U05.2 – Systemberechnung

 

Ein System hat die im folgenden Bild dargestellte Struktur:

System

Für die einzelnen Teilsysteme gilt:

{{\dot y}_1}\left( t \right)+\alpha  \cdot  {y_1}\left( t \right) = {u_1}\left( t \right)\quad ,\quad {y_1}\left( {t = 0} \right) = {y_{10}}

{{\dot y}_2}\left( t \right)+\beta  \cdot  {y_2}\left( t \right) = {{\dot u}_2}\left( t \right)+c \cdot  {u_2}\left( t \right)\quad ,\quad {y_2}\left( {t = 0} \right) = {y_{20}}

mit\:\alpha  \ne \beta \:und

{{\dot y}_3}\left( t \right) = {u_3}\left( {t-T} \right)\quad ,\quad {y_3}\left( {t = 0} \right) = 0

  1. Berechnen Sie die vollständige Laplace-Transformierte Y(s) des Gesamtsystems.
  2. Bestimmen Sie die Gewichtsfunktion g(t) und die Sprungantwort h(t) des Gesamtsystems
  3. Bestimmen Sie y(t) für den Fall u\left( t \right) \equiv 0, genannt {y_A}\left( t \right)
  4. Bestimmen Sie y20 in Abhängigkeit von y10, so dass {y_A}\left( {2 \cdot  T} \right) = 0 ist.

Lösung:

a)

Die Laplace-Transformierte berechnen wir auch hier wieder mit Hilfe der Tabelle, die bereits in Aufgabe 3 genutzt wurde.
Definition und Eigenschaften der Laplace-Transformation:

definition-eigenschaften-laplace-transformation

{{\dot y}_1}\left( t \right)+\alpha  \cdot  {y_1}\left( t \right) = {u_1}\left( t \right)\quad  \to \quad s \cdot  {Y_1}\left( s \right)-{y_{10}}+\alpha  \cdot  {Y_1}\left( s \right) = {U_1}\left( s \right)

{{\dot y}_2}\left( t \right)+\beta  \cdot  {y_2}\left( t \right) = {{\dot u}_2}\left( t \right)+c \cdot  {u_2}\left( t \right)\quad  \to \quad s \cdot  {Y_2}\left( s \right)-{y_{20}}+\beta  \cdot  {Y_2}\left( s \right) = s \cdot  {U_2}\left( s \right)-{u_{20}}+c \cdot  {U_2}\left( s \right)

{{\dot y}_3}\left( t \right) = {u_3}\left( {t-T} \right)\quad  \to \quad s \cdot  {Y_3}\left( s \right) = {U_3}\left( s \right) \cdot  {e^{-Ts}}

Durch Umstellen nach Y erhalten wir:
{Y_1}\left( s \right) = \underbrace {\frac{1} {{s+\alpha }}}_{{G_1}\left( s \right)}{U_1}\left( s \right)+\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}

{Y_2}\left( s \right) = \frac{{s+c}} {{s+\beta }}{U_2}\left( s \right)-\frac{{{u_{20}}-{y_{20}}}} {{s+\beta }}

{Y_3}\left( s \right) = \frac{{{e^{-Ts}}}} {s}{U_3}\left( s \right)

Aus der Systemskizze entnehmen wir nun folgende Beziehungen:

{u_2} = {u_3} = {y_1}\quad  \Rightarrow \quad {u_{20}} = {y_{10}}

u = {u_1}

y = {y_2}+{y_3}

\Rightarrow \quad Y = {Y_2}+{Y_3} = \underbrace {\frac{{s+c}} {{s+\beta }}}_{{G_2}\left( s \right)}\underbrace {{U_2}\left( s \right)}_{{Y_1}\left( s \right)}-\frac{{{u_{20}}-{y_{20}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\underbrace {{U_3}\left( s \right)}_{{Y_1}\left( s \right)} = {G_2}\left( s \right){Y_1}\left( s \right)+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}{Y_1}\left( s \right)

