Die rotatorische Bewegung eines starren Körpers (Flugzeug) um den Schwerpunkt kann durch drei Momentengleichungen beschrieben werden. Diese drei nichtlinearen Momentengleichungen lauten für den Fall, dass die Koordinatenachsen mit den Hauptträgheitsachsen übereinstimmen:
sind die Hauptträgheitsmomente,
sind die äußeren Steuermomente.
(Diese Gleichungen sind auch schon aus „Technische Mechanik II“ als Eulersche Kreiselgleichungen bekannt)
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Das Differentialgleichungssystem ist um eine bekannte Bewegung
bezüglich kleiner Störmomente
zu linearisieren.
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Anschließend ist das lineare Differentialgleichungssystem in die Form
zu bringen
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Was ergibt sich für
Lösung
a)
Als erstes formen wir zur Vereinfachung die Gleichungen um:
Nun führen wir wie in der Vorherigen Aufgabe eine Taylorentwicklung durch:
Die Ableitung von f entspricht hier der Ableitung eines Funktionsvektors nach einem Vektor, woraus wir die Jacobi-Matrix erhalten:
Somit folgt in Matrixschreibweise:
wobei:
b)
Durch Umformen folgt:
c)
Für folgt:
Wir enthalten also entkoppelte DGLn und damit drei voneinander unabhängige Gleichungen.
Die Jacobi-Matrix ist falsch. Die angegebene Matrix muss transponiert werden damit es wieder past.
Stimmt, danke, habs korrigiert!
kleiner hinweis: in der aufgabenstellung b fehlt der punkt über dem ersten x…
ansonsten sehr ordentlich
Tatsache
. Verbessert, danke!
Verbesserungsvorschläge:
Bei a) ist bei der großen Formel der Zeilenumbruch ungünstig gewählt.
Bei b) ist in Matrix A bei Position
der Nenner des Bruches falsch.
Bei c) steht in der Diagonalmatrix bei Position
ein
statt
.
Alles verbessert. Danke!