U05.2 – Verteilungsfunktion, Dichte und Momente

 

Seien \vartheta  \in \left\langle {0,\infty } \right\rangle und \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) eine einfache Stichprobe vom Umfang n, deren Komponenten sämtlich stetig gleichverteilt auf \left[ {0,2\vartheta } \right] sind. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Y: = \max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)

Hinweis: Berechnen Sie erst die Verteilungsfunktion, dann die Dichte, dann die gesuchten Momente von Y.

Lösung

Es ist Y: = \max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)

Sei X: = X_1

Da die Komponenten stetig gleichverteilt sind gilt für die Dichte und die Verteilungsfunktion von X:

f_X \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{1} {{2\vartheta }}} & {0 \leq x \leq 2\vartheta }  \\    0 & {sonst}  \\   \end{array} } \right.

F_X \left( x \right) = \int {f_X \left( x \right)dx}  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    0 & {x < 0}  \\    {\frac{x} {{2\vartheta }}} & {0 \leq x \leq 2\vartheta }  \\    1 & {x > 2\vartheta }  \\   \end{array} } \right.

Grafik

Dann gilt, wegen der Unabhängigkeit der X, für die Verteilungsfunktion von Y:

F_Y \left( x \right) = P\left( {Y \leq x} \right) = P\left( {X_1  \leq x,X_2  \leq x, \ldots ,X_n  \leq x} \right)

= P\left( {X_1  \leq x} \right) \cdot  P\left( {X_2  \leq x} \right) \cdot   \ldots  \cdot  P\left( {X_n  \leq x} \right)

= F_X \left( x \right)^n  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    0 & {x < 0}  \\    {\frac{{x^n }} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}} & {0 \leq x \leq 2\vartheta }  \\    1 & {x > 2\vartheta }  \\   \end{array} } \right.

und dementsprechend für die Dichte von Y:

f_X \left( x \right)^n  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{{nx^{n-1} }} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}} & {0 \leq x \leq 2\vartheta }  \\    0 & {sonst}  \\   \end{array} } \right.

Nun können Erwartungswert und Varianz von Y berechnet werden:

Erinnerung: E\left( X \right) = \int {x\:f\left( x \right)dx}

Also:

E\left( Y \right) = \int {x \cdot  f_Y\left( x \right) dx} = \int {x \cdot  f_X\left( x \right)^n dx}  = \int\limits_0^{2\vartheta } {x \cdot  \frac{{nx^{n-1} }} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}dx}  = \frac{n} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}\int\limits_0^{2\vartheta } {x^n dx}

= \frac{1} {{n+1}} \cdot  \frac{n} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}\left( {2\vartheta } \right)^{n+1}  = \underline{\underline {\frac{{n\:2\vartheta }} {{n+1}}}}

E\left( Y^2 \right)  = \int {x^2  \cdot  f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{2\vartheta } {x^2  \cdot  \frac{{nx^{n-1} }} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}dx}  = \frac{n} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}\int\limits_0^{2\vartheta } {x^{n+1} dx}

= \frac{1} {{n+2}} \cdot  \frac{n} {{\left( {2\vartheta } \right)^n }}\left( {2\vartheta } \right)^{n+2}  = \frac{{n\:\left( {2\vartheta } \right)^2 }} {{n+2}} = \underline{\underline {\frac{{n\:4\vartheta ^2 }} {{n+2}}}}

\operatorname{var} \left( Y \right): = E\left( {Y^2 } \right)-\left( {E\left( Y \right)} \right)^2  = \frac{{n\:4\vartheta ^2 }} {{n+2}}-\left( {\frac{{n\:2\vartheta }} {{n+1}}} \right)^2  = \frac{{n\:4\vartheta ^2 }} {{n+2}}-\frac{{n^2 \:4\vartheta ^2 }} {{\left( {n+1} \right)^2 }}

= \frac{{n\:4\vartheta ^2 \left( {n+1} \right)^2 }} {{\left( {n+2} \right)\left( {n+1} \right)^2 }}-\frac{{\left( {n+2} \right)n^2 \:4\vartheta ^2 }} {{\left( {n+2} \right)\left( {n+1} \right)^2 }} = \frac{{n\:4\vartheta ^2 \left( {n+1} \right)^2 -n^2 \:4\vartheta ^2 \left( {n+2} \right)}} {{\left( {n+2} \right)\left( {n+1} \right)^2 }}

= \frac{{n\:4\vartheta ^2 \left[ {\left( {n+1} \right)^2 -\left( {n+2} \right)n} \right]}} {{\left( {n+2} \right)\left( {n+1} \right)^2 }} = \underline{\underline {\frac{{n\:4\vartheta ^2 }} {{\left( {n+2} \right)\left( {n+1} \right)^2 }}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}