Durch Einsetzen aller Y ergibt sich:

Y\left( s \right) = {G_2}\left( s \right){G_1}\left( s \right){U_1}\left( s \right)+{G_2}\left( s \right)\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+{G_3}\left( s \right){G_1}\left( s \right)U\left( s \right)+{G_3}\left( s \right)\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}

Durch Umstellen und wiedereinsetzen der Übertragungsfunktionen erhalten wir schließlich:

Y\left( s \right) = \underbrace {\left( {\frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{1} {{s+\alpha }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{1} {{s+\alpha }}} \right)}_{G\left( s \right)}U\left( s \right)+\frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}

b)

Die Gewichtsfunktion g(t) oder auch Impulsantwort ist die Systemantwort eines Systems, bei Erregung durch den Dirac’schen Deltaimpuls δ(t).

Der Korrespondenztabelle für Laplace-Transformationen entnehmen wir:

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

Bei der Berechnung betrachten wir nur die Übertragungsfunktion und nicht den Anteil, der durch die Bewegung aufgrund der Anfangsbedingungen hervorgerufen wird:

\delta \left( t \right)\quad  \to \quad 1

\Rightarrow \quad Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot  U\left( s \right) = G\left( s \right)

= \frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{1} {{s+\alpha }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{1} {{s+\alpha }}

Für die beiden Teilterme der Summe führen wir nun wie in Aufgabe 3 eine Partialbrucherlegung durch, um die Rücktransformation zu ermöglichen:

\frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{1} {{s+\alpha }} = \frac{A} {{s+\beta }}+\frac{B} {{s+\alpha }}

\Rightarrow \quad A = \frac{{-\beta +c}} {{-\beta +\alpha }}

\Rightarrow \quad B = \frac{{-\alpha +c}} {{-\alpha +\beta }}

\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{1} {{s+\alpha }} = \frac{C} {s}+\frac{D} {{s+\alpha }}

\Rightarrow \quad C = \frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }

\Rightarrow \quad D = \frac{{{e^{-Ts}}}} {{-\alpha }}

Damit erhalten wir:

G\left( s \right) = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}\frac{1} {{s+\beta }}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}\frac{1} {{s+\alpha }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{1} {s}-\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{1} {{s+\alpha }}

Durch Rücktransformation folgt mit der Korrespondenztabelle

korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

und mit Hilfe des Rechtsverschiebungssatzes

RVS:\quad f\left( {t-a} \right) \cdot  1\left( {t-a} \right)\quad  \leftrightarrow \quad {e^{-as}} \cdot  F\left( s \right)

\underbrace {{e^{-Ts}}}_{{e^{-as}}} \cdot  \underbrace {\frac{1} {s}}_{F\left( s \right)}\quad  \to \quad \underbrace {1\left( {t-T} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot  1\left( {t-T} \right) = 1\left( {t-T} \right)

\underbrace {{e^{-Ts}}}_{{e^{-as}}} \cdot  \underbrace {\frac{1} {{s+\alpha }}}_{F\left( s \right)}\quad  \to \quad \underbrace {{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot  1\left( {t-T} \right) = {e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)

\Rightarrow \quad G\left( s \right)\quad  \to \quad g\left( t \right) = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta t}} \cdot  1\left( t \right)+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha t}} \cdot  1\left( t \right)+\frac{1} {\alpha }1\left( {t-T} \right)-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)

Zwischen der Gewichtsfunktion g(t) und der Sprungantwort h(t) des Systems gilt die Beziehung:

g\left( t \right) = \frac{{\partial h\left( t \right)}} {{\partial t}}\quad  \Rightarrow \quad h\left( t \right) = \int\limits_0^t {g\left( \tau  \right)\:d\tau }

Zudem benötigen wir folgende Definitionen:

\delta \left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    { \ne 0} & {t = 0}  \\    0 & {t \ne 0}  \\   \end{array} } \right.

