$

${P^2}\left( x \right) = P\left( x \right),\quad \forall x \in H$

${P^2}\left( x \right) = P\left( {\underbrace {P\left( x \right)}_{ \in M}} \right) = P\left( x \right)$

iii)

Der Kern ist:

$Ker\left( P \right): = \left\{ {x \in M:P\left( x \right) = 0} \right\}$

zu zeigen:

$Ker\left( P \right) = {M^ \bot }$

1. Schritt:

$Ker\left( P \right) \subset {M^ \bot },\quad x \in Ker\left( P \right)\quad \Rightarrow \quad \underbrace {P\left( x \right)}_{ \in M} = 0$

$x = \underbrace {x-P\left( x \right)}_{ \in {M^ \bot }}\quad \Rightarrow \quad x \in {M^ \bot }$

2. Schritt:

${M^ \bot } \subset Ker\left( P \right)$

$x \in {M^ \bot }\quad \Rightarrow \quad \left\langle {x,y} \right\rangle = 0,\quad \forall y \in M$

$x \to P\left( x \right)\quad \Rightarrow \quad x-P\left( x \right) \in {M^ \bot }\quad \Rightarrow \quad \left\langle {x-P\left( x \right),y} \right\rangle = 0,\quad \forall y \in M$

$P\left( x \right) = 0\quad \Rightarrow \quad x \in Ker\left( P \right)$

Für den Rand gilt:

$ran\left( P \right): = \left\{ {P\left( x \right):x \in M} \right\}$

Wenn $x$ aber ein Element aus $M$ ist, dann gilt:

$x \in M,\quad x = P\left( x \right)\quad \Rightarrow \quad x \in ran\left( P \right)$

b )

Mit $A = span\left\{ {\left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n} \right\}$ ist ein endlichdimensionaler Unterraum von $H$ gegeben. Dabei ist $\left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n$ eine Basis von $A$ . Für alle $y \in A$ existiert somit eine eindeutig bestimmte Folge von Koeffizienten $\left( {{a_k}} \right)_{k = 1}^n \subset S$ so dass

$y = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}}$

Nach a.iii ist das Bild $\operatorname{Im} \left( p \right) = A$ , d.h. $p:H \to A$ ist surjektiv.

Damit gibt es für alle $y \in A$ mindestens ein $x \in H:y = p\left( x \right)$

Wir machen also den Ansatz:

$p\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}}$

und bestimmen die Koeffizienten $\left( {{a_k}} \right)_{k = 1}^n \subset S$ .

Es gilt:

$0 = \left\langle {x-p\left( x \right),y} \right\rangle_H \quad \forall y \in A$

Setze

$y = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}}$

$\Rightarrow \quad 0 = {\left\langle {x-\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}} ,\sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}} } \right\rangle _H}\quad \forall \left( {{{\tilde a}_k}} \right)_{k = 1}^n \subset S$

$\Rightarrow \quad 0 = {\left\langle {x,\sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}} } \right\rangle _H}-{\left\langle {\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}} ,\sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}} } \right\rangle _H}$

$\Rightarrow \quad 0 = \sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} {{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}} -\sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} \underbrace {{{\left\langle {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_j}{e_j}} ,{e_k}} \right\rangle }_H}}_{ = {a_k}{{\left\langle {{e_k},{e_k}} \right\rangle }_H}}}$

$\Rightarrow \quad 0 = \sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} \left( {{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}-{a_k}{{\left\langle {{e_k},{e_k}} \right\rangle }_H}} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} \left( {{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}-{a_k}\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} \right)}$

Setze

${{\tilde a}_k} = {\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle _H}-{a_k}\left\| {{e_k}} \right\|_H^2$

dann folgt:

$\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}-{a_k}\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} \right|_S^2} = 0\quad \Rightarrow \quad {a_k} = \frac{{{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}}} {{\left\| {{e_k}} \right\|_H^2}}$

wegen

$a\overline a = \left( {x+iy} \right)\left( {x-iy} \right) = {x^2}+{y^2} = {\left| a \right|^2}$

somit ist

$p\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}}} {{\left\| {{e_k}} \right\|_H^2}}{e_k}}$

Mathematical Engineering

u05.1 – Orthogonale Projektionen

Lösung

a )

b )

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