U07.0 – Regeln zur Blockschaltbildalgebra & Beispiel zur Blockschaltbilderstellung

 

Für die Bearbeitung der folgenden Aufgaben führen wir zunächst die Regeln zur Blockschaltbildalgebra auf:

1. Zusammenfassung zweier in Reihe liegender Blöcke:

zusammenfassung-zweier-in-reihe-liegender-bloecke

{G_{ges}} = \frac{Y} {U} = {G_1} \cdot  {G_2}

2. Zusammenfassung zweier parallel liegender Blöcke:

zusammenfassung-zweier-parallel-liegender-bloecke

{G_{ges}} = \frac{Y} {U} = {G_1} \pm {G_2}

3. Elimination einer Rückführschleife:

elimination-einer-rueckfuehrungsschleife

Y = {G_1}\left( {U \pm {G_2}Y} \right) = {G_1} \cdot  U \pm {G_1} \cdot  {G_2} \cdot  Y\quad  \Rightarrow \quad Y = \frac{{{G_1} \cdot  U}} {{1 \mp {G_1} \cdot  {G_2}}}\quad  \Rightarrow \quad {G_{ges}} = \frac{Y} {U} = \frac{{{G_1}}} {{1 \mp {G_1} \cdot  {G_2}}}

4. Verlegung einer Verzweigungsstelle vor einen Block:

verlegung-einer-verzweigungsstelle-vor-einen-block

5. Verlegung einer Additionsstelle vor einen Block:

verlegung-einer-additionsstelle-vor-einen-block

Beispiel zur Erstellung eines Blockschaltbildes

Als Beispiel verwenden wir nun einen Integrierer:

integrationsblock

Gegeben ist die folgende Differentialgleichung:

\ddot y\left( t \right)+{a_1}\dot y\left( t \right)+{a_0}y\left( t \right) = {b_0}u\left( t \right)+{b_1}\dot u\left( t \right)

Gesucht sind die Übertragungsfunktion und das zugehörige Blockschaltbild.

Wir führen nun eine Laplacetransformation mit Hilfe des Differentiationssatzes durch (siehe vorherige Aufgaben):

{s^2}Y\left( s \right)-\underbrace {\dot y\left( 0 \right)}_0-\underbrace {sy\left( 0 \right)}_0+{a_1}sY\left( s \right)-\underbrace {{a_1}y\left( 0 \right)}_0+{a_0}Y\left( s \right) = {b_0}U\left( s \right)+{b_1}sU\left( s \right)-\underbrace {u\left( 0 \right)}_0

\Rightarrow \quad {s^2}Y\left( s \right)+{a_1}sY\left( s \right)+{a_0}Y\left( s \right) = {b_0}U\left( s \right)+{b_1}sU\left( s \right)

Durch Umformen folgt daraus schließlich die Übertragungsfunktion:

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}} {{U\left( s \right)}} = \frac{{{b_0}+{b_1}s}} {{{a_0}+{a_1}s+{s^2}}}

Ein System mit einer solchen Übertragungsfunktion nennt man ein PDT2-System.

Nun zur Erstellung des Blockschaltbildes. Wir sehen, dass in der gegebenen Differentialgleichung ist ein \dot u enthalten ist. Dieses können wir jedoch für unser Blockschaltbild nicht gebrauchen, da ein ideales differenzierendes Übertragungsglied physikalisch nicht realisierbar ist. Zur Lösung dieses Problems integrieren wir einfach die Gleichung, um somit Integrationsblöcke verwenden zu können:

\ddot y\left( t \right)+{a_1}\dot y\left( t \right)+{a_0}y\left( t \right) = {b_0}u\left( t \right)+{b_1}\dot u\left( t \right)

\Rightarrow \quad \dot y\left( t \right)+{a_1}y\left( t \right)+\int {{a_0}y\left( t \right)dt}  = \int {{b_0}u\left( t \right)dt} +{b_1}u\left( t \right)

Zur einfachen Erstellung des Blockschaltbildes formen wir nun noch nach der höchsten Ableitung von y um:

\Rightarrow \quad \dot y\left( t \right) = \int {{b_0}u\left( t \right)dt} +{b_1}u\left( t \right)-{a_1}y\left( t \right)-\int {{a_0}y\left( t \right)dt}

Daraus folgt das Blockschaltbild:

resultierendes-blockschaltbild

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

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6 Kommentare zu “U07.0 – Regeln zur Blockschaltbildalgebra & Beispiel zur Blockschaltbilderstellung”

später Lerner

Dieses können wir jedoch für unser Blockschaltbild gebrauchen
-> Dieses können wir gerade NICHT gebrauchen.

Da ist wohl ein Wort verschluckt worden. Korrigiert. Danke!

frage:

gilt “5. Verlegung einer Additionsstelle vor einen Block” auch bei xor-verknüpfungen?

Dass y(0)=0; y’(0)=0 und u(0)=0 ist, wissen wir aufgrund von Randbedingungen, oder? Wenn ja, wo finde ich diese Randbedingungen?
Danke schon mal,
Grüße yb

@ en: Kann ich leider nicht beantworten.
@ yb: Wir gehen hier einfach davon aus, dass sich das System zu Beginn immer in Ruhe befindet. Damit sind dann alle Auslenkungen und Geschwindigkeiten Null.

Besten Danke, es hat mir viel geholfen ;)

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