U06.1 – Linearisierung einer Magnetaufhängung

 

Die im Folgenden dargestellte Magnetaufhängung soll um den Arbeitspunkt (X0,UH0,US0) linearisiert werden:
Magnetaufhängung

Lösung

Dazu müssen wir zum Einen den elektrischen Kreis und zum Anderen auch den magnetischen Kreis linearisieren.
Magnetischer Kreis:
Dazu wird zunächst das Kräftegleichgewicht für die Kugel aufgestellt:

m \cdot  \ddot x = {F_{MH}}\left( {{I_H},x} \right)+{F_{MS}}\left( {{I_S},x} \right)-m \cdot  g = 0

MH: Magnetkraft durch die Haltewicklung

MS: Magnetkraft durch die Steuerwicklung

Vorbereitung der Taylorentwicklung:
Für die Ruhelage der Kugel gilt:

x = {x_0},\quad \dot x = 0,\quad \ddot x = 0

\Rightarrow \quad 0 = {F_{MH}}\left( {{I_H},{x_0}} \right)+{F_{MS}}\left( {{I_S},{x_0}} \right)-m \cdot  g

\Rightarrow \quad 0 = {F_{M{H_0}}}+{F_{M{S_0}}}-m \cdot  g

Wir gehen nun von hinreichend kleinen Bewegungen um den Anfangspunkt aus:

x = {x_0}+\Delta x\quad  \Rightarrow \quad x-{x_0} = \Delta x

\ddot x = \Delta \ddot x

{I_H} = {I_{{H_0}}}

{I_S} = {I_{{S_0}}}+\Delta i\quad  \Rightarrow \quad {I_S}-{I_{{S_0}}} = \Delta i

Zur Linearisierung folgt nun die Taylorentwicklung ersten Grades um die Ruhelage x0:

T\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)}} {{n!}}{{\left( {x-a} \right)}^n}} \quad ,\quad a = {x_0}\quad  \Rightarrow \quad {\left.  \ldots  \right|_0}

m \cdot  \Delta \ddot x = {F_{MH}}+{F_{MS}}-m \cdot  g

\Rightarrow \quad {F_{MH}} = {F_{M{H_0}}}+{\left. {\frac{{\partial {F_{MH}}}} {{\partial x}}} \right|_0} \cdot  \Delta x+{\left. {\frac{{\partial {F_{MH}}}} {{\partial {I_H}}}} \right|_0} \cdot  \underbrace {\Delta {i_H}}_0+ \ldots

\Rightarrow \quad {F_{SH}} = {F_{S{H_0}}}+{\left. {\frac{{\partial {F_{SH}}}} {{\partial x}}} \right|_0} \cdot  \Delta x+{\left. {\frac{{\partial {F_{SH}}}} {{\partial {I_S}}}} \right|_0} \cdot  \Delta i+ \ldots

Damit folgt:

\Rightarrow \quad m \cdot  \Delta \ddot x = \underline {{F_{M{H_0}}}} +{\left. {\frac{{\partial {F_{MH}}}} {{\partial x}}} \right|_0} \cdot  \Delta x+\underline {{F_{S{H_0}}}} +{\left. {\frac{{\partial {F_{SH}}}} {{\partial x}}} \right|_0} \cdot  \Delta x+{\left. {\frac{{\partial {F_{SH}}}} {{\partial {I_S}}}} \right|_0} \cdot  \Delta i-\underline {m \cdot  g}

\Rightarrow \quad \Delta \ddot x = \underbrace {{{\left. {\frac{1} {m} \cdot  \frac{{\partial {F_{SH}}}} {{\partial {I_S}}}} \right|}_0}}_{{c_1}} \cdot  \Delta i+\underbrace {\frac{1} {m} \cdot  \left( {{{\left. {\frac{{\partial {F_{MH}}}} {{\partial x}}} \right|}_0}+{{\left. {\frac{{\partial {F_{SH}}}} {{\partial x}}} \right|}_0}} \right)}_{{c_2}} \cdot  \Delta x

Wir fassen die konstanten Ausdrücke zusammen und erhalten somit die linearisierte Gleichung für den magnetischen Kreis:

\Rightarrow \quad \boxed{\Delta \ddot x = {c_1} \cdot  \Delta i+{c_2} \cdot  \Delta x}

Elektrischer Kreis:
Da an die Spannung eine Spule angeschlossen ist, welche sich aufteilen lässt in eine perfekte (widerstandslose) Spule und einen Widerstand, gilt:

{U_S} = {U_S}\left( {{I_S},{{\dot I}_S}} \right)

Denn:

{U_R} = R \cdot  I\quad ,\quad {U_L} = L \cdot  \dot I

Für die Ruhelage gilt:

{U_{{S_0}}} = {U_S}\left( {{I_S},0} \right)

Wir gehen nun von wieder von hinreichend kleinen Bewegungen um den Anfangspunkt aus:

{I_S} = {I_{{S_0}}}+\Delta i\quad  \Rightarrow \quad {I_S}-{I_{{S_0}}} = \Delta i

Damit folgt aus der Taylorentwicklung:

{U_S} = {U_{{S_0}}}+\Delta U = U\left( {{I_{{S_0}}},0} \right)+{\left. {\frac{{\partial {U_S}}} {{\partial {I_S}}}} \right|_0} \cdot  \Delta i+{\left. {\frac{{\partial {U_S}}} {{\partial {{\dot I}_S}}}} \right|_0} \cdot  \Delta \dot i+ \ldots

\Rightarrow \quad \Delta U = \underbrace {{{\left. {\frac{{\partial {U_S}}} {{\partial {I_S}}}} \right|}_0}}_{{c_3}} \cdot  \Delta i+\underbrace {{{\left. {\frac{{\partial {U_S}}} {{\partial {{\dot I}_S}}}} \right|}_0}}_{{c_4}} \cdot  \Delta \dot i

\Rightarrow \quad \boxed{\Delta U = {c_3} \cdot  \Delta i+{c_4} \cdot  \Delta \dot i}

ersatzschaltbild-der-spule

Nun als Zusatz noch eine Betrachtung zur Systemstabilität.
Für die Übertragungsfunktion gilt:

{G_{{U_{s,x}}}} = \frac{{X\left( s \right)}} {{{U_S}\left( s \right)}}

Um die zuvor ermittelten Gleichungen einsetzen zu können nutzen wir die Laplacetransformation:

\Delta \ddot x-{c_2} \cdot  \Delta x = {c_1} \cdot  \Delta i

\to \quad {s^2}\cdot X\left( s \right)-\sum\limits_{i = 0}^1 {{s^i}\cdot {x^{\left( {1-i} \right)}}\left( 0 \right)} -{c_2} \cdot  X\left( s \right) = {c_1} \cdot  \Delta I\left( s \right)

\Rightarrow \quad {s^2}\cdot X\left( s \right)-\underbrace {{{\dot x}_0}}_0-\underbrace {s \cdot  {x_0}}_0-{c_2} \cdot  X\left( s \right) = {c_1} \cdot  \Delta I\left( s \right)

\Rightarrow \quad X\left( s \right) = \frac{{{c_1} \cdot  \Delta I\left( s \right)}} {{{s^2}-{c_2}}}

\Delta U = {c_3} \cdot  \Delta i+{c_4} \cdot  \Delta \dot i

\to \quad \Delta U\left( s \right) = {c_3} \cdot  \Delta I\left( s \right)+{c_4} \cdot  s \cdot  \Delta I\left( s \right)

\Rightarrow \quad \Delta U\left( s \right) = \Delta I\left( s \right) \cdot  \left( {{c_3}+{c_4} \cdot  s} \right) = \Delta I\left( s \right) \cdot  {c_4} \cdot  \left( {\frac{{{c_3}}} {{{c_4}}}+s} \right)

Somit erhalten wir:

{G_{{U_{s,x}}}} = \frac{{X\left( s \right)}} {{{U_S}\left( s \right)}} = \frac{{{c_1} \cdot  \Delta I\left( s \right)}} {{{s^2}-{c_2}}} \cdot  \frac{1} {{\Delta I\left( s \right) \cdot  {c_4} \cdot  \left( {\frac{{{c_3}}} {{{c_4}}}+s} \right)}} = \frac{{\frac{{{c_1}}} {{{c_4}}}}} {{\left( {{s^2}-{c_2}} \right)\left( {\frac{{{c_3}}} {{{c_4}}}+s} \right)}}

Die Polstellen lauten somit:

{s_1} = -\frac{{{c_3}}} {{{c_4}}} = a\quad ,\quad {s_2} = \sqrt {{c_2}}  = b\quad ,\quad {s_2} = -\sqrt {{c_2}}  = -b

\Rightarrow \quad \underline{\underline {h\left( t \right) = A \cdot  {e^{-at}}+A \cdot  {e^{-bt}}+A \cdot  {e^{bt}}}}

Graphische Darstellung der Polstellen:
polstellen
Da einer der Pole sich rechts von der Imaginärachse befindet, handelt es sich hier um ein instabiles System.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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1 Kommentar zu “U06.1 – Linearisierung einer Magnetaufhängung”

Fehlerhafte Polstelle korrigiert (-sqrt{c_3} -> -sqrt{c_2})

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