U06.3 – Konsistenz

 

Sei \Theta  = \left\langle {0,\infty } \right\rangle. Wir betrachten das unendliche Produktmodell \left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}} \right) mit \mathcal{W} = \left\{ {w_\vartheta  |\vartheta  \in \Theta } \right\}, \left( {X_n :n \in \mathbb{N}} \right) eine Folge von nichtnegativen reellen Zufallsvariablen auf \left( {\Psi ,\mathcal{G}} \right), so dass für alle \vartheta  \in \Theta bezüglich w_\vartheta die Xn unabhängig und identisch stetig gleichverteilt auf \left[ {0,2\vartheta } \right] sind. Für n \in \mathbb{N} seien für die Stichprobe (X1,…,Xn) die Schätzfunktionen M(n) := (1/n)(X1+…+Xn) und H(n) := [(n+1)/(2n)]max(X1,…,Xn) erklärt (vgl. Blatt 5, Aufgabe 3).
Zeigen Sie, das die Folgen \left( {M\left( n \right):n \in \mathbb{N}} \right) und \left( {H\left( n \right):n \in \mathbb{N}} \right) konsistent sind für \vartheta.
Hinweis: Blatt 5, Aufgabe 3 b); Bemerkung zu 2.18.

Lösung

X_1 , \ldots ,X_n i.i.d. gleichverteilt auf \left[ {0,2\vartheta } \right], \vartheta  \in \Theta : = \left\langle {0,\infty } \right\rangle ,\quad M\left( n \right) = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i },
H\left( n \right): = \frac{{n+1}} {{2n}}\max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)

Mit den Ergebnissen aus Übung 5.3.b) wissen wir:
M und H sind erwartungstreu und:

\operatorname{var} _\vartheta  \left( {M\left( n \right)} \right) = \frac{{\vartheta ^2 }} {{3n}},\quad \operatorname{var} _\vartheta  \left( {H\left( n \right)} \right) = \frac{{\vartheta ^2 }} {{n\left( {n+2} \right)}}

Wenn alle Schätzer Tn erwartungstreu für γ sind (und das sind sie) und die Varianz der Schätzer für n \to \infty gegen 0 konvergiert, so ist (Tn) konsistent für γ.

Tatsächlich gilt:

\operatorname{var} _\vartheta  \left( {M\left( n \right)} \right) \to 0,\quad \operatorname{var} _\vartheta  \left( {H\left( n \right)} \right) \to 0\quad ,\quad f\ddot ur\:n \to \infty

\Rightarrow \quad M\left( n \right)\quad und\quad H\left( n \right) sind konsistent für ϑ

\mathcal{J}\mathcal{K}