1\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & {t \geq 0}  \\    0 & {t < 0}  \\   \end{array} } \right.

Also folgt:

g\left( t \right) = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta \tau }} \cdot  1\left( t \right)+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha t}} \cdot  1\left( t \right)+\frac{1} {\alpha }1\left( {t-T} \right)-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)

h\left( t \right) = \int\limits_0^t {g\left( \tau  \right)\:d\tau }  =  \ldots

Zur Vereinfachung integrieren wir die Terme einzeln:

\int\limits_0^t {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta \tau }} \cdot  1\left( \tau  \right)\:d\tau }  = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }} \cdot  \left( {\left[ {-\frac{1} {\beta }{e^{-\beta \tau }} \cdot  1\left( \tau  \right)} \right]_0^t-\int\limits_0^t {-\frac{1} {\beta }{e^{-\beta \tau }} \cdot  \delta \left( \tau  \right)\:d\tau } } \right)

\quad  = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }} \cdot  \left( {\left[ {\frac{1} {\beta }-\frac{1} {\beta }{e^{-\beta t}} \cdot  1\left( t \right)} \right]-\int\limits_0^t {-\frac{1} {\beta } \cdot  \delta \left( \tau  \right)\:d\tau } } \right)

\quad  = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }} \cdot  \left( {\left[ {\frac{1} {\beta }-\frac{1} {\beta }{e^{-\beta t}} \cdot  1\left( t \right)} \right]+\left[ {\frac{1} {\beta } \cdot  1\left( t \right)-\frac{1} {\beta } \cdot  1\left( 0 \right)} \right]} \right)

\quad  = \frac{{c-\beta }} {{\beta \left( {\alpha -\beta } \right)}} \cdot  \left( {1-{e^{-\beta t}}} \right) \cdot  1\left( t \right)

Analog Term 2:

\int\limits_0^t {\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha t}} \cdot  1\left( \tau  \right)\:d\tau }  = \frac{{c-\beta }} {{\alpha \left( {\alpha -\beta } \right)}} \cdot  \left( {1-{e^{-\alpha t}}} \right) \cdot  1\left( t \right)

Term 3:

Für das Integral der Sprungfunktion gilt:

\int\limits_{-\infty }^t {1\left( \tau  \right)\:d\tau }  = 1\left( t \right) \cdot  t

Annahme: T > 0

\int\limits_0^t {\frac{1} {\alpha }1\left( {\tau -T} \right)\:d\tau }  = \frac{1} {\alpha }\left[ {1\left( {\tau -T} \right) \cdot  \left( {\tau -T} \right)\:} \right]_0^t = \frac{1} {\alpha }1\left( {t-T} \right) \cdot  \left( {t-T} \right)\:

Term 4:

\int\limits_0^t {\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {\tau -T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)\:d\tau }  =

\frac{1} {\alpha } \cdot  \left( {\left[ {-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {\tau -T} \right)}} \cdot  1\left( {\tau -T} \right)} \right]_0^t-\int\limits_0^t {-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {\tau -T} \right)}} \cdot  \delta \left( {\tau -T} \right)\:d\tau } } \right)

\quad  = \frac{1} {\alpha } \cdot  \left( {\left[ {-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)} \right]+\int\limits_0^t {\frac{1} {\alpha } \cdot  \delta \left( {\tau -T} \right)\:d\tau } } \right)

\quad  = \frac{1} {\alpha } \cdot  \left( {\left[ {-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)} \right]+\left[ {\frac{1} {a} \cdot  1\left( {t-T} \right)-\frac{1} {\alpha } \cdot  \underbrace {1\left( {-T} \right)}_{0,\:da\:T > 0}} \right]} \right)

