U06.2 – Exponentialfamilie, Erwartungswert und Varianz

 

Sei \left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}_Z } \right) der zu einer einfachen Stichprobe Z = (X1, … , Xn) vom Umfang n aus einer Exponentialverteilung mit unbekanntem Parameter \vartheta gehörige statistische Raum; \left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}_Z } \right) ist also das n-fache Produkt des Basisraums \left( {\mathbb{R}_+ ,\mathcal{B}\left( {\mathbb{R}_+ } \right),\mathcal{W}_X } \right) mit \mathcal{W}_X  = \left\{ {Exp\left( \vartheta  \right)|\vartheta  > 0} \right\} (vgl. V 8.3).

a) Zeigen Sie, das \mathcal{W}_Z eine Exponentialfamilie bezüglich des Stichprobenmittels M ist. Wie sind dabei gemäß 2.14 die Funktionen h, a, und b zu wählen?

b) Berechnen Sie für alle \vartheta  > 0\quad E_\vartheta  \left( M \right) und \operatorname{var} _\vartheta  \left( M \right) mit Hilfe von 2.15.1 und 2.15.2.

Lösung

Exponentialverteilung, Gammaverteilung:

Exp\left( \lambda  \right): = Gamma\left( {1,\lambda } \right)

Gamma\left( {\alpha ,\lambda } \right)\quad  \Leftrightarrow \quad f_{\alpha ,\lambda } \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{{\lambda ^\alpha  x^{\alpha -1} }} {{\Gamma \left( \alpha  \right)e^{\lambda x} }}} & {x > 0}  \\    0 & {sonst}  \\   \end{array} } \right.

Die Gammafunktion: \Gamma \left( x \right) = \int\limits_0^\infty  {\frac{{t^{x-1} }} {{e^t }}dt} \quad ,\quad x > 0

a)

Seien also \left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}_Z } \right) = \left( {\mathbb{R}_+ ^n ,\mathcal{B}\left( {\mathbb{R}_+ } \right)^{ \otimes n} ,\mathcal{W}_X ^{ \otimes n} } \right),\quad \mathcal{W}_X  = \left\{ {Exp\left( \vartheta  \right)|\vartheta  > 0} \right\},\quad

\Theta  = \left\langle {0,\infty } \right\rangle bzgl. \mathcal{W}_X: Likelihood L\left( {x,\vartheta } \right) = \vartheta e^{-\vartheta x}  = \exp \left( {-\vartheta x+\ln \vartheta } \right)

Dies ist eine Exponential-Familie bezüglich

T_0 \left( x \right) = x,\quad h_0 \left( x \right) = 1,\quad a_0 \left( \vartheta  \right) = -\vartheta ,\quad b_0 \left( \vartheta  \right) = -\ln \vartheta

\mathcal{W}_X ^{ \otimes n} ist somit eine Exponential-Familie bezüglich:

T\left( Z \right) = T\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {T_0 \left( {X_i } \right)}  = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i }  = M

mit h\left( z \right) = 1,\quad a\left( \vartheta  \right) = -n\vartheta ,\quad b\left( \vartheta  \right) = -n\ln \vartheta

b)

Hier gelten die Gleichen Formeln wie in Aufgabe 1:

\gamma \left( \vartheta  \right): = E_\vartheta  \left( M \right) = \frac{{b^\prime  \left( \vartheta  \right)}} {{a^\prime  \left( \vartheta  \right)}} = \frac{{-\frac{n} {\vartheta }}} {{-n}} = \frac{1} {\vartheta }

\gamma ^\prime  \left( \vartheta  \right) = a^\prime  \left( \vartheta  \right)\operatorname{var} _\vartheta  \left( M \right)\quad  \Rightarrow \quad \operatorname{var} _\vartheta  \left( M \right) = \frac{{\gamma ^\prime  \left( \vartheta  \right)}} {{a^\prime  \left( \vartheta  \right)}} = \frac{{-\frac{1} {{\vartheta ^2 }}}} {{-n}} = \frac{1} {{n\vartheta ^2 }}

.

\mathcal{J}\mathcal{K}