U06.2 – Linearisierung der Eulerschen Kreiselgleichungen

Die rotatorische Bewegung eines starren Körpers (Flugzeug) um den Schwerpunkt kann durch drei Momentengleichungen beschrieben werden. Diese drei nichtlinearen Momentengleichungen lauten für den Fall, dass die Koordinatenachsen mit den Hauptträgheitsachsen übereinstimmen:

${I_1}{{\dot \omega }_1}+\left( {{I_3}-{I_2}} \right){\omega _2}{\omega _3} = {M_1}$

${I_2}{{\dot \omega }_2}+\left( {{I_1}-{I_3}} \right){\omega _3}{\omega _1} = {M_2}$

${I_3}{{\dot \omega }_3}+\left( {{I_2}-{I_1}} \right){\omega _1}{\omega _2} = {M_3}$

${I_1},\:{I_2},\:{I_3}$ sind die Hauptträgheitsmomente,

${M_1},\:{M_2},\:{M_3}$ sind die äußeren Steuermomente.

(Diese Gleichungen sind auch schon aus „Technische Mechanik II“ als Eulersche Kreiselgleichungen bekannt)

Das Differentialgleichungssystem ist um eine bekannte Bewegung $\left( {{\omega _{10}},\:{\omega _{20}},\:{\omega _{30}},\:{M_{10}},\:{M_{20}},\:{M_{30}}} \right)\left( t \right)$ bezüglich kleiner Störmomente $\Delta {M_1},\:\Delta {M_2},\:\Delta {M_3}$ zu linearisieren.
Anschließend ist das lineare Differentialgleichungssystem in die Form
$\dot x = A\:x+B\:u$ zu bringen
$x = {\left( {\Delta {\omega _{10}},\:\Delta {\omega _{20}},\:\Delta {\omega _{30}}} \right)^T}\quad ,\quad u = {\left( {\Delta {M_{10}},\:\Delta {M_{20}},\:\Delta {M_{30}}} \right)^T}$
Was ergibt sich für ${\omega _{10}} = {\omega _{20}} = {\omega _{30}} = 0$

Lösung

a)

Als erstes formen wir zur Vereinfachung die Gleichungen um:

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}{{\dot \omega }_1}+\left( {{I_3}-{I_2}} \right){\omega _2}{\omega _3}-{M_1} = 0 = {f_1}\left( {\dot \omega ,\omega ,M} \right)} \\ {{I_2}{{\dot \omega }_2}+\left( {{I_1}-{I_3}} \right){\omega _3}{\omega _1}-{M_2} = 0 = {f_2}\left( {\dot \omega ,\omega ,M} \right)} \\ {{I_3}{{\dot \omega }_3}+\left( {{I_2}-{I_1}} \right){\omega _1}{\omega _2}-{M_3} = 0 = {f_3}\left( {\dot \omega ,\omega ,M} \right)} \\ \end{array} } \right\} = f\left( {\dot \omega ,\omega ,M} \right)$

Nun führen wir wie in der Vorherigen Aufgabe eine Taylorentwicklung durch:

$0 = f\left( {\dot \omega ,\omega ,M} \right)$
$f\left( {\dot \omega ,\omega ,M} \right) = 0 = \underbrace {f\left( {{{\dot \omega }_0},{\omega _0},{M_0}} \right)}_{ = 0}+\underbrace {{{\left. {\frac{{\partial f}} {{\partial \dot \omega }}} \right|}_0} \cdot \Delta \dot \omega +{{\left. {\frac{{\partial f}} {{\partial \omega }}} \right|}_0} \cdot \Delta \omega +{{\left. {\frac{{\partial f}} {{\partial M}}} \right|}_0} \cdot \Delta M}_{ \Rightarrow 0}+ \ldots$

Die Ableitung von f entspricht hier der Ableitung eines Funktionsvektors nach einem Vektor, woraus wir die Jacobi-Matrix erhalten:

$\frac{{\partial f}}{{\partial \omega }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {\omega _1}}}} & {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {\omega _2}}}} & {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {\omega _3}}}} \\{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {\omega _1}}}} & {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {\omega _2}}}} & {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {\omega _3}}}} \\{\frac{{\partial {f_3}}}{{\partial {\omega _1}}}} & {\frac{{\partial {f_3}}}{{\partial {\omega _2}}}} & {\frac{{\partial {f_3}}}{{\partial {\omega _3}}}} \\ \end{array} } \right]$

Somit folgt in Matrixschreibweise:

$f\left( {\dot \omega ,\omega ,M} \right) = \vec 0 = {\left. {\frac{{\partial f}} {{\partial \dot \omega }}} \right|_0} \cdot \Delta \dot \omega +{\left. {\frac{{\partial f}} {{\partial \omega }}} \right|_0} \cdot \Delta \omega +{\left. {\frac{{\partial f}} {{\partial M}}} \right|_0} \cdot \Delta M$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}} & 0 & 0 \\ 0 & {{I_2}} & 0 \\ 0 & 0 & {{I_3}} \\ \end{array} } \right] \cdot \Delta \dot \omega +\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {\left( {{I_3}-{I_2}} \right){\omega _{30}}} & {\left( {{I_3}-{I_2}} \right){\omega _{20}}} \\ {\left( {{I_1}-{I_3}} \right){\omega _{30}}} & 0 & {\left( {{I_1}-{I_3}} \right){\omega _{10}}} \\ {\left( {{I_2}-{I_1}} \right){\omega _{20}}} & {\left( {{I_2}-{I_1}} \right){\omega _{10}}} & 0 \\ \end{array} } \right] \cdot \Delta \omega$

$+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} & 0 & 0 \\ 0 & {-1} & 0 \\ 0 & 0 & {-1} \\ \end{array} } \right] \cdot \Delta M = \vec 0$

wobei:

$\Delta \dot \omega = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {{\dot \omega }_{10}}} \\ {\Delta {{\dot \omega }_{20}}} \\ {\Delta {{\dot \omega }_{30}}} \\ \end{array} } \right],\quad \Delta \omega = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {\omega _{10}}} \\ {\Delta {\omega _{20}}} \\ {\Delta {\omega _{30}}} \\ \end{array} } \right],\quad \Delta M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {M_{10}}} \\ {\Delta {M_{20}}} \\ {\Delta {M_{30}}} \\ \end{array} } \right]$

b)

Durch Umformen folgt:

$\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {{\dot \omega }_{10}}} \\ {\Delta {{\dot \omega }_{20}}} \\ {\Delta {{\dot \omega }_{30}}} \\ \end{array} } \right]}_{\dot x} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {\frac{{\left( {{I_2}-{I_3}} \right){\omega _{30}}}} {{{I_1}}}} & {\frac{{\left( {{I_2}-{I_3}} \right){\omega _{20}}}} {I_1}} \\ {\frac{{\left( {{I_3}-{I_1}} \right){\omega _{30}}}} {{{I_2}}}} & 0 & {\frac{{\left( {{I_3}-{I_1}} \right){\omega _{10}}}} {{{I_2}}}} \\ {\frac{{\left( {{I_1}-{I_2}} \right){\omega _{20}}}} {{{I_3}}}} & {\frac{{\left( {{I_1}-{I_2}} \right){\omega _{10}}}} {{{I_3}}}} & 0 \\ \end{array} } \right]}_A \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {\omega _{10}}} \\ {\Delta {\omega _{20}}} \\ {\Delta {\omega _{30}}} \\ \end{array} } \right]}_x+\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1} {{{I_1}}}} & 0 & 0 \\ 0 & {\frac{1} {{{I_2}}}} & 0 \\ 0 & 0 & {\frac{1} {{{I_3}}}} \\ \end{array} } \right]}_B \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {M_{10}}} \\ {\Delta {M_{20}}} \\ {\Delta {M_{30}}} \\ \end{array} } \right]}_u$

c)

Für ${\omega _{10}} = {\omega _{20}} = {\omega _{30}} = 0$ folgt:
$\underline{\underline {\Delta \dot \omega = B \cdot \Delta M = 0 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {{\dot \omega }_{10}}} \\ {\Delta {{\dot \omega }_{20}}} \\ {\Delta {{\dot \omega }_{30}}} \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1} {{{I_1}}}} & 0 & 0 \\ 0 & {\frac{1} {{{I_2}}}} & 0 \\ 0 & 0 & {\frac{1} {{{I_3}}}} \\ \end{array} } \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {M_{10}}} \\ {\Delta {M_{20}}} \\ {\Delta {M_{30}}} \\ \end{array} } \right]}}$