U06 – Druckluftanlage

 

druckluftanlage

Zustände:

{p_1} = 1bar\quad {t_1} = 15^\circ C

{p_2} = 5bar

{p_3} = 5bar\quad {t_3} = 15^\circ C

Die skizzierte Druckluftanlage soll 80\frac{{{m^3}}} {h} Luft vom Zustand (3) liefern. Dazu wird Luft vom Zustand (1) (=Umgebungszustand) angesaugt, auf den Zustand (2) verdichtet und danach in einem wärmeisolierten Wärmeübertrager isobar auf die Temperatur {t_a} zurückgekühlt. Die Verdichtung erfolgt irreversibel adiabat. Der isentrope Wirkungsgrad beträgt dabei {\eta _{s,V}} = \frac{{w_{rev}^t}} {{w_{irr}^t}} = 0,8.

  1. Skizzieren Sie die Zustandsänderungen der Luft in einem p,v-Diagramm.
  2. Berechnen Sie die Temperatur t2 der Luft nach der irreversibel adiabaten Verdichtung.
  3. Wie groß ist der Volumenstrom {\dot V_1} (in m³/h) der angesaugten Luft?
  4. Welcher Wärmestrom \dot Q (in kJ/h) wird im Wärmeübertrager von der Druckluft an das Kühlwasser abgegeben?

Weitere Angaben:
Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien sollen bei der Verdichtung vernachlässigt
werden.
Luft soll als perfektes Gas mit der Gaskonstanten R = 0,287 kJ/(kgK)
und der spezifischen Wärmekapazität cp = 1,0 kJ/(kgK)
betrachtet werden.

Lösung

druckluftanlage

\begin{array}{*{20}{c}}    {Zustand} &\vline &  {Druck} &\vline &  {Temperatur} &\vline &  {\ddot Ubergang}  \\ \hline    1 &\vline &  {{p_1} = 1bar} &\vline &  {{t_1} = 15^\circ C} &\vline &  {irr.\:ad.\:{\eta _{s,V}} = 0,8}  \\    2 &\vline &  {{p_2} = 5bar} &\vline &  {} &\vline &  {isobar}  \\    3 &\vline &  {{p_3} = 5bar} &\vline &  {{t_3} = 15^\circ C} &\vline &  {}  \\   \end{array}

a)

p-v-diagramm"

Für den isentropen Verdichterwirkungsgrad gilt laut Aufgabenstellung:

{\eta _{s,V}} = \frac{{min\:aufzuwendende\:Arbeit}} {{real\:notwendige\:Arbeit}} = \frac{{w_{rev}^t}} {{w_{irr}^t}} = \frac{{rev.\:Grenzfall}} {{reale\:Zustands\ddot anderung}} = 0,8

b)

Gesucht: Temperatur {T_2}

Weg: Wir bestimmen w_{12,rev}^t und w_{12,irr}^t. Über den Wirkungsgrad erhält man anschließend {T_2}

1. reale Verdichtung (Zustand 1 → 2)
1. Hauptsatz für statische Fließprozesse (gilt immer, auch für irreversible Vorgänge)

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{12}}z

\Rightarrow \quad \underline{\underline {w_{12}^t = {\Delta _{12}}h = {c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right) = w_{12,\:irr}^t}}

2. ideale Verdichtung (Zustand 1 → 2*)
Laut Formelsammlung gilt:

w_{{{12}^*},\:rev}^t = \int_1^{{2^*}} {v\left( p \right)dp} +{\Delta _{{{12}^*}}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{{{12}^*}}}z

Bei Vernachlässigung von kinetischer und potentieller Energie folgt:

w_{{{12}^*},\:rev}^t = \int_1^{{2^*}} {v\left( p \right)dp}

Wir gehen hier wegen der Reversibilität vom isentropen Grenzfall aus:

p{v^\kappa } = {p_1}v_1^\kappa \quad  \Rightarrow \quad v = {\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)^{\frac{1} {\kappa }}}{v_1}

w_{{{12}^*}}^t = \int_1^{{2^*}} {{{\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)}^{\frac{1} {\kappa }}}{v_1}dp}  = p_1^{\frac{1} {\kappa }}{v_1}\int_1^{{2^*}} {{{\left( {\frac{1} {p}} \right)}^{\frac{1} {\kappa }}}dp}

= \frac{\kappa } {{\kappa -1}}{v_1}{p_1}^{\frac{1} {\kappa }}\left[ {{p_{{2^*}}}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}-{p_1}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}} \right] = \frac{\kappa } {{\kappa -1}}{v_1}{p_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_{{2^*}}}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}}-1} \right]

\Rightarrow \quad w_{{{12}^*}}^t = \frac{\kappa } {{\kappa -1}}R{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_{{2^*}}}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}}-1} \right]

