U07.0 – Einleitung Bereichsschätzungen

 

Problemstellung

Gegeben ist ein statistischer Raum \left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}_Z } \right), wobei \mathcal{W}_Z = \left\{ {w_\vartheta :\vartheta \in \Theta } \right\} mit einer Parametermenge Θ. Sei ferner eine Funktion \gamma :\Theta \to S (z.B. \mathbb{R}) gegeben.

Ziel ist es nun, für jede Realisierung (Beobachtung) z = Z\left( \omega \right) \in \Psi einen „möglichst guten“ Bereich C\left( z \right) \subset S anzugeben, der \gamma \left( \vartheta \right) enthält, wenn ϑ der „wahre“ Parameter ist.

Bereichs- und Intervallschätzfunktionen

Eine Funktion C:\Psi \to \mathcal{P}\left( S \right), die jedem z \in \Psi einen Bereich C\left( z \right) \subset S zuordnet, heißt Bereichsschätzfunktion (BSF) (oder Konfidenzbereich) für \gamma \left( \vartheta \right), falls:

\forall s \in S:\left\{ {z \in \Psi |C\left( z \right) \mathrel\backepsilon s} \right\} \in \mathcal{G}

Die einer Beobachtung z \in \Psi entsprechende „Bereichsschätzung“ C\left( z \right) heißt auch Konfidenzschätzung für \gamma \left( \vartheta \right).

Die Wahrscheinlichkeiten w_\vartheta \left\{ {z \in \Psi |C\left( z \right) \mathrel\backepsilon \gamma \left( \vartheta \right)} \right\},\quad \vartheta \in \Theta, heißen
Überdeckungswahrscheinlichkeiten des Konfidenzbereichs C.

Häufig ist S = \mathbb{R} und C\left( z \right) ein Intervall für alle z \in \Psi.
C heißt dann Intervallschätzfunktion (ISF) und C\left( z \right) Konfidenzintervall (KI) für \gamma \left( \vartheta \right).

Konfidenzniveau

Sei \alpha \in \left\langle {0,1} \right\rangle.

Eine BSF (Bereichsschätzfunktion) C heißt (1-α)-Bereichsschätzfunktion (oder Konfidenzbereich zum Niveau 1-α) für \gamma \left( \vartheta \right) falls:

\forall \vartheta \in \Theta :w_\vartheta \left\{ {z \in \Psi |C\left( z \right) \mathrel\backepsilon \gamma \left( \vartheta \right)} \right\} \geq 1-\alpha

1-α: Sicherheits- oder Konfidenzniveau
α: Irrtumsniveau

Ist C eine (1-α)-Intervallschätzfunktion, so wird für z \in \Psi das C\left( z \right) bezeichnet als (1-α)-Konfidenzintervall (oder Vertrauensintervall) für \gamma \left( \vartheta \right).

Ziel soll es sein eine Intervallschätzfunktion mit möglichst großen Überdeckungswahrscheinlichkeiten und möglichst kleinen Konfidenzintervallen zu suchen.

\mathcal{J}\mathcal{K}