u05.1 – Orthogonale Projektionen

 

Sei \left( {H,{{\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }_H}} \right) ein Hilbertraum. Nach dem Satz über orthogonale Projektionen (siehe Vorlesung) existiert zu jedem Unterraum M \subset H und zu jedem x \in H genau ein {x_P} \in M so, dass gilt:

{\left\| {x-{x_P}} \right\|_H} = dist\left( {x,M} \right): = \mathop {\inf }\limits_{y \in M} {\left\| {x-y} \right\|_H},\quad \left( {x-{x_P}} \right) \bot M

Danach bezeichnen wir P:H \to M mit P\left( x \right): = {x_P} als die orthogonale Projektion auf M.

  1. Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften von P:

    1. Für alle x \in H gilt {\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H} \leq {\left\| x \right\|_H} und damit {\left\| P \right\|_{\mathcal{L}\left( H \right)}} = 1
      Wobei {\left\| F \right\|_{\mathcal{L}\left( H \right)}}: = \mathop {\sup }\limits_{x \in H{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}} \frac{{{{\left\| {F\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}} die Operatornorm für lineare Operatoren F:H \to H bezeichnet.
    2. {P^2} = P, d.h. P ist idempotent
    3. Ker\left( P \right) = {M^ \bot } und \operatorname{Im} \left( P \right) = M
  2. Sei \left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n \subset H ein endliches Orthogonalsystem in H und A = span\left\{ {\left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n} \right\}. Bestimmen Sie die orthogonale Projektion P auf A explizit.

Lösung

a )

H,M \subset H

P:H \to M,\quad x \mapsto P\left( x \right),\quad P\left( x \right) \in M,\quad x-P\left( x \right) \in {M^ \bot }

{\left\| {x-P\left( x \right)} \right\|_H} = \mathop {\inf }\limits_{y \in M} \left\{ {\left\| {x-y} \right\|} \right\}

i)

{\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H} \leq {\left\| x \right\|_H},\quad \forall x \in H

x \to p\left( x \right),\quad x = x+P\left( x \right)-P\left( x \right)

{\left\| x \right\|_H} = {\left\| {\left( {x-P\left( x \right)} \right)+P\left( x \right)} \right\|_H}

\left\| x \right\|_H^2 = \left\| {\underbrace {\left( {x-P\left( x \right)} \right)}_{ = a}+\underbrace {P\left( x \right)}_{ = b}} \right\|_H^2 = \left\| {x-P\left( x \right)} \right\|_H^2+\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H^2+

+2\operatorname{Re} \underbrace {\left\langle {x-P\left( x \right),P\left( x \right)} \right\rangle }_{ = 0}

\geq \left\| {P\left( x \right)} \right\|_H^2\quad  \Rightarrow \quad {\left\| x \right\|_H} \geq {\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H}

{\left\| {P\left( x \right)} \right\|_H} \leq {\left\| x \right\|_H},\quad {\left\| {P\left( x \right)} \right\|_{{H^*}}} = \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}} \leq \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{{{{\left\| x \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}} = 1

{\left\| {P\left( x \right)} \right\|_{{H^*}}} \geq \frac{{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}} = \frac{{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} {{{{\left\| {P\left( x \right)} \right\|}_H}}} = 1,\quad x \in M,\quad P\left( x \right) = x

ii)

{P^2} = P

{P^2}\left( x \right) = P\left( x \right),\quad \forall x \in H

{P^2}\left( x \right) = P\left( {\underbrace {P\left( x \right)}_{ \in M}} \right) = P\left( x \right)

iii)

Der Kern ist:

Ker\left( P \right): = \left\{ {x \in M:P\left( x \right) = 0} \right\}

zu zeigen:

Ker\left( P \right) = {M^ \bot }

1. Schritt:

Ker\left( P \right) \subset {M^ \bot },\quad x \in Ker\left( P \right)\quad  \Rightarrow \quad \underbrace {P\left( x \right)}_{ \in M} = 0

x = \underbrace {x-P\left( x \right)}_{ \in {M^ \bot }}\quad  \Rightarrow \quad x \in {M^ \bot }

2. Schritt:

{M^ \bot } \subset Ker\left( P \right)

x \in {M^ \bot }\quad  \Rightarrow \quad \left\langle {x,y} \right\rangle  = 0,\quad \forall y \in M

x \to P\left( x \right)\quad  \Rightarrow \quad x-P\left( x \right) \in {M^ \bot }\quad  \Rightarrow \quad \left\langle {x-P\left( x \right),y} \right\rangle  = 0,\quad \forall y \in M

P\left( x \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad x \in Ker\left( P \right)

Für den Rand gilt:

ran\left( P \right): = \left\{ {P\left( x \right):x \in M} \right\}

Wenn x aber ein Element aus M ist, dann gilt:

x \in M,\quad x = P\left( x \right)\quad  \Rightarrow \quad x \in ran\left( P \right)

b )

Mit A = span\left\{ {\left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n} \right\} ist ein endlichdimensionaler Unterraum von H gegeben. Dabei ist \left( {{e_k}} \right)_{k = 1}^n eine Basis von A. Für alle y \in A existiert somit eine eindeutig bestimmte Folge von Koeffizienten \left( {{a_k}} \right)_{k = 1}^n \subset S so dass

y = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}}

Nach a.iii ist das Bild \operatorname{Im} \left( p \right) = A, d.h. p:H \to A ist surjektiv.

Damit gibt es für alle y \in A mindestens ein x \in H:y = p\left( x \right)

Wir machen also den Ansatz:

p\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}}

und bestimmen die Koeffizienten \left( {{a_k}} \right)_{k = 1}^n \subset S.

Es gilt:

0 = \left\langle {x-p\left( x \right),y} \right\rangle_H \quad \forall y \in A

Setze

y = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}}

\Rightarrow \quad 0 = {\left\langle {x-\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}} ,\sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}} } \right\rangle _H}\quad \forall \left( {{{\tilde a}_k}} \right)_{k = 1}^n \subset S

\Rightarrow \quad 0 = {\left\langle {x,\sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}} } \right\rangle _H}-{\left\langle {\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{e_k}} ,\sum\limits_{k = 1}^n {{{\tilde a}_k}{e_k}} } \right\rangle _H}

\Rightarrow \quad 0 = \sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} {{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}} -\sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} \underbrace {{{\left\langle {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_j}{e_j}} ,{e_k}} \right\rangle }_H}}_{ = {a_k}{{\left\langle {{e_k},{e_k}} \right\rangle }_H}}}

\Rightarrow \quad 0 = \sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} \left( {{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}-{a_k}{{\left\langle {{e_k},{e_k}} \right\rangle }_H}} \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\overline {{{\tilde a}_k}} \left( {{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}-{a_k}\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} \right)}

Setze

{{\tilde a}_k} = {\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle _H}-{a_k}\left\| {{e_k}} \right\|_H^2

dann folgt:

\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}-{a_k}\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} \right|_S^2}  = 0\quad  \Rightarrow \quad {a_k} = \frac{{{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}}} {{\left\| {{e_k}} \right\|_H^2}}

wegen

a\overline a  = \left( {x+iy} \right)\left( {x-iy} \right) = {x^2}+{y^2} = {\left| a \right|^2}

somit ist

p\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle }_H}}} {{\left\| {{e_k}} \right\|_H^2}}{e_k}}

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