\quad  = \frac{1} {\alpha } \cdot  \left( {\left[ {-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)} \right]+\left[ {\frac{1} {a} \cdot  1\left( {t-T} \right)} \right]} \right)

\quad  = \frac{1} {{{\alpha ^2}}} \cdot  \left( {1-{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}}} \right) \cdot  1\left( {t-T} \right)

Durch Einsetzen aller Integrale erhalten wir:

h\left( t \right) = \int\limits_0^t {g\left( \tau  \right)\:d\tau }  =  \ldots

= \frac{{c-\beta }} {{\beta \left( {\alpha -\beta } \right)}} \cdot  \left( {1-{e^{-\beta t}}} \right) \cdot  1\left( t \right)+\frac{{c-\beta }} {{\alpha \left( {\alpha -\beta } \right)}} \cdot  \left( {1-{e^{-\alpha t}}} \right) \cdot  1\left( t \right)+\frac{1} {\alpha }1\left( {t-T} \right) \cdot  \left( {t-T} \right)-\frac{1} {{{\alpha ^2}}} \cdot  \left( {1-{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}}} \right) \cdot  1\left( {t-T} \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {h\left( t \right) = \left[ {\frac{{c-\beta }} {{\beta \left( {\alpha -\beta } \right)}} \cdot  \left( {1-{e^{-\beta t}}} \right)+\frac{{c-\beta }} {{\alpha \left( {\alpha -\beta } \right)}} \cdot  \left( {1-{e^{-\alpha t}}} \right)} \right] \cdot  1\left( t \right)+\frac{1} {\alpha }\left[ {\left( {t-T} \right)-\frac{1} {\alpha } \cdot  \left( {1-{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}}} \right)} \right] \cdot  1\left( {t-T} \right)}}

c)

Wir nehmen hier einfach die Formel aus a) und setzen u(t) = 0 bzw. U(s) = 0:

Y\left( s \right) = \underbrace {\left( {\frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{1} {{s+\alpha }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{1} {{s+\alpha }}} \right)}_{G\left( s \right)}U\left( s \right)+\frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}

\Rightarrow \quad {Y_A}\left( s \right) = \frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}

Analog zur vorherigen Teilaufgabe folgt damit:

{Y_A}\left( s \right) = \frac{{s+c}} {{s+\beta }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {s}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }} =

\quad  = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{{{y_{10}}}} {s}-\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}

Zu beachten ist noch der mittlere Zusatzterm:

\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}\quad  \to \quad \left( {{y_{20}}-{y_{10}}} \right) \cdot  {e^{-\beta t}} \cdot  1\left( t \right)

Durch Vergleich mit der vorherigen Aufgabe folgt:

vgl.:\quad G\left( s \right) = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}\frac{1} {{s+\beta }}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}\frac{1} {{s+\alpha }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{1} {s}-\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{1} {{s+\alpha }}

\to \quad g\left( t \right) = \left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta \tau }}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha t}}} \right] \cdot  1\left( t \right)+\frac{1} {\alpha }1\left( {t-T} \right)-\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)

\Rightarrow \quad {Y_A}\left( s \right) = \frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}+\frac{{{y_{20}}-{y_{10}}}} {{s+\beta }}+\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{{{y_{10}}}} {s}-\frac{{{e^{-Ts}}}} {\alpha }\frac{{{y_{10}}}} {{s+\alpha }}

\to \quad {y_A}\left( t \right) = {y_{10}}\left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta t}}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha t}}} \right] \cdot  1\left( t \right)+\left( {{y_{20}}-{y_{10}}} \right) \cdot  {e^{-\beta t}} \cdot  1\left( t \right)

\qquad \qquad \quad +\frac{{y_{10}}} {\alpha }1\left( {t-T} \right)-\frac{{{y_{10}}}} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)

d)

Wir formen um:

{y_A}\left( {2 \cdot  T} \right) = 0 = {y_{10}}\left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta t}}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha t}}} \right] \cdot  1\left( t \right)+\left( {{y_{20}}-{y_{10}}} \right) \cdot  {e^{-\beta t}} \cdot  1\left( t \right)+\frac{{{y_{10}}}} {\alpha } \cdot  1\left( {t-T} \right)-\frac{{{y_{10}}}} {\alpha }{e^{-\alpha \left( {t-T} \right)}} \cdot  1\left( {t-T} \right)

\Rightarrow \quad 0 = {y_{10}}\left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta 2T}}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha 2T}}} \right] \cdot  1\left( {2T} \right)+\left( {{y_{20}}-{y_{10}}} \right) \cdot  {e^{-\beta 2T}} \cdot  1\left( {2T} \right)+\frac{{{y_{10}}}} {\alpha } \cdot  1\left( T \right)-\frac{{{y_{10}}}} {\alpha }{e^{-\alpha \left( T \right)}} \cdot  1\left( T \right)

\qquad  = {y_{10}}\left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta 2T}}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha 2T}}} \right]+\left( {{y_{20}}-{y_{10}}} \right) \cdot  {e^{-\beta 2T}}+\frac{{{y_{10}}}} {\alpha }-\frac{{{y_{10}}}} {\alpha }{e^{-\alpha \left( T \right)}}

\Rightarrow \quad -{y_{10}}\left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta 2T}}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha 2T}}} \right]+\frac{{{y_{10}}}} {\alpha }{e^{-\alpha \left( T \right)}}+{y_{10}}{e^{-\beta 2T}}+\frac{{{y_{10}}}} {\alpha } = {y_{20}} \cdot  {e^{-\beta 2T}}

\Rightarrow \quad \left( {1-\left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta 2T}}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha 2T}}} \right]{e^{\beta 2T}}+\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( T \right)}}{e^{\beta 2T}}+\frac{1} {\alpha }{e^{\beta 2T}}} \right){y_{10}} = {y_{20}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{y_{20}} = \left( {1-\left( {\left[ {\frac{{c-\beta }} {{\alpha -\beta }}{e^{-\beta 2T}}+\frac{{c-\alpha }} {{\beta -\alpha }}{e^{-\alpha 2T}}} \right]+\frac{1} {\alpha }{e^{-\alpha \left( T \right)}}+\frac{1} {\alpha }} \right) \cdot  {e^{\beta 2T}}} \right) \cdot  {y_{10}}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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5 Kommentare zu “U05.2 – Systemberechnung”

Servus,
kannst du mir kurz erklären, wie du bei der Integration der Gewichtsfunktion zur Sprungantwort den ersten Term berechnest? Probleme habe ich da in der zweiten Zeile, wo der e-Term im Integral anscheinend einfach “verschwindet”. Was passiert mit dem?

Danke für deine Hilfe!

Das liegt an der Definition des Diracimpulses im Kasten darüber.
Dieser ist ja nur dann ungleich 0, wenn tau = 0 ist. Und für tau = 0 ist e^tau = 1.
Für den Fall dass tau nicht 0 ist, wäre ja der Ausdruck im Integral wegen dem Diracimpuls = 0.
Darum setzen wir also an dieser Stelle das e^tau = 1, weil der ganze Ausdruck im Integral eben nur für tau = 0 existiert.
Hoffe ich konnte es verständlich rüberbringen :-)

das macht sinn! dank dir!!! weiter so…

Mahlzeit,
Aufgabenteil c) ist ein Fehler in der Lösung y_A(t) beim Term, der den Rechtverschiebungssatz enthält: dort ist bei euch ein (y_20-y_10)/alpha angebeben, dies steht aber im vorigen Term y_A(s) nicht. Wahrscheinlich nen Tippfehler.
Schöne Feiertage

Richtig. Is mir auch grad bei Durchrechnen aufgefallen. Hab’s korrigiert.
Danke und wünsche auch allen frohe Feiertage.

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