Diese Formel können wir auch der Formelsammlung entnehmen.
Für das ideale Gas gilt:

{p_1}{v_1} = R{T_1}

\Rightarrow \quad w_{{{12}^*}}^t = \frac{\kappa } {{\kappa -1}}R{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_{2*}}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}}-1} \right]

Festgelegte Arbeitsbelastung der Verdichtung:

p_2^* = {p_2}

Nun müssen wir noch den Term mit κ aus der Angabe berechnen. Es gilt:

\frac{\kappa } {{\kappa -1}} = \frac{{{c_p}}} {R}

\Rightarrow \quad w_{{{12}^*}}^t = {c_p}{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{R} {{{c_p}}}}}-1} \right] = \underline{\underline {169,17\frac{{kJ}} {{kg}}}}

Für den reversibel adiabaten Grenzfall gilt also (nach Umformung) ebenfalls die Beziehung:

w_{12*}^t = {c_p}\left( {T_2^*-{T_1}} \right) = {\Delta _{12*}}h

und T_2^* lässt sich wegen p_2^* = {p_2} aus T \cdot  {p^{\frac{{1-\kappa }} {\kappa }}} = const. bestimmen:

T_2^* = {T_1} \cdot  {\left( {\frac{{{p_1}}} {{{p_2}}}} \right)^{\frac{{1-\kappa }} {\kappa }}} = 456,38K

Damit folgt nun:

{\eta _{s,V}} = \frac{{w_{rev}^t}} {{w_{irr}^t}} = \frac{{w_{12*}^t}} {{w_{12}^t}} = \frac{{{c_p}\left( {T_2^*-{T_1}} \right)}} {{{c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{T_2} = \frac{{T_2^*-{T_1}}} {{{\eta _{s,V}}}}+{T_1} = 498,43K = 225,28^\circ C}}

c)

Berechnung des Volumenstroms {\dot V_1}

Wir betrachten das stationär durchströmte System:

{\dot m_1} = {\dot m_3} = {\rho _1}{\dot V_1} = {\rho _3}{\dot V_3}

Daraus folgt mit T1 = T3:

{\dot V_1} = \frac{{{\rho _3}}} {{{\rho _1}}}{\dot V_3} = \frac{{R{T_1}}} {{{p_1}}} \cdot  \frac{{{p_3}}} {{R{T_3}}}{\dot V_3} = 5{\dot V_3} = \underline{\underline {400\frac{{{m^3}}} {h}}}

d)

Berechnung des Wärmestroms

gesucht: v in \frac{{kJ}} {h}

kuhlung-wasser-luft

Möglichkeit 1:
Wir betrachten das System II und stellen den ersten Hauptsatz für statische Fließprozesse auf:

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+\underbrace {{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g{\Delta _{12}}z}_0

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{ = {c_p} = {c_w}}dT+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}\underbrace {dp}_0

\Rightarrow \quad {\Delta _{ae}}h = {c_W}{\Delta _{ae}}T = {q_{ae}}

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_{zu}} = {{\dot m}_{H2O}}{q_{ae}} = {{\dot m}_{H2O}}{c_W}{T_{ae}}

Da in der Aufgabenstellung die Angaben über den Massenstrom des Wassers und cw fehlen, können wir hier nicht weiterrechnen.

Möglichkeit 2:
Wir betrachten nur die Luft im Wärmetauscher, und nicht das Wasser.
1. Hauptsatz:

{q_{23}}+w_{23}^t = {\Delta _{23}}h = {c_p}{\Delta _{23}}T

\quad  \Rightarrow \quad {q_{23}} = {c_p}{\Delta _{23}}T = -211,47\frac{{kJ}} {{kg}}

\quad  \Rightarrow \quad {{\dot Q}_{23}} = {q_{23}}\dot m = {q_{23}}{\rho _3}{{\dot V}_3} = {q_{23}}{{\dot V}_3}\frac{{{p_3}}} {{R{T_3}}} = -28,41kW = -28,41\frac{{kJ}} {s} = \underline{\underline {3600 \cdot  \left( {-28,41} \right)\frac{{kJ}} {h}}}

Möglichkeit 3:
Wir betrachten die Luft in der Gesamtanlage
druckluftanlage

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse:

{q_{13}}+w_{13}^t = {c_p}\underbrace {\left( {{T_3}-{T_1}} \right)}_{ = 0} = {\Delta _{13}}h = 0

w_{13}^t = w_{12}^t+\underbrace {w_{23}^t}_{ = 0} = w_{12}^t

{q_{13}} = {q_{23}}+\underbrace {{q_{12}}}_{ = 0} = {q_{23}}

\quad  \Rightarrow \quad {q_{23}} = -w_{12}^t = -211,47\frac{{kJ}} {{kg}}

Der Rest folgt analog zu Möglichkeit 2